Алгебра. Подгруппы. Изоморфизм.

[julyk]

Задача: в $S_4$ найти подгруппу, изоморфную аддитивной группе вычетов по модулю 4.
Я решала так: аддитивная группа вычетов по модулю 4 состоит из 4х элементов:0,1,2,3. 0 - единичный элемент, 1 - образующая. Так как здесь 4 элемента, то и в подгруппу $S_4$ должно быть 4 элемента. Один из них - единичная перестановка. Я нашла еще три элемента опытным путем (проверяя, чтобы элемент, равный композиции двух других элементов, являлся одним из предположенных элементов - условие группы). Элементы получились такие: $e,$ $\left(34\right)$, $\left(12\right)$, $\left(12\right) \left(34\right)$. $\left(34\right)$ и $\left(12\right)$- транспозиции, $\left(12\right) \left(34\right)$ - обратен сам себе. То есть, обратные элементы есть у всех, значит, $\{ e, \left(12\right), \left(34\right), \left(12\right) \left(34\right)\}$- группа.

Но она не изоморфна аддитивной группе вычетов по модулю 4 (комментарий преподавателя). Подскажите пожалуйста, что нужно сделать, чтобы найти изоморфную? И почему здесь изоморфизма нет?
Большое спасибо.

[ex-math]

Какой, по-Вашему, элемент в аддитивной группе будет соответствовать $(12)$?

[Brukvalub]

Группа вычетов по модулю 4, как вы сами заметили - циклическая группа порядка 4. Изоморфной ей может быть тоже только циклическая группа того же порядка. Вот и ищите в $S_4$ элемент порядка 4.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

julyk
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[julyk]

Так, я вроде додумалась . Мне надо задать циклическую группу. А ее ведь можно задать одним элементом, и у него должен быть порядок 4. Зная, что порядок элемента подстановки равен НОК длин циклов, берем в качестве такого образующей элемент $\left(1234\right).$ Действительно, если 4 раза проделать операцию композиции, то получим исходный элемент!

[Sonic86]

Вот и правильно

(занудство)

В порядке занудства следует обратить внимание на то, что суть не в том, что $(1234)^4=e$, а в том, что $(1234)^k\neq e$ для $k<4$

[julyk]

Спасибо большое за помощь!