И вновь о соседних кубах...

[alexo2]

Kudov в сообщении #863929 писал(а):

А то что любое число, простое или составное, в любой степени $1, 2, 3...$ равно разности квадратов двух целых чисел, давно установленный факт.

Kudov, представьте число 1010 в виде разности квадратов.

-- 16.05.2014, 14:41 --

Пока Kudov "думает" (кстати, Kudov, если Вам сложно с числом 1010, подумайте, например, о числе 6 как разности квадратов ), если кому интересно, я к "своим баранам":

оказывается, что если изобразить "области отсутствия и, наоборот, уплотнения решений" графически, опять получается забавная штука - для кубов рисунок начинает напоминать проекцию пространственной степенной кубической формы. Причем, что самое интересное, "уплотнение" решений на проекции образует все сгущающуюся "тень", да так, что видно трехмерность..

[Kudov]

alexo2 в сообщении #863930 писал(а):

Kudov в сообщении #863929 писал(а):

А то что любое число, простое или составное, в любой степени $1, 2, 3...$ равно разности квадратов двух целых чисел, давно установленный факт.

Kudov, представьте число 1010 в виде разности квадратов.

В разности квадратов двух соседних чисел одно число четное, друго - нечетное.
Поэтому заданное число всегда нечетное число. Это понятно из контекста
моего сообщения, и подчеркивать, что это нечетное число не обязательно.

Поскольку Вы не обусловили, что числа должны быть целыми, представляю:
$1010=(55,5)^2-(45,5)^2$

[alexo2]

Kudov в сообщении #863941 писал(а):

В разности квадратов двух соседних чисел одно число четное, друго - нечетное.
Поэтому заданное число всегда нечетное число. Это понятно из контекста
моего сообщения, и подчеркивать, что это нечетное число не обязательно.

Поскольку Вы не обусловили, что числа должны быть целыми, представляю:
$1010=(55,5)^2-(45,5)^2$

Браво! Вы большой мастер изворачиваться..
А вообще, общение с Kudov уж точно offtop, но уже напоминает и троллинг..

[Lia]

Kudov заблокирован как клон Vinter и Lednov

[alexo2]

alexo2 в сообщении #860161 писал(а):

И более "фундаментальное" утверждение:
"области отсутствия решений", определенные в приведенной выше гипотезе, справедливы не только для соседних степеней, но и для любых, отличающихся на произвольное число...

Прикольно, - степени вообще, оказывается, являются чем-то вроде "фракталов наоборот"..
Кажется, в этой связи есть перспектива наличия неких элементарных рассуждений..
(исследования продолжаются, правда, с большими перерывами )

-- 24.06.2014, 08:01 --

В выражении «фракталы наоборот» понятие «наоборот» все-таки не совсем верное. Просто, в отличие от классических фракталов, степенное самоподобие не бесконечно, а ограничено величиной степени. Да и само самоподобие применяется к разноуровневым данным (в случае с кубами, например, речь идет о периодической смене областей отсутствия решений с областями наличия решений - эти области в точности копируют структуру куба).

[lasta]

alexo2 в сообщении #879001 писал(а):

речь идет о периодической смене областей отсутствия решений с областями наличия решений

Уважаемый alexo2!
Возможность предполагаемых решений?

[alexo2]

lasta в сообщении #880777 писал(а):

Возможность предполагаемых решений?

Прошу прощения, что на форуме я "набегами".
Не совсем понял вопрос..

Интересно, что перебором также удалось найти нечто подобное для простых чисел. Возможно, это некое фундаментальное свойство (имеется ввиду самоподобие на высшем уровне)?..

[lasta]

alexo2 в сообщении #883550 писал(а):

Не совсем понял вопрос..

Уважаемый alexo2!
Области наличия решений - этот термин надо понимать как области наличия предполагаемых решений. Иначе плохо воспринимаются области для несуществующих чисел. Но это несущественно. Сам грешен в текстовых формулировках.

[alexo2]

lasta в сообщении #883653 писал(а):

Области наличия решений - этот термин надо понимать как области наличия предполагаемых решений.

Нет, не «предполагаемых», а вполне реальных – имеется ввиду решений, например, для разности соседних кубов «уточненного» уравнения $(6a+1)^3-(6a)^3 = (6b+1)^3+6c$. Если рассматривать более общее «неуточненное» уравнение $(X+1)^3-X^3 = Y^3+Z$, то в общем случае, Z может быть любым целым числом отличным от 0 и равенство будет выполняться (на самом деле – тоже недоказано, что «любым», однако, в этом случае чрезвычайно трудно выделить какие-либо закономерности, по-крайней мере, они далеко не очевидны). В случае же с «уточненным» уравнением, имеем, что с может принимать строго определенные значения, чтобы равенство выполнялось.
Вот тут и образуются области наличия и отсутствия вполне реальных решений, и самая «известная» область отсутствия решений – это область от $ c = -36 $ до $ c = 21 $. «Известна» она багодаря тому, что при $ c = 0 $ «вырождается» в самый интересный, короткий и красивый частный случай – в ВТФ. Однако её «протяженность» гораздо больше, и случай ВТФ находится практически «по середине» этой области. В «переводе» же к «неуточненному уравнению», протяженность этой области равна $7^3 = 343$. Далее, начиная от краевых значений этой области, идут области наличия решений ("в обе стороны"). Так вот, их протяженности также неслучайны - например, области наличия решений, следующие сразу за описанной областью отсутствия решений в сумме создают $13^3 - 7^3
Далее следует область отсутствия $13^3$ и т.д. - то есть, в точности повторяется основная структура куба.
Поэтому, по-крайней мере у меня в этой связи двоякое чувство - с одной стороны, все это "подобие" дает некоторые основания полагать, что все-таки существует некое вполне тривиальное рассуждение, на нем основанное, позволяющее сделать однозначный вывод о невозможности целочисленных решений ВТФ. С другой стороны, - я лично убедился, насколько сложно устроены степени, чтобы можно было доказать ВТФ прямыми элементарными математическими выкладками...

-- 04.07.2014, 09:39 --

Да, забыл добавить - аналогично по другим простым степеням >3. (Проверил для 5-ой и, частично (для первой области отсутствия решений), для 7-ой перебором )
Есть большие основания полагать, что все то же самое и для всех простых степеней.

[lasta]

alexo2 в сообщении #883800 писал(а):

Вот тут и образуются области наличия и отсутствия вполне реальных решений, и самая «известная» область отсутствия решений – это область от $ c = -36 $ до $ c = 21 $

То есть, о наличии решения можно говорить только для чисел (a,b). А Вы не пытались найти противоречие по четности чисел. В виде следующего. Добавление числа(например, $(14k+1)$) нектарного одному из делителей чисел тройки решения, изменяет сумму остатков по этому делителю. Сумма остатков изменяет четность. И в этом случае (a,b) определяются как целые. Но в УФ сумма остатков другой четности, и т.д.

[alexo2]

lasta в сообщении #883982 писал(а):

А Вы не пытались найти противоречие по четности чисел.

Уважаемый lasta! На данном этапе я не пытаюсь ничего доказывать математически, а только лишь нахожу закономерности посредством, прошу прощения, тупого компьютерного перебора. То есть, создаю некий "задел на будущее", так сказать..

[alexo2]

Интересно, что однозначные, строго определенные области наличия и отсутствия решений имеют место и при решении "уточненных" уравнений для разных простых степеней в исходном уравнении..
Так что, старина Биль, очень похоже, был прав (по-крайней мере для всех показателей в исходном выражении, отличных от$2^n$)...

[alexo2]

Если построить график $(6a+1)^3-(6a)^3 = (6b+1)^3+6c$ относительно с, то становится понятно, откуда "самоподобие" (а,в,с соответственно x, y, z):



Потому что "в сечении" (z-y) этот трехмерный график - кубическая парабола (что вобщем-то, очевидно)...

[Lia]

alexo2
Замечание за неоформление формул.

[alexo2]

Интересны некоторые наблюдения и для тождественного случаю разности соседних кубов уравнения:
$4m^3 = 3n^2+1$
Заменив "единичку" в правой части на переменную с:
$4m^3 = 3n^2+c$,
и находя решения перебором, приходим, что "нововведенная" переменная для того, чтобы исходное уравнение имело решения в натуральных $m, n$, может быть только вида:
$c=4k+1$ (причем, похоже, что $k$ - любое целое)
В случае же, когда $k = 0$ (то есть, при его тривиальном значении - как раз наш случай - для разности соседних кубов) имеем, соответственно, и только тривиальное для натуральных $m, n$ решение (1; 1)...