Теорема о движении центра инерции системы.

[Katmandu]

Задача

К тележке $A$ массы $M$ подвешен маятник, который колеблется по закону $\varphi = \varphi_0 \sin kt $. Определить уравнение движения тележки, если масса маятника равна $m$, а длина стержня маятника равна $l$. Трением скольжения и массой стержня пренебречь. В начальный момент тележка находилась в покое.




Решение:

Действую по алгоритму, описанному в Бате.

1) Изобразить внешние силы
2) Выбрать систему координат



3) Записать теорему в проекциях

$$ M\ddot x = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} $$

$$ M\ddot y = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{ky} $$

4)Вычислить сумму проекций всех внешних сил системы на оси

$$ \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} = 0 $$

$$ \sum_{k = 1}^{n} F^l_{ky} = R_1 + R_2 - P_1 - P_2 $$

5)Записать координаты центров инерции всех $n$ масс и продифференцировать дважды по времени. Составить диф уравнение
В итоге получается

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

$$ M \ddot y = -m l \varphi _0 k^2 ( \varphi _0 \cos (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \sin (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

6) Определить искомые величины:
Подскажите как решить дифференциальное уравнение и найти $x$

[Nirowulf]

Katmandu в сообщении #863803 писал(а):

3) Записать теорему в проекциях

$$ M\ddot x = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} $$

Katmandu в сообщении #863803 писал(а):

4)Вычислить сумму проекций всех внешних сил системы на оси

$$ \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} = 0 $$

Katmandu в сообщении #863803 писал(а):

5)Записать координаты центров инерции всех $n$ масс и продифференцировать дважды по времени. Составить диф уравнение
В итоге получается

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

Здесь у вас явно что-то не сходится: нуль стал не нулём.

Сила $\mathbf{P_1}$ должна быть направлена не вертикально вниз, а вдоль маятника.

[Katmandu]

Nirowulf в сообщении #863805 писал(а):

Сила $\mathbf{P_1}$ должна быть направлена не вертикально вниз, а вдоль маятника.

Вес тележки направлен вдоль маятника?

[Nirowulf]

Katmandu
Так то у вас вес тележки, прощу прощения, перепутал.

Я подумал, что это сила, с которой маятник действует маятник на тележку. Значит про эту силу вы и забыли, а она будет, так как на маятник действует центробежная сила, направленная как раз вдоль стержня.

[Katmandu]

3) Записать теорему в проекциях

$$ M\ddot x = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} = -N \sin (\varphi_0 \sin kt) $$

$$ M\ddot y = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{ky} = R_1 + R_2 - P_1 - P_2 -N \cos (\varphi_0 \sin kt) $$

$\vec {N}$ - сила, направленная вдоль стержня

Также известно, что

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

Отсюда можно попробовать найти силу $\vec N$.
Но ведь с другой стороны, нужно как то решать последнее диф уравнение

[iifat]

На маятник, вообще-то, действует сила реакции стержня, направленная вдоль стержня. Центробежная — это несоколько про другое.

[Katmandu]

А разве сила с которой маятник действует на тележку внешняя?

iifat в сообщении #863810 писал(а):

На маятник, вообще-то, действует сила реакции стержня, направленная вдоль стержня.

Сила реакции является внешней силой или внутренней?

[Nirowulf]

Katmandu в сообщении #863809 писал(а):

Также известно, что

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

Можно узнать, как вы это получили?

Katmandu в сообщении #863812 писал(а):

А разве сила с которой маятник действует на тележку внешняя?

Для тележки да.

-- 16.05.2014, 05:25 --

В общем, вам надо аккуратно расписать все силы, действующие на каждый из $3$ объектов: маятник, стержень, тележку.

[Katmandu]

Nirowulf в сообщении #863814 писал(а):

Katmandu в сообщении #863809
писал(а):
Также известно, что

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

Можно узнать, как вы это получили?

$$ M \ddot x = m_1 \ddot x_1 + m_2 \ddot x_2 $$

,$m_1$ - масса тележки
$ m_2 $ - масса маятника

далее , проекции координат центров инерции на ось икс:
$ x_1$ - координата икс положения тележки , можно положить = 0
$ x_2 = l \sin(\varphi \sin kt) $ - координата икс положения маятника
Далее дифференцируем дважды
получаем

$$ \ddot x_2 = l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt) $$

следовательно

$$ M \ddot x = m_1 \ddot x_1 + m_2 \ddot x_2 =m_2 l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt) $$

[Nirowulf]

Katmandu
В условии же спрашивается уравнение движения тележки, а у вас так лихо получается, что это уравнение есть просто $\ddot{x}_1=0.$

[Katmandu]

Nirowulf в сообщении #863825 писал(а):

В условии же спрашивается уравнение движения тележки, а у вас так лихо получается, что это уравнение есть просто $\ddot{x}_1=0.$

Тогда

$$ M \ddot x_c = m_1 \ddot x_1 + m_2 \ddot x_2 $$

$m_1$ и $m_2$ масса тележки и маятника соответственно.
$ M = m_1 + m_2 $

$x_1$ - неизвестно, его нужно найти.
$x_2 = l \sin (\varphi _0 \sin kt) $
$ \dot x_2 = l \varphi _0 k \cos(\varphi _0 \sin kt) \cos kt $
$ \ddot x_2 = - l \varphi _0 k^2 ( \varphi _0 \sin(\varphi _0 \sin kt) \cos ^2 kt + \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt) $


C другой стороны
$ M \ddot x_c = - N \sin(\varphi _0 \sin kt) $

В итоге получается дифференциальное уравнение относительно $x_1$

$$ - N \sin(\varphi _0 \sin kt) = m_1 \ddot x_1 - m_2 l \varphi _0 k^2 ( \varphi _0 \sin(\varphi _0 \sin kt) \cos ^2 kt + \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt) $$

[DimaM]

Может, вначале стоит получить решение?
Скорость маятника относительно тележки вычисляется сразу, относительно земли находится из закона сохранения импульса (тут же найдется и скорость тележки).

[Katmandu]

DimaM в сообщении #863848 писал(а):

Может, вначале стоит получить решение?
Скорость маятника относительно тележки вычисляется сразу, относительно земли находится из закона сохранения импульса (тут же найдется и скорость тележки).

Решение будет получено с использованием теоремы о движении центра инерции системы?

[DimaM]

Katmandu в сообщении #863863 писал(а):

Решение будет получено с использованием теоремы о движении центра инерции системы?

Не уверен, что точно понимаю смысл слов "центр инерции". Если же говорить про центр масс, то да, по горизонтали он движется известным образом (стоит на месте).

[Katmandu]

DimaM в сообщении #863877 писал(а):

Не уверен, что точно понимаю смысл слов "центр инерции"

Центр инерции и центр масс в данном контексте одно и то же.