2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 02:54 


18/04/14
157
sbp
Задача

К тележке $A$ массы $M$ подвешен маятник, который колеблется по закону $\varphi = \varphi_0 \sin kt $. Определить уравнение движения тележки, если масса маятника равна $m$, а длина стержня маятника равна $l$. Трением скольжения и массой стержня пренебречь. В начальный момент тележка находилась в покое.

Изображение


Решение:

Действую по алгоритму, описанному в Бате.

1) Изобразить внешние силы
2) Выбрать систему координат

Изображение

3) Записать теорему в проекциях

$$ M\ddot x = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} $$
$$ M\ddot y = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{ky} $$


4)Вычислить сумму проекций всех внешних сил системы на оси
$$  \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} = 0 $$
$$  \sum_{k = 1}^{n} F^l_{ky} = R_1 + R_2 - P_1 - P_2 $$

5)Записать координаты центров инерции всех $n$ масс и продифференцировать дважды по времени. Составить диф уравнение
В итоге получается

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$
$$ M \ddot y = -m l \varphi _0 k^2 (  \varphi _0 \cos (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \sin (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

6) Определить искомые величины:
Подскажите как решить дифференциальное уравнение и найти $x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 03:18 


30/05/13
253
СПб
Katmandu в сообщении #863803 писал(а):
3) Записать теорему в проекциях

$$ M\ddot x = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} $$

Katmandu в сообщении #863803 писал(а):
4)Вычислить сумму проекций всех внешних сил системы на оси
$$  \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx} = 0 $$

Katmandu в сообщении #863803 писал(а):
5)Записать координаты центров инерции всех $n$ масс и продифференцировать дважды по времени. Составить диф уравнение
В итоге получается

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

Здесь у вас явно что-то не сходится: нуль стал не нулём.

Сила $\mathbf{P_1}$ должна быть направлена не вертикально вниз, а вдоль маятника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 03:25 


18/04/14
157
sbp
Nirowulf в сообщении #863805 писал(а):
Сила $\mathbf{P_1}$ должна быть направлена не вертикально вниз, а вдоль маятника.

:shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock:

Вес тележки направлен вдоль маятника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 03:28 


30/05/13
253
СПб
Katmandu
Так то у вас вес тележки, прощу прощения, перепутал.

Я подумал, что это сила, с которой маятник действует маятник на тележку. Значит про эту силу вы и забыли, а она будет, так как на маятник действует центробежная сила, направленная как раз вдоль стержня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 03:52 


18/04/14
157
sbp
3) Записать теорему в проекциях

$$ M\ddot x = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{kx}  = -N \sin (\varphi_0 \sin kt) $$
$$ M\ddot y = \sum_{k = 1}^{n} F^l_{ky}  = R_1 + R_2 - P_1 - P_2  -N \cos (\varphi_0 \sin kt) $$

$\vec {N}$ - сила, направленная вдоль стержня

Также известно, что

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$


Отсюда можно попробовать найти силу $\vec N$.
Но ведь с другой стороны, нужно как то решать последнее диф уравнение

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 03:56 
Заслуженный участник


16/02/13
4195
Владивосток
На маятник, вообще-то, действует сила реакции стержня, направленная вдоль стержня. Центробежная — это несоколько про другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 04:09 


18/04/14
157
sbp
А разве сила с которой маятник действует на тележку внешняя?

iifat в сообщении #863810 писал(а):
На маятник, вообще-то, действует сила реакции стержня, направленная вдоль стержня.


Сила реакции является внешней силой или внутренней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 04:18 


30/05/13
253
СПб
Katmandu в сообщении #863809 писал(а):
Также известно, что

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$

Можно узнать, как вы это получили?

Katmandu в сообщении #863812 писал(а):
А разве сила с которой маятник действует на тележку внешняя?

Для тележки да.

-- 16.05.2014, 05:25 --

В общем, вам надо аккуратно расписать все силы, действующие на каждый из $3$ объектов: маятник, стержень, тележку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 04:36 


18/04/14
157
sbp
Nirowulf в сообщении #863814 писал(а):
Katmandu в сообщении #863809
писал(а):
Также известно, что

$$ M\ddot x = m l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt )$$
Можно узнать, как вы это получили?





$$ M \ddot x = m_1 \ddot x_1 + m_2 \ddot x_2 $$
,$m_1$ - масса тележки
$ m_2 $ - масса маятника

далее , проекции координат центров инерции на ось икс:
$ x_1$ - координата икс положения тележки , можно положить = 0
$ x_2 = l \sin(\varphi \sin kt) $ - координата икс положения маятника
Далее дифференцируем дважды
получаем
$$ \ddot x_2 = l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt)  $$

следовательно
$$ M \ddot x = m_1 \ddot x_1 + m_2 \ddot x_2  =m_2 l \varphi _0 k^2 ( - \varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt - \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt) 
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 06:34 


30/05/13
253
СПб
Katmandu
В условии же спрашивается уравнение движения тележки, а у вас так лихо получается, что это уравнение есть просто $\ddot{x}_1=0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 08:03 


18/04/14
157
sbp
Nirowulf в сообщении #863825 писал(а):
В условии же спрашивается уравнение движения тележки, а у вас так лихо получается, что это уравнение есть просто $\ddot{x}_1=0.$


Тогда

$$ M \ddot x_c = m_1 \ddot x_1 + m_2 \ddot x_2 $$

$m_1$ и $m_2$ масса тележки и маятника соответственно.
$ M = m_1 + m_2 $

$x_1$ - неизвестно, его нужно найти.
$x_2 = l \sin (\varphi _0 \sin kt) $
$ \dot x_2 = l \varphi _0 k \cos(\varphi _0 \sin kt) \cos kt $
$ \ddot x_2 =  - l \varphi _0 k^2 ( \varphi _0 \sin(\varphi _0 \sin kt) \cos ^2 kt + \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt) $


C другой стороны
$ M \ddot x_c = - N \sin(\varphi _0 \sin kt) $

В итоге получается дифференциальное уравнение относительно $x_1$

$$ - N \sin(\varphi _0 \sin kt) = m_1 \ddot x_1 - m_2  l \varphi _0 k^2 ( \varphi _0 \sin(\varphi _0 \sin kt) \cos ^2 kt + \cos (\varphi _0 \sin kt) \sin kt) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 08:35 
Заслуженный участник


28/12/12
7931
Может, вначале стоит получить решение?
Скорость маятника относительно тележки вычисляется сразу, относительно земли находится из закона сохранения импульса (тут же найдется и скорость тележки).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 09:20 


18/04/14
157
sbp
DimaM в сообщении #863848 писал(а):
Может, вначале стоит получить решение?
Скорость маятника относительно тележки вычисляется сразу, относительно земли находится из закона сохранения импульса (тут же найдется и скорость тележки).


Решение будет получено с использованием теоремы о движении центра инерции системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 10:37 
Заслуженный участник


28/12/12
7931
Katmandu в сообщении #863863 писал(а):
Решение будет получено с использованием теоремы о движении центра инерции системы?
Не уверен, что точно понимаю смысл слов "центр инерции". Если же говорить про центр масс, то да, по горизонтали он движется известным образом (стоит на месте).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о движении центра инерции системы.
Сообщение16.05.2014, 11:23 


18/04/14
157
sbp
DimaM в сообщении #863877 писал(а):
Не уверен, что точно понимаю смысл слов "центр инерции"


Центр инерции и центр масс в данном контексте одно и то же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: reterty


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group