Изоморфизм групп.

[Nemiroff]

misha89 в сообщении #864162 писал(а):

Nemiroff
, если группа я ищу группе с бОльшим кол-вом элементов изоморфную группу с мЕньшим, то первая группа будет содержать прообразы, вторая образы. Для любого образа должен существовать прообраз. Никто не говорит о равенстве порядков групп.

А "инъективность" — это такой длинный, большой, красивый слов. Который — почти большой красивый слон, потому что первые буквы совпадают.

Всё короче. Читайте учебник по алгебре, как-то у вас совсем глухо даже с понятием отображения.

[svv]

Не могут быть изоморфны две конечные группы разных порядков.
Чем скорее Вы откажетесь от мысли, будто изоморфизм — это замена группы неким её упрощенным вариантом, тем лучше. Ни капельки такого нет.

[provincialka]

misha89 в сообщении #864162 писал(а):

Здесь нет перемножения, есть "точка" и "звезда".

ну да. Два способа умножения.

misha89 в сообщении #864162 писал(а):

И что значит в обратном порядке? Справа налево вместо слева направо?

Да, именно это. Но в то же время это именно подсказка, нужное слово.
ладно, больше не могу терпеть. Возьмите в качестве отображения взятие обратного элемента.

[misha89]

provincialka
, я это пробовал уже, просто сюда не писал.

$\varphi(x) = x^{-1}; \varphi(x \cdot y) = x^{-1} \cdot y^{-1}, \varphi(x \cdot y) = \varphi(x) * \varphi(y) = \varphi(y) \cdot \varphi(x) = y^{-1} \cdot x^{-1}.$

Вот что у меня получалось. Можно конечно домножить $y^{-1} \cdot x^{-1} $ на x^{-1} слева, если так можно вообще делать здесь. Просто мне кажется так нельзя делать.

[provincialka]

Это откуда?

misha89 в сообщении #864169 писал(а):

$ \varphi(x \cdot y) = x^{-1} \cdot y^{-1}.$

Запись неверная. Последующий текст невразумителен.

[misha89]

$\varphi(x) = x^{-1}; \varphi(x \cdot y) = x \cdot y, \varphi(x \cdot y) = \varphi(x) * \varphi(y) = \varphi(y) \cdot \varphi(x) = y^{-1} \cdot x^{-1}.$

$x \cdot y = y^{-1} \cdot x^{-1}.$ Осталось понять как мне это поможет.

[Munin]

Тут ТС сначала путал именованные элементы группы и переменные, принимающие значение в группе. Ему это удалось объяснить, или разговор в другую сторону ушёл?

[misha89]

$x \cdot y = y^{-1} \cdot x^{-1}.$ Можно умножить на $x \cdot y$.

Получим $x \cdot y \cdot x \cdot y = e$, а раз это равно единичному элементу, то получается $x \cdot y = e$. Верно?

[provincialka]

misha89 в сообщении #864233 писал(а):

$x \cdot y = y^{-1} \cdot x^{-1}.$ Можно умножить на $x \cdot y$.

Получим $x \cdot y \cdot x \cdot y = e$, а раз это равно единичному элементу, то получается $x \cdot y = e$. Верно?

Нет. "И интереснее всего в этом вранье то, -- сказал Воланд, -- что оно -- вранье
от первого до последнего слова."

-- 17.05.2014, 12:08 --

misha89, давайте вернемся к самой задаче. Плохо, что вы пишете цепочки равенств, не понимая их смысл. Они у вас трех типов
1. Предположение. Например, $\varphi (x)=x^{-1}$
2. То, что нужно доказать (а что?). Этим равенством мы не можем пользоваться, как известным.
3. Тождество: равенство, верное для любых элементов группы.

[Munin]

provincialka
Я и вас в том числе спрашиваю.

[provincialka]

Отвечаю: нет, похоже, не удалось.

[Munin]

provincialka в сообщении #864242 писал(а):

misha89, давайте вернемся к самой задаче. Плохо, что вы пишете цепочки равенств, не понимая их смысл. Они у вас трех типов

Добавлю: буквы в этих цепочках равенств бывают тоже нескольких типов.
1. Фиксированный элемент группы.
2. Переменная, принимающая значения на множестве 1.
3. Отображения, индексы - то, что не является элементами группы.

misha89
Скажите, вы понимаете разницу между 1 и 2? И понимаете, что значат буквы в равенствах в том задании, которое вам дали?

[Nemiroff]

provincialka в сообщении #864166 писал(а):

ладно, больше не могу терпеть. Возьмите в качестве отображения взятие обратного элемента

Ну и зачем? Человек определения изоморфизма не знает — пусть учится.

[provincialka]

Nemiroff в сообщении #864302 писал(а):

Ну и зачем? Человек определения изоморфизма не знает — пусть учится.

Каюсь, не удержалась... Но моя подсказка и не помогла...

[arseniiv]

Попробуем ещё примерчик.

Возьмём конкретную группу $Q_8$ кватернионных единиц. В ней восемь элементов $1,i,j,k,-1,-i,-j,-k$ (минус стоит считать частью обозначения, и это не взятие обратного элемента), которые умножаются так: $1\cdot x = x\cdot1 = x$, $x\cdot(-y) = -(x\cdot y)$, $-(-x) = x$, $i\cdot xi = j\cdot xj = k\cdot xk = i\cdot xj\cdot xk = -1$, где $x, y$ — любой элемент. Из этих соотношений можно восстановить всю таблицу умножения и следует, например, $ij = k, ji = -k$ или $i^{-1} = -i, j^{-1} = -j, (-1)^{-1} = -1$.

Введём указанную в условии операцию $*$: $x*y = y\cdot x$. Теперь пускай $\varphi\colon Q_8\to Q_8$ и $\varphi(x) = x$. Это означает, что $\varphi(1) = 1, \varphi(i) = i, \varphi(j) = j$ и т. д., и этим заданием определяются все свойства $\varphi$. Если указать какое-то ещё равенство для него, оно может противоречить текущему определению. Например, $\varphi(x\cdot y) = x*y$ не совместимо с $\varphi(x) = x$:

$$\begin{gathered} \varphi(i\cdot j) = \varphi(k) = k, \quad\text{но} \\ i*j = j\cdot i = -k. \end{gathered}$$

Не равны правые части, так что не равны и левые.

Или другой пример: $\varphi(x) = x^{-1}$. Это не значит, что $\varphi(x\cdot y) = x^{-1}\cdot y^{-1}$. В самом начале изучения теории групп показывается, что $(x\cdot y)^{-1} = y^{-1}\cdot x^{-1}$. В обратном порядке.

В такой ситуации особенно важно помнить, что дано, а что не дано и было введено вами, и что требуется, но тоже не дано. Вы смешиваете всё вместе, не разделяя никакими логическими связками, и в результате получается то, что получается — не доказательство. Аккуратнее рассмотрите, что получается, если взять $\varphi(x) = x^{-1}$. Остальное: $\varphi(x\cdot y) = x\cdot y, \varphi(x\cdot y) = \varphi(x)*\varphi(y)$ — не дано. И проверяйте ваши ходы на какой-то конечной неабелевой группе типа $Q_8$, чтобы отбросить заведомо неверные.