Ряд Тейлора в векторно-матричной форме

[ewert]

Munin в сообщении #861075 писал(а):

Вот тут тензоры менее распространены, чем матрицы.

В смысле наоборот -- ровно тут тензоры и более, чем матрицы. Что же до матриц... А кому и для чего они, эти матрицы, собственно, нужны?... -- А того лишь ради, что их удобно рисовать на бумаге в клеточку.

Более никаких достоинств у них нет. И, соответственно, вопрос об их вышеразмерных обобщениях -- сугубо бессмыслен.

[prof.uskov]

ewert в сообщении #861101 писал(а):

Munin в сообщении #861075 писал(а):

Вот тут тензоры менее распространены, чем матрицы.

В смысле наоборот -- ровно тут тензоры и более, чем матрицы. Что же до матриц... А кому и для чего они, эти матрицы, собственно, нужны?... -- А того лишь ради, что их удобно рисовать на бумаге в клеточку.

Более никаких достоинств у них нет. И, соответственно, вопрос об их вышеразмерных обобщениях -- сугубо бессмыслен.

А разработчики MATLAB, то и не знают!
Если посмотреть техническую литературу, то термин "матрица" встречается как минимум раз в 10 чаще, чем тензор...

[Munin]

Даже более того, для полиномов нужны не столько вообще тензоры, сколько симметричные (симметрические) тензоры. Для ранга 2 (матрицы) этот объект абстрактно называется квадратичной формой, а вообще - получается форма $p$-й степени (от одного аргумента). При этом, некоторые компоненты могут быть равны между собой, и их можно лишний раз не хранить - но с другой стороны, можно на это не обращать внимания, и тогда формулы будут проще.

Для квадратичной формы размерности $n$ число независимых компонент $(n+1)n/2,$ в то время как произвольная матрица содержит $n^2$ независимых компонент. В квадратичной форме равны между собой компоненты, симметричные относительно диагонали: $A_{ij}=A_{ji}.$ Аналогично, в кубической форме будут равны между собой шесть разных элементов $A_{ijk}=A_{ikj}=A_{jik}=A_{jki}=A_{kij}=A_{kji},$ и останется $\sum\limits_{m=1}^{n}(m+1)m/2=(n+2)(n+1)n/6$ независимых компонент. Вообще, в степенной форме $p$-й степени - $(n+p-1)\ldots(n+1)n/p!$

-- 09.05.2014 23:28:50 --

ewert в сообщении #861101 писал(а):

В смысле наоборот -- ровно тут тензоры и более, чем матрицы.

В смысле - матрицы известны более широкому количеству народу, чем тензоры. Матрицы довольно часто даются "технарям" и "инженерам", которым можно смотреть "не выше сапога" - а тензоры - только тем из них, кто уже подразумевается, что будет понимать хоть что-то.

-- 09.05.2014 23:39:59 --

Степенные формы $p$-й степени можно "визуализировать" себе, как функции на сфере - и собственно, довольно часто они используются как мультипольные моменты (сферические гармоники) в мультипольном разложении. Сфера здесь используется как множество направлений из начала координат.

Монопольный момент - это просто константа по сфере.

Дипольный момент - это функция вида $\cos\theta$ (где $\theta$ - угол, отсчитываемый от "нулевого" направления, принимающий значения $[0,\pi]$ - то есть, "широта ${}+\pi/2$"). Одна полусфера положительна, вторая отрицательна.

Квадрупольные моменты уже бывают разные, в зависимости от взаимного расположения собственных осей. Впрочем, любой квадрупольный момент можно разложить на слагаемые, например, такого вида:
- $\cos 2\theta$
- $\cos\theta\cos\varphi$
Сфера делится на 3-4 области, чередующиеся по знаку, положительные и отрицательные.

Дальше идут октупольные моменты, и т. д. $2^p$-польные для степени $p.$ Название мотивировано тем, что для степенной формы $p$-й степени в общем случае на сфере имеется $2^p$ областей разных знаков, с максимумами, - "полюсов". В симметричных случаях может быть меньше, до $p+1$ штук (когда они все располагаются ровными поясами). Знаки "полюсов" чередуются как шахматная раскраска.

Мультипольное разложение встречается во многих учебниках "для инженеров", потому что оно важно, например, для радиотехники.

[prof.uskov]

Munin в сообщении #861104 писал(а):

В смысле - матрицы известны более широкому количеству народу, чем тензоры. Матрицы довольно часто даются "технарям" и "инженерам", которым можно смотреть "не выше сапога" - а тензоры - только тем из них, кто уже подразумевается, что будет понимать хоть что-то.

