Теорема о движении центра инерции системы.

[DimaM]

Katmandu в сообщении #863890 писал(а):

Центр инерции и центр масс в данном контексте одно и то же.

Тогда см. выше.

[Katmandu]

Тогда исходя из того, что центр масс, не двигается по горизонтали можно сделать следующие выкладки:

$$ (m_1 + m_2) x_c = m_1 x_1 + m_2 x_2 $$

$$ x_1 = \frac {(m_1 + m_2)x_c - m_2 x_2} {m_1} $$

Это и будет уравнение движения тележки? Верно?

[DimaM]

Katmandu в сообщении #863893 писал(а):

Это и будет уравнение движения тележки?

Нет.
Это будет решение уравнения. Точнее, не совсем решение, потому что известно положение маятника в системе тележки, надо выражать через него.

[Katmandu]

DimaM в сообщении #863848 писал(а):

Скорость маятника относительно тележки вычисляется сразу

пусть $v_r$ - скорость маятника относительно тележки
тогда

$$ v_r = l \dot \varphi = l \varphi _0 k \cos kt $$

?

[DimaM]

Katmandu в сообщении #863898 писал(а):

тогда

Ага. Теперь еще по компонентам расписать.

[Munin]

Katmandu в сообщении #863890 писал(а):

Центр инерции и центр масс в данном контексте одно и то же.

Всегда одно и то же. Просто в некоторых контекстах слово "масса" смотрится не к месту, и тогда используют "центр инерции" (я знаю только один такой контекст: СТО).

Ещё и "центр тяжести" обычно то же самое. В математике вообще говорят всегда "центр тяжести" (например, для геометрической фигуры). В физике "центр тяжести" может поменяться, если гравитационное поле неоднородное, но тогда в этом понятии становится мало пользы.

[Katmandu]

$$ v_{rx} = \dot x_{r} = l \varphi _0 k \cos kt \cos ( \varphi _0 \sin kt) $$

$$ v_ {ry} = \dot y_{r} = l \varphi _0 k \cos kt \sin (\varphi _0 \sin kt) $$

[Katmandu]

Пусть $x_c $ - центра масс(инерции), $M =m_1 + m_2$ масса тележки и маятника.

$$ M \ddot x_c = 0 $$

отсюда следует, что $\dot x_c - \operatorname{const}$ , а $x_c$ - некая линейная функция

Дальше рассматриваем проекцию только на ось $x$
Пусть $x(t)$ - положение тележки во время t (его нужно найти)
$x(t) + l \sin (\varphi _0 \sin kt)$ - координата икс для маятника.

Далее имеем

$$ M x_c = m_1 x(t) + m_2 x(t) + m_2 l \sin (\varphi _0 \sin kt) $$

или

$$ x_c = x(t) + \frac {m_2 l \sin (\varphi _0 \sin kt)} { M } $$

из предыдущих выводов известно, что $x_c$ - это некая линейная функция.

$$ \dot x_c = \dot x(t) + \frac {m_2 l k \varphi_0 \cos(\varphi _0 \sin kt) \cos kt} {M} $$

$$ \ddot x_c = \ddot x(t) - \frac { l m_2 \varphi _0 k^2 (\varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt + \cos(\varphi _0 \sin kt) \sin kt) } {M} = 0 $$

$$ \ddot x(t) = \frac { l m_2 \varphi _0 k^2 (\varphi _0 \sin (\varphi _0 \sin kt) \cos^2 kt + \cos(\varphi _0 \sin kt) \sin kt) } {M} $$

Дальше интегрируем и получаем

$$ \dot x(t) = - \frac {m_2 l k \varphi_0 \cos(\varphi _0 \sin kt) \cos kt} {M} + C_1 $$

Откуда нетрудно видеть, что $C_1 = x_c$

В начальный момент времени тележка была неподвижна по условию задачи: $\dot x(0) = 0 $
Тогда

$$ \dot x(0) = -\frac {m_2 l k \varphi _0} {M} + C_1 = 0 $$

Отсюда

$$ C_ 1 = \frac {m_2 l k \varphi _0} {M} $$

При последующем интегрировании получаем

$$ x(t) = - \frac {m_2 l \sin(\varphi _0 \sin kt)} {M} + C_1 t + C_2 $$

Пусть в начальный момент времени $ x(0) = 0 $;
Тогда получаем $ C_2 = 0 $

Подставляем $C_1$ в последнее уравнение и получаем

$$ x(t) = \frac {m_2 l k \varphi _0 t} {M} - \frac {m_2 l \sin(\varphi _0 \sin kt)} {M} $$

$$ x(t) = \frac {m_2 l (k \varphi _0 t - \sin(\varphi _0 \sin kt))} {M} $$