Надумал следующее решение, вроде правильное, но нужна проверка.
Из
![y^3=3x^2+3x+1 y^3=3x^2+3x+1](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/2/df21387efae751d97a0ae54f3aaa1b5982.png)
следует, что y=3p+1 (следует из того, что правая часть при делении на 3 даёт остаток 1, а для
![y^3 y^3](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/6/546a76a4e77e1264abe43c62f2a05b0b82.png)
последнее может иметь место только, если
y=3p+1)
Так как для любого a|p --> a не делит НОД(x-3p,(x+1)+3p) (не делит потому, что для любого x
---> НОД(x,x+1)=1и если бы числа x-3p и (x+1)+3p имели бы общий множитель с p, то мы бы получили противоречие )то либо p|x либо p|(x+1)-->
![p^3|(x-3p) p^3|(x-3p)](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/e/f7e14b3849c7bc21f9df0d42cc9c59e682.png)
или
![p^3|((x+1)+3p) p^3|((x+1)+3p)](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/f/5cf1fb6b556c6d160fe1db831c7d6f6a82.png)
. Допустим, что имеет место
![3^2*p^3|(x-3p) 3^2*p^3|(x-3p)](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/3/89330933685fae2f18548e7823dfcf6a82.png)
или
![3^2*p^3|(x+1+3p) 3^2*p^3|(x+1+3p)](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/5/66546d4359848e5dc4f2d5d34c9a5bc282.png)
. Тогда, так
как x+1+3p>x-3p то
![3^2*p^3=x+1+3p 3^2*p^3=x+1+3p](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/e/28e7da2d8cbdebda4213e11024348ac482.png)
и x-3p=1 т.е. x=y, но уравнение
![x^3=3x^2+3x+1 x^3=3x^2+3x+1](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/b/aab96ad01c43f53f25f34441fa45d5ff82.png)
не имеет, очевидно,
решений в натуральных числах. Cледовательно, должно иметь место одно из двух соотношений:
1.
![p^3|(x-3p) p^3|(x-3p)](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/e/f7e14b3849c7bc21f9df0d42cc9c59e682.png)
и
![3^2|((x+1)+3p) 3^2|((x+1)+3p)](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/7/cb7d58284273ba6544752b905ff0bf6382.png)
, либо
2.
![3^2|(x-3p) 3^2|(x-3p)](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/0/620a241869105317cb96c36328d69fd482.png)
и
Из первого имеем:
![p^3=x-3p p^3=x-3p](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/0/c5080da2b6fe2ed297ef0abf91c1244e82.png)
, соответственно
![3^2=(x+1)+3p 3^2=(x+1)+3p](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/9/6193ee893059c39eea086665d0a174ee82.png)
,откуда
![p^3+6P=8 p^3+6P=8](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/9/a390538993f7c92ab93496a81fdb612682.png)
очевидно, что не при p=1 ни при p=2 равенство не достигается.
Из второго же имеем:
![3^2=x-3p 3^2=x-3p](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/d/80d76b7fc8908b942569fb248bb818af82.png)
, соответственно
![p^3=(x+1)+3p p^3=(x+1)+3p](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/e/06e5cf0d76ce860820efa50c930accfb82.png)
,
из последнего следует, что 2|p и следовательно 2|x но последнее не возможно, так как из
![3^2=x-3p 3^2=x-3p](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/d/80d76b7fc8908b942569fb248bb818af82.png)
,
следует,что 2|3, что не возможно.