Когда много лет назад я поступил в аспирантуру, мой научный руководитель сказал, что мне нужно познакомиться с матричными методами гораздо глубже, чем это изучалось в институте, были рекомендованы:
Гантмахер "Теория матриц", Беллман "Введение в теорию матриц", Хорн, Джонсон "Матричный анализ" и еще несколько объемных томов... Вы считаете, это все "не выше сапога"?

[ewert]

prof.uskov в сообщении #861103 писал(а):

А разработчики MATLAB, то и не знают!

Они уже давно знают. Не в курсе, с какого конкретно года, но уже достаточно давно. Уже давно они и в своём языке предусмотрели многомерные массивы. (Возможно, с тех самых пор, когда они начали переводить себя с досовской версии на виндовсскую.)

Однако же Вы удивИтись: во всех универсальных языках эта конструкция была заложена изначально, и ни один из языков этим никогда как-то не хвастался.

[prof.uskov]

ewert в сообщении #861114 писал(а):

prof.uskov в сообщении #861103 писал(а):

А разработчики MATLAB, то и не знают!

Они уже давно знают. Не в курсе, с какого конкретно года, но уже достаточно давно. Уже давно они и в своём языке предусмотрели многомерные массивы. (Возможно, с тех самых пор, когда они начали переводить себя с досовской версии на виндовсскую.)

Я знаю что там есть многомерные массивы, я их изучал в школе на информатике в 1989 г.
Вы же о тензорах говорите...

[ewert]

prof.uskov в сообщении #861119 писал(а):

Вы же о тензорах говорите...

Ну а Вы говорите прозой -- али нет?...

[Munin]

prof.uskov в сообщении #861110 писал(а):

Когда много лет назад я поступил в аспирантуру, мой научный руководитель сказал, что мне нужно познакомиться с матричными методами гораздо глубже, чем это изучалось в институте, были рекомендованы:
Гантмахер "Теория матриц", Беллман "Введение в теорию матриц", Хорн, Джонсон "Матричный анализ" и еще несколько объемных томов... Вы считаете, это все "не выше сапога"?

Да. Увы. Это всё - "не выше сапога".

Очень жаль, что даже это оказывается "гораздо глубже, чем изучалось в институте". Ну да, такова жизнь.

В общем, с матрицами глубоко знакомиться... само по себе словосочетание отдаёт оксюмороном. Матрицы - предмет мелкий. Есть глубокие закоулки в некоторых численных методах, связанных с матрицами, с матрицами специального вида: ленточные, блочные, разреженные и т. п. Если вы не об этом - можете считать, что вы "глубоко познакомились", но это обесценивает слово "глубоко" в вашем словаре. Вы после этого не будете себе представлять, что такое по-настоящему глубоко.

Ну, впрочем, всё относительно. Кто-то залез в водичку по щиколотку, а кто-то после этого осмелился по колено, и уже говорит, что "глубоко". А кто-то считает, что "глубоко" - это когда ногами дно не достать. А кто-то видит, как этот предыдущий "кто-то" в бассейне барахтается, и уточняет, что "глубоко" - это когда дна не видно, когда темно и рыбы под корягами. А для кого-то "глубоко" - это куда не донырнуть, даже с аквалангом. А для кого-то "глубоко" - это где уже и рыб никаких нет, а просто мёртвая пустыня, и только батискафы с толстенными стенками.

ewert в сообщении #861114 писал(а):

Уже давно они и в своём языке предусмотрели многомерные массивы. (Возможно, с тех самых пор, когда они начали переводить себя с досовской версии на виндовсскую.)

Гора-а-аздо раньше. Собственно, предок MatLab - это APL.

ewert в сообщении #861114 писал(а):

Однако же Вы удивИтись: во всех универсальных языках эта конструкция была заложена изначально, и ни один из языков этим никогда как-то не хвастался.

Однако же, вы удивитесь: не во всех. Вот не помню, то ли Фортран первых версий, то ли Бейсик - но не было там многомерных массивов.

prof.uskov в сообщении #861119 писал(а):

Я знаю что там есть многомерные массивы, я их изучал в школе на информатике в 1989 г. :-)
Вы же о тензорах говорите...

Тензор в памяти будет храниться как многомерный массив, это неизбежно. Вопрос в том, что с этим массивом делать. Ведь матрица - это же тоже не просто двумерный массив, а для неё ещё и операции какие-то предусмотрены... где-то... кем-то... зачем-то...

[prof.uskov]

Munin в сообщении #861134 писал(а):

prof.uskov в сообщении #861110