2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебра. Подгруппы. Изоморфизм.
Сообщение09.05.2014, 12:05 


15/09/13
85
Задача: в $S_4$ найти подгруппу, изоморфную аддитивной группе вычетов по модулю 4.
Я решала так: аддитивная группа вычетов по модулю 4 состоит из 4х элементов:0,1,2,3. 0 - единичный элемент, 1 - образующая. Так как здесь 4 элемента, то и в подгруппу $S_4$ должно быть 4 элемента. Один из них - единичная перестановка. Я нашла еще три элемента опытным путем (проверяя, чтобы элемент, равный композиции двух других элементов, являлся одним из предположенных элементов - условие группы). Элементы получились такие: $e,$ $\left(34\right)$, $\left(12\right)$, $\left(12\right) \left(34\right)$. $\left(34\right)$ и $\left(12\right)$- транспозиции, $\left(12\right) \left(34\right)$ - обратен сам себе. То есть, обратные элементы есть у всех, значит, $\{ e, \left(12\right), \left(34\right), \left(12\right) \left(34\right)\}$- группа.

Но она не изоморфна аддитивной группе вычетов по модулю 4 :-( (комментарий преподавателя). Подскажите пожалуйста, что нужно сделать, чтобы найти изоморфную? И почему здесь изоморфизма нет?
Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра. Подгруппы. Изоморфизм.
Сообщение09.05.2014, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Какой, по-Вашему, элемент в аддитивной группе будет соответствовать $(12)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра. Подгруппы. Изоморфизм.
Сообщение09.05.2014, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Группа вычетов по модулю 4, как вы сами заметили - циклическая группа порядка 4. Изоморфной ей может быть тоже только циклическая группа того же порядка. Вот и ищите в $S_4$ элемент порядка 4.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.05.2014, 14:04 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

julyk
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.05.2014, 14:03 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра. Подгруппы. Изоморфизм.
Сообщение11.05.2014, 14:14 


15/09/13
85
Так, я вроде додумалась :-) . Мне надо задать циклическую группу. А ее ведь можно задать одним элементом, и у него должен быть порядок 4. Зная, что порядок элемента подстановки равен НОК длин циклов, берем в качестве такого образующей элемент $\left(1234\right).$ Действительно, если 4 раза проделать операцию композиции, то получим исходный элемент!

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра. Подгруппы. Изоморфизм.
Сообщение11.05.2014, 14:30 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Вот и правильно :-)

(занудство)

В порядке занудства следует обратить внимание на то, что суть не в том, что $(1234)^4=e$, а в том, что $(1234)^k\neq e$ для $k<4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра. Подгруппы. Изоморфизм.
Сообщение11.05.2014, 14:31 


15/09/13
85
Спасибо большое за помощь! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group