И вновь о соседних кубах...

[alexo2]

Ещё из обобщающих наблюдений:
- итак, находя решения (все же, думаю, что к перебору понятие «решение» как процесс, мало подходит, а вот «находить решение» - самое то) $(6a+1)^3-(6a)^3 = (6b+1)^3-6c$ в натуральных числах, убеждаемся, что решения появляются только при $c = 36$, не говоря уж о классическом случае, когда $c = 0$;
- было бы несправедливо рассматривать $c$ только как натуральное число. При рассмотрении же его как целого, получаем ещё одно уравнение:
$(6a+1)^3-(6a)^3 = (6b+1)^3+6c$,
решения которого «начинаются» уже от $c = 21 $.
То есть, приходим к соотношению 21/36 или 7/12. Это отношение уже несколько раз попадалось мне при исследовании УФ для кубов, так что впору говорить о некой «постоянной»…
- забавно, что исследуя, если можно так сказать «псевдокубы» (ниже поясню что я так называю), ничего подобного не наблюдается – для тех псевдокубов, для которых при с=0 решений не существует, решения начинаются уже с с=1. «Псевдокубами» или «Кубами по основанию» я называю такие степенные формы, которые имеют аналогичное «строение» с кубами, однако, «правила построения» несколько видоизменены. Например, известно, что каждый «классический» куб состоит (или «строится») из суммы последовательных «добавок» вида $1 + 6T$, где Т – соответствующее треугольное число. Так вот, «псевдокубы» строятся из добавок вида в общем случае: $1+2nT$, кроме n=3 (при n=3 это будет классический куб). n и является «основанием». При n=2 и n=7 решения для разности кубов имеются. При других n их может не быть – исследовал «недалеко» - до n = 9 – кроме 2 и 7 решений нет. (Попадаются и интересные случаи, например, когда n=4. При этом псевдокуб представляет собой последовательную сумму нечетных квадратов. Как я понимаю, доказать для псевдокуба по основанию 4 частный случай для разности соседних псевдокубов легко – можно переформулировать следующим образом: «Сумма последовательных нечетных квадратов сама не может являться нечетным квадратом»)…
Предвосхищая вопрос, для чего я все это «исследую», отвечу так – меня конечно же полностью устраивают и док-ва Эйлера и Уайлза, однако, меня не устраивает, что у меня «в уме» это никак не упорядочено и больше напоминает некую аксиоматику – «Это так, потому что это так».. Надеюсь на простейшем случае разности сосдних кубов хотя бы в общем понять «анатомию» ВТФ..

Забыл сказать - для 5-ой степени, похоже то же самое (в смысле решений для разности соседних, только, видимо, со своей "постоянной" - мои методы перебора "не достают" до больших чисел 5-ой степени, но для с до 100 и а,в до 1000 решений нет). Для 7-ой степени и выше - ещё "печальнее" - чтобы о чем-то судить с большой долей вероятности (или "выдвигать сколь-нибудь" правдоподобные гипотезы), уже необходимы распределенные вычисления...

-- 11.04.2014, 11:39 --

Кстати, если кто-то может проверить перебором для 5-ой степени, то там константа должна быть 31/60...

[alexo2]

Да, так и есть - для 5-ой степени уравнение для разности соседних при $c=0$:
$(30a+1)^5-(30a)^5=(30b+1)^5+30c$
Решений "в промежутке" между $c=-(30^4)$ и $c=144305$ нет. Эти "краевые" значения с вместе с соответствующими а и в являются тривиальными решениями (также как и в случае с кубами, где краевыми решениями являются $-(6^2)$ и 21 для с).
Правда, с константой "не угадал", зато, похоже, аналогичные утверждения можно сделать для всех простых степеней...

Может, Ферма об этом "знал", пусть и бездоказательно?...

[alexo2]

То есть, гипотеза:
Для любого простого показателя $n>3$ уравнение
$(6na+1)^n-(6na)^n=(6nb+1)^n+(6nc)$
не имеет решений при
$-(6n)^{n-1}<c<((6n+1)^n-(6n)^n-1)/(6n)$
Для куба:
$(6a+1)^3-(6a)^3=(6b+1)^3+(6c)$
не имеет решений при
$-(6)^2<c<((6+1)^3-6^3-1)/6$

[alexo2]

«Туман» понемногу рассеивается.. В частности, теперь ясно, почему:

alexo2 в сообщении #848281 писал(а):

ничего подобного не наблюдается – для тех псевдокубов, для которых при с=0 решений не существует, решения начинаются уже с с=1.

Долго объяснять, но первопричина в том, что в отличие от классических кубов, произведение псевдокубов всегда не дает в итоге псевдокуб (впрочем, как не дает и классический куб)…

-- 15.04.2014, 15:51 --

Кстати, опять забыл об интересном:
обозначенные в гипотезе границы начала решений справедливы не только для разности соседних степеней, но и вообще - для любой разности степеней...

