2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решить в целых числах
Сообщение14.11.2007, 09:51 


11/03/06
236
Имеет ли уравнение: $y^3=3x^2+3x+1$ решение в натуральных числах?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2007, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Нет.

$y^3+x^3=(x+1)^3$ :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2007, 10:59 


08/09/07
125
Екатеринбург
Henrylee писал(а):
Нет.

$y^3+x^3=(x+1)^3$ :D


Забавно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2007, 13:01 


11/03/06
236
venja писал(а):
Henrylee писал(а):
Нет.

$y^3+x^3=(x+1)^3$ :D


Забавно.

Да, действительно забавно. А можно ли это уравнение решить не опираясь на теорему Ферма?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2007, 13:30 


29/09/06
4552
Наверное, более правильно сформулировать вопрос так:
"А можно ли это уравнение НЕ решить, не опираясь на теорему Ферма?"
Наверное, можно --- за счёт того, что два соседних числа участвуют.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2007, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Вот это уже совсем другое дело. А то уж я думал было, что Вы так изощренно пошутили :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2007, 21:37 


11/03/06
236
Надумал следующее решение, вроде правильное, но нужна проверка.

Из y^3=3x^2+3x+1 следует, что y=3p+1 (следует из того, что правая часть при делении на 3 даёт остаток 1, а для y^3 последнее может иметь место только, если
y=3p+1)
(3p+1)^3=3x^2+3x+1
3^3p^3+3(3p)^2+3(3p)+1=3x^2+3x+1
3^3p^3+3(3p)^2+3(3p)=3x^2+3x
3^2p^3+(3p)^2+3p=x^2+x
3^2p^3=x^2-(3p)^2+x-3p
3^2p^3=(x-3p)(x+3p)+(x-3p)
3^2p^3=(x-3p)((x+1)+3p))
Так как для любого a|p --> a не делит НОД(x-3p,(x+1)+3p) (не делит потому, что для любого x
---> НОД(x,x+1)=1и если бы числа x-3p и (x+1)+3p имели бы общий множитель с p, то мы бы получили противоречие )то либо p|x либо p|(x+1)-->
p^3|(x-3p) или p^3|((x+1)+3p). Допустим, что имеет место 3^2*p^3|(x-3p) или 3^2*p^3|(x+1+3p). Тогда, так
как x+1+3p>x-3p то 3^2*p^3=x+1+3p и x-3p=1 т.е. x=y, но уравнение x^3=3x^2+3x+1 не имеет, очевидно,
решений в натуральных числах. Cледовательно, должно иметь место одно из двух соотношений:
1. p^3|(x-3p) и 3^2|((x+1)+3p), либо
2. 3^2|(x-3p) и p^3|((x+1)+3p)
Из первого имеем:
p^3=x-3p, соответственно
3^2=(x+1)+3p,откуда
p^3+3P=8-3P
p^3+6P=8 очевидно, что не при p=1 ни при p=2 равенство не достигается.

Из второго же имеем:
3^2=x-3p, соответственно
p^3=(x+1)+3p,
p^3+3^2=2x+1
p^3=2x-8
из последнего следует, что 2|p и следовательно 2|x но последнее не возможно, так как из 3^2=x-3p,
следует,что 2|3, что не возможно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2007, 23:00 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Amigo
Если только x, то решений нет. Если x и y, то 0 и 1. Других решений нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2007, 23:27 


11/03/06
236
gefest_md писал(а):
Amigo
Если только x, то решений нет. Если x и y, то 0 и 1. Других решений нет.

Это конечно замечательно, но меня интересует - верно ли моё доказательство?
Оно вообще понятно? Может нужно подробней расписать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2007, 11:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Amigo писал(а):
Из y^3=3x^2+3x+1 следует, что y=3p+1 (следует из того, что правая часть при делении на 3 даёт остаток 1, а для y^3 последнее может иметь место только, если
y=3p+1)


Можно в этом месте поподробнее?
Я не специалист по ТЧ, а сходу как-то не соображу.. :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2007, 12:19 


29/09/06
4552
Amigo писал(а):
... но меня интересует - верно ли моё доказательство? Может нужно подробней расписать?

Подробней --- точно не нужно.
Распечатал, решил честно старательно проверить, но тут же увидел простое решение, после которого Ваше показалось немножко монстром, и позыв пропал... Может, и Вы согласитесь... типа, ладно, не надо проверять?

Amigo писал(а):
Из y^3=3x^2+3x+1 следует, что y=3p+1 (следует из того, что правая часть при делении на 3 даёт остаток 1, а для y^3 последнее может иметь место только, если $y=3p+1$)
(3p+1)^3=3x^2+3x+1

Раскрываем, сокращаем, получаем $x^2+x-N=0$, где $N=3p(3p^2+3p+1)$.
Решая квадратное (относительно $x$) уравнение, сразу видим, что единственное целое решение получается при $N=0$, т.е. при $p=0$, т.е. $x=0,y=1$.


Но одну оплошность в Вашем доказательстве обнаружил:
Amigo писал(а):
3^2p^3=(x-3p)((x+1)+3p))

Задняя скобочка лишняя... :D

Добавлено спустя 43 минуты 32 секунды:

Henrylee писал(а):
Можно в этом месте поподробнее?
Я не специалист по ТЧ, а сходу как-то не соображу.. :oops:

Перебрать 3 варианта, $y=3p$, $y=3p+1$, $y=3p+2$ и сравнить остатки от деления на 3 правой и левой части.
ТЧ --- это Теория Чисел?
Достаточно второй главы ТЧ, а именно Теории Деления На Три.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2007, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Ценю Ваш юмор :D
Да, такая простая мысль мне в голову не пришла чего-то

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2007, 18:01 


11/03/06
236
Вобщем задачу решили. Теперь другая, что можно сказать об уравнении:
y^3=ax^2+bx+c?
При каких (a,b,c) оно имеет и при каких не имеет решений в натуральных числах?
Иследован ли где-нибудь этот вопрос?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2007, 18:20 


29/09/06
4552
A $y^2=x^3+\ldots$ не подойдёт?
Вып. 8. В. В. Острик, М. А. Цфасман. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2007, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Amigo писал(а):
y^3=ax^2+bx+c?

Умножив на $4 a$, имеем: $(2 a x +  b)^2 = -2 a y^3 + (4 a c- b^2)$, т.е. уравнение эллиптической кривой. Оно, разумеется, приводится к виду, написанному Алексей К.. Или, точнее, к $y^2 = x^3 + C$ — кривой Мордела (Mordell Curve) при $C = 4a^2(4 a c - b^2)$. Про неё известно, что число целых решений всегда конечно. (Но они не всегда существуют. Sloans A081119, A054504)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group