Изоморфизм групп.

[Nemiroff]

misha89 в сообщении #864127 писал(а):

У меня написано $\varphi(x) = x $.

Это же запись для произвольного $x$, а не для какого-то выделенного.
$\varphi(x) = x $, значит $\varphi(x\cdot y) = x\cdot y$ — это ваше определение.
$x\cdot y = y * x$ — это вообще по условию.
$ y * x = \varphi(y) * \varphi(x)$ — это опять-таки ваше определение.
Получаем $\varphi(x\cdot y) =\varphi(y) * \varphi(x)$, при этом определение гомоморфизма требует $\varphi(x\cdot y) =\varphi(x)*\varphi(y)$, а это разные вещи.

[misha89]

Xaositect,
я знаю определение отображения в виде $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b).$. Объясните, пожалуйста, почему у вас справа в выражении стоит операция "точка", а не "звездочка"?

Если вы делаете это через заданную операцию перестановки $a \cdot b = b*a$, тогда у меня вопрос другой:

$\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b) = a * b = b \cdot a$. Почему у вас элементы местами не переставлены?

-- 17.05.2014, 00:49 --

Nemiroff
, где я вообще написал такую чушь про свое определение?
Ясное дело, что $\varphi(x \cdot y) = x \cdot y$ - бред.

$\varphi(x \cdot y) = x * y$. Вот мое отображение.

[Nemiroff]

misha89 в сообщении #864132 писал(а):

$\varphi(x \cdot y) = x * y$. Вот мое отображение.

Это не отображение.

[misha89]

У нас есть Группа $G = \{x_1, \cdots, x_n\}$. и $a \cdot b = b *a.$ Определение гомоморфизма выглядит так: $\varphi( x \cdot y) = \varphi(x) * \varphi(y).$
Пусть $\varphi(x) = y.$
Проверим его для двух элементов из группы:
С одной стороны $\varphi(x \cdot y) = x \cdot y$,
С другой стороны по определению $\varphi( x \cdot y) = \varphi(x) * \varphi(y) = y * x = x \cdot y.$
Получается, что гомоморфизм выполняется.
Так?

[provincialka]

Как же так? Если $\varphi(x)=x$ для любого $x$, то, в частности, $\varphi(x\cdot y)=x\cdot y$. Вы не можете требовать другого!

Вы не можете задавать значение $\varphi$ только для одного $x$. Надо для всех сразу.

[Nemiroff]

misha89 в сообщении #864136 писал(а):

Пусть $\varphi(x) = y.$

Полнейшая бессмыслица.
Оторбражение — это правило, по которому каждому элементу из одного множества сопоставляется элемент из другого. $f: x\rightarrow x^2$, тогда $f(x)=x^2$, и для любого $x$ я могу посчитать $f(x)$.
А у вас? Вот я выберу какой-то $x$. И как мне найти $\varphi(x)$?

[provincialka]

Возьмем для примера отображение $f(x)=cx$. Тогда $f(xy)=cxy$, в то время как $f(x)\ast f(y)=cx\ast cy =cycx$. Совсем не то, что $cxy$.

[misha89]

provincialka
, вы точно не просто так второй раз на константу намекаете, но если просто на константу отображать, то не получается, пока не понимаю чем константа тут поможет.

Зайду с другой стороны. единичный элемент должен отображаться в единичный.

$\varphi(e) = e. $ Это верно, но отображение элемента в себя не подходит. Тогда получается противоречие.
Где я снова накосячил?

[provincialka]

Нет, константу я выбрала, чтобы не подсказать слишком явно. Там ответ очень простой. Но вы должны понять сначала саму идею отображения и идею изоморфизма.

-- 17.05.2014, 01:30 --

То, что $\varphi(e) = e$ - верно, ведь $e$ является единицей в обеих группах.

[misha89]

Идея изоморфизма - это замена одного множества на другое, более простое, по определнному правилу. Это мне понятно.
Как интерполяция.

Но для меня само осознание этой идеи сложно. Сложно представить эту абстракцию в голове.
Ведь интерполяция - это функция, при чем явно заданная, вычисляемая по определенной формуле.

Тут же нет явной формулы, есть определение. А сам гомоморфизм надо "придумать". Для этого надо представить абстракцию, мне это сложно сделать.

[Nemiroff]

misha89 в сообщении #864151 писал(а):

Идея изоморфизма - это замена одного множества на другое, более простое, по определнному правилу. Это мне понятно.
Как интерполяция.

Интерполяция?

misha89 в сообщении #864151 писал(а):

А сам гомоморфизм надо "придумать".

Для того мОзги и дадены. Попробуйте взять конкретную маленькую группу.

[provincialka]

misha89 в сообщении #864151 писал(а):

Идея изоморфизма - это замена одного множества на другое, более простое, по определнному правилу. Это мне понятно.

Нет!!! Не так!!! Что значит "более простое"? Приставка "изо-" означает одинаковость!
Идея изоморфизма состоит в том, чтобы сравнить структуры, заданные на множествах. Например, можно рассматривать повороты вокруг точки. Два поворота можно совершить друг за другом: это и будет групповой операцией. Но можно обозначить каждый поворот числом градусов, получим другое множество (группу по сложению по модулю 360)..

То есть повороты складываются так же, как углы. Группа поворотов и группа углов совпадают по структуре. Потому, что есть изоморфизм, переводящий поворот в угол.

misha89 в сообщении #864151 писал(а):

Ведь интерполяция - это функция, при чем явно заданная, вычисляемая по определенной формуле.

А это тут причем? На ту же букву "и" начинается?

-- 17.05.2014, 01:50 --

Nemiroff в сообщении #864153 писал(а):

Попробуйте взять конкретную маленькую группу.

Ну, совсем маленькая не подойдет, нужно ведь некоммутативную. В коммутативной обе операции совпадают.

Вот, может такая подсказа поможет. Значения $\varphi(x)$ перемножаются в обратном порядке:

misha89 в сообщении #863722 писал(а):

где $a\ast b = b \cdot a$ для любых $a, b \in G$

Ну, и как же этого добиться? Обратного порядка?

[misha89]

provincialka
, хорошо, а если у меня есть группа из n элементов, и вот мне надо найти группу из k элементов, где n>k, т.к. в группе с n элементами сложно провести какие-то вычисления, а в группе с k - легко.
Я ищу группу из k изоморфную группе из n. Правильно? И работаю с ней. Поймите правильно это такой сферический пример.

А интерполяция что делает? Есть у меня полином жуть какой большой и считать неудобно, и алгоритм писать тоже. Я смотрю по точкам какая бОлее простая функция может заменить мне этот полином, чтобы упростить работу и нахожу этот самый полином.

Разве в этом нет схожется интерполяции и изоморфизма? Замена сложного на простое.

[Nemiroff]

misha89 в сообщении #864159 писал(а):

Я ищу группу из k изоморфную группе из n. Правильно?

Нет.

misha89 в сообщении #864090 писал(а):

Инъективность логична: если $a \ne b \Rightarrow \varphi(a) \ne \varphi(b).$

misha89 в сообщении #864090 писал(а):

Для любого образа существует прообраз.

Это ведь вы написали.
Как у вас одновременно с этим уживается "$n>k$"? Это прямо противоречащие друг другу утверждения.

-- Сб май 17, 2014 02:10:22 --

misha89 в сообщении #864159 писал(а):

Разве в этом нет схожется интерполяции и изоморфизма? Замена сложного на простое.

Даже не близко.
У меня пример был с двумя группами $G_1=\langle \mathbb R, +\rangle$ и $G_2=\langle \mathbb R_+,\cdot\rangle$. И какая же из них "простая"?

[misha89]

Nemiroff
, если группа я ищу группе с бОльшим кол-вом элементов изоморфную группу с мЕньшим, то первая группа будет содержать прообразы, вторая образы. Для любого образа должен существовать прообраз. Никто не говорит о равенстве порядков групп.

-- 17.05.2014, 02:13 --

Nemiroff
Поймите правильно это такой сферический пример.

-- 17.05.2014, 02:16 --

provincialka в сообщении #864155 писал(а):

Вот, может такая подсказа поможет. Значения $\varphi(x)$ перемножаются в обратном порядке:

misha89 в сообщении #863722 писал(а):

где $a\ast b = b \cdot a$ для любых $a, b \in G$

Ну, и как же этого добиться? Обратного порядка?

Здесь нет перемножения, есть "точка" и "звезда". И что значит в обратном порядке? Справа налево вместо слева направо?