[alexo2]

Что, собственно, и ожидалось – для случая суммы соседних степеней «суммарная область отсутствия решений» для С – сумма минимальных соседних степеней. И с=0, естественно, находится «между» этими степенями. (Как раньше было показано, для разности соседних степеней «суммарная область отсутствия решений» для С – наибольшая из соседних минимальных степеней, а с=0 находится между наименьшей минимальной степенью и «добавкой» до наибольшей минимальной соседней степенью)…

[alexo2]

И более "фундаментальное" утверждение:
"области отсутствия решений", определенные в приведенной выше гипотезе, справедливы не только для соседних степеней, но и для любых, отличающихся на произвольное число...

-- 07.05.2014, 15:32 --

То есть, ВТФ является частным случаем более общего утверждения.

[alexo2]

вполне понятно, что $c$ обязательно кратно показателю степени...

-- 08.05.2014, 14:24 --

Вообще, с ростом $a, b$ значение $c$ также в общем возрастает, причем строго периодически встречаются области отсутствия решений с также возрастающим периодом.
В этом смысле можно сказать, что "ВТФ повезло" - самый "красивый" и короткий случай (при $c = 0$) "попал" почти в самую середину одной из областей отсутствия решений...

[Kudov]

Рассматриваемый случай доказывается просто с помощью формулы Евклида:
$a^3=(\frac{a^3+1}{2})^2-(\frac{a^3-1}{2})^2$
В формуле Евклида речь идет имеено о соседних числах.
Число в кубе равно разности квадратов двух соседних чисел.
Следовательно, число в кубе не может быть равно разности кубов двух соседних чисел.

[alexo2]

Kudov в сообщении #863852 писал(а):

Следовательно, число в кубе не может быть равно разности кубов двух соседних чисел.

Что-то Marcopolo напомнило

[vorvalm]

Kudov в сообщении #863852 писал(а):

Следовательно, число в кубе не может быть равно разности кубов двух соседних чисел.

Безусловно, это почерк "Markopolo".
У него все выводы без доказательства.

[Kudov]

Что здесь доказывать? Из приведенной формулы человеку,
знающему школьную алгебру, все понятно. Возьмите любое нечетное
число $a$ в кубе, выполните рссчет, и получите разность квадратов
двух соседних чисел: четного и нечетного или наоборот.
Нечетное число в кубе, да и в любой другой степени, равно разности квадратов
двух соседних чисел, Оно не может быть одновременно равно разности двух соседних чисел в кубе или, соответственно, в любой другой степени.

[alexo2]

Kudov в сообщении #863917 писал(а):

Нечетное число в кубе, да и в любой другой степени, равно разности квадратов
двух соседних чисел, Оно не может быть одновременно равно разности двух соседних чисел в кубе или, соответственно, в любой другой степени.

Почему это не может?
Например, почему число 19 может одновременно быть и разностью соседних кубов и квадратов, а "любое число в кубе или, соответственно, в любой другой степени" не может?..

[nnosipov]

alexo2, не беспокойтесь понапрасну, я уже вызвал санитаров.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #863924 писал(а):

alexo2, не беспокойтесь понапрасну, я уже вызвал санитаров.

Ну, да, Kudov, похоже не в курсе, что любое нечетное число (в чье множество, естественно входили бы и предполагаемые решения для разности соседних кубов) можно представить в виде разности соседних квадратов.

[Kudov]

alexo2 в сообщении #863921 писал(а):

Kudov в сообщении #863917 писал(а):

Нечетное число в кубе, да и в любой другой степени, равно разности квадратов
двух соседних чисел, Оно не может быть одновременно равно разности двух соседних чисел в кубе или, соответственно, в любой другой степени.

Почему это не может?
Например, почему число 19 может одновременно быть и разностью соседних кубов и квадратов, а "любое число в кубе или, соответственно, в любой другой степени" не может?..

Не число, а число в степени, при том в той же степени, в которой должна быть и соседние числа.
А то что любое число, простое или составное, в любой степени $1, 2, 3...$ равно разности квадратов двух целых чисел, давно установленный факт.

-- 16.05.2014, 13:20 --

alexo2 в сообщении #863928 писал(а):

nnosipov в сообщении #863924 писал(а):

alexo2, не беспокойтесь понапрасну, я уже вызвал санитаров.

Ну, да, Kudov, похоже не в курсе, что любое нечетное число (в чье множество, естественно входили бы и предполагаемые решения для разности соседних кубов) можно представить в виде разности соседних квадратов.

Все это из области "ученых" предположений о "теории множеств", никем и никогда не доказанное.
Пример $13^2=8^3-7^3=2^9-7^3$ не приводить.
К кубическому уравнению теоремы Ферма это не имеет отношения.
Речи ведется о заданном числе встепени $n>2.$
Какое-то отношение пример имеет к гипотезе Биля.


P.S. Стукачество - омерзительное занятие!