Решить в целых числах

[Amigo]

Имеет ли уравнение: $y^3=3x^2+3x+1$ решение в натуральных числах?

[Henrylee]

Нет.

$y^3+x^3=(x+1)^3$

[venja]

Henrylee писал(а):

Нет.

$y^3+x^3=(x+1)^3$

Забавно.

[Amigo]

venja писал(а):

Henrylee писал(а):

Нет.

$y^3+x^3=(x+1)^3$

Забавно.

Да, действительно забавно. А можно ли это уравнение решить не опираясь на теорему Ферма?

[Алексей К.]

Наверное, более правильно сформулировать вопрос так:
"А можно ли это уравнение НЕ решить, не опираясь на теорему Ферма?"
Наверное, можно --- за счёт того, что два соседних числа участвуют.

[Henrylee]

Вот это уже совсем другое дело. А то уж я думал было, что Вы так изощренно пошутили

[Amigo]

Надумал следующее решение, вроде правильное, но нужна проверка.

Из y^3=3x^2+3x+1 следует, что y=3p+1 (следует из того, что правая часть при делении на 3 даёт остаток 1, а для y^3 последнее может иметь место только, если
y=3p+1)
(3p+1)^3=3x^2+3x+1
3^3p^3+3(3p)^2+3(3p)+1=3x^2+3x+1
3^3p^3+3(3p)^2+3(3p)=3x^2+3x
3^2p^3+(3p)^2+3p=x^2+x
3^2p^3=x^2-(3p)^2+x-3p
3^2p^3=(x-3p)(x+3p)+(x-3p)
3^2p^3=(x-3p)((x+1)+3p))
Так как для любого a|p --> a не делит НОД(x-3p,(x+1)+3p) (не делит потому, что для любого x
---> НОД(x,x+1)=1и если бы числа x-3p и (x+1)+3p имели бы общий множитель с p, то мы бы получили противоречие )то либо p|x либо p|(x+1)-->
p^3|(x-3p) или p^3|((x+1)+3p). Допустим, что имеет место 3^2*p^3|(x-3p) или 3^2*p^3|(x+1+3p). Тогда, так
как x+1+3p>x-3p то 3^2*p^3=x+1+3p и x-3p=1 т.е. x=y, но уравнение x^3=3x^2+3x+1 не имеет, очевидно,
решений в натуральных числах. Cледовательно, должно иметь место одно из двух соотношений:
1. p^3|(x-3p) и 3^2|((x+1)+3p), либо
2. 3^2|(x-3p) и p^3|((x+1)+3p)
Из первого имеем:
p^3=x-3p, соответственно
3^2=(x+1)+3p,откуда
p^3+3P=8-3P
p^3+6P=8 очевидно, что не при p=1 ни при p=2 равенство не достигается.

Из второго же имеем:
3^2=x-3p, соответственно
p^3=(x+1)+3p,
p^3+3^2=2x+1
p^3=2x-8
из последнего следует, что 2|p и следовательно 2|x но последнее не возможно, так как из 3^2=x-3p,
следует,что 2|3, что не возможно.

[gefest_md]

Amigo
Если только x, то решений нет. Если x и y, то 0 и 1. Других решений нет.

[Amigo]

gefest_md писал(а):

Amigo
Если только x, то решений нет. Если x и y, то 0 и 1. Других решений нет.

Это конечно замечательно, но меня интересует - верно ли моё доказательство?
Оно вообще понятно? Может нужно подробней расписать?

[Henrylee]

Amigo писал(а):

Из y^3=3x^2+3x+1 следует, что y=3p+1 (следует из того, что правая часть при делении на 3 даёт остаток 1, а для y^3 последнее может иметь место только, если
y=3p+1)

Можно в этом месте поподробнее?
Я не специалист по ТЧ, а сходу как-то не соображу..

[Алексей К.]

Amigo писал(а):

... но меня интересует - верно ли моё доказательство? Может нужно подробней расписать?

Подробней --- точно не нужно.
Распечатал, решил честно старательно проверить, но тут же увидел простое решение, после которого Ваше показалось немножко монстром, и позыв пропал... Может, и Вы согласитесь... типа, ладно, не надо проверять?

Amigo писал(а):

Из y^3=3x^2+3x+1 следует, что y=3p+1 (следует из того, что правая часть при делении на 3 даёт остаток 1, а для y^3 последнее может иметь место только, если $y=3p+1$)
(3p+1)^3=3x^2+3x+1

Раскрываем, сокращаем, получаем $x^2+x-N=0$, где $N=3p(3p^2+3p+1)$.
Решая квадратное (относительно $x$) уравнение, сразу видим, что единственное целое решение получается при $N=0$, т.е. при $p=0$, т.е. $x=0,y=1$.


Но одну оплошность в Вашем доказательстве обнаружил:

Amigo писал(а):

3^2p^3=(x-3p)((x+1)+3p))

Задняя скобочка лишняя...

Добавлено спустя 43 минуты 32 секунды:

Henrylee писал(а):

Можно в этом месте поподробнее?
Я не специалист по ТЧ, а сходу как-то не соображу..

Перебрать 3 варианта, $y=3p$, $y=3p+1$, $y=3p+2$ и сравнить остатки от деления на 3 правой и левой части.
ТЧ --- это Теория Чисел?
Достаточно второй главы ТЧ, а именно Теории Деления На Три.

[Henrylee]

Ценю Ваш юмор
Да, такая простая мысль мне в голову не пришла чего-то

[Amigo]

Вобщем задачу решили. Теперь другая, что можно сказать об уравнении:
y^3=ax^2+bx+c?
При каких (a,b,c) оно имеет и при каких не имеет решений в натуральных числах?
Иследован ли где-нибудь этот вопрос?

[Алексей К.]

A $y^2=x^3+\ldots$ не подойдёт?
Вып. 8. В. В. Острик, М. А. Цфасман. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые.

[незваный гость]

Amigo писал(а):

y^3=ax^2+bx+c?

Умножив на $4 a$, имеем: $(2 a x + b)^2 = -2 a y^3 + (4 a c- b^2)$, т.е. уравнение эллиптической кривой. Оно, разумеется, приводится к виду, написанному Алексей К.. Или, точнее, к $y^2 = x^3 + C$ — кривой Мордела (Mordell Curve) при $C = 4a^2(4 a c - b^2)$. Про неё известно, что число целых решений всегда конечно. (Но они не всегда существуют. Sloans A081119, A054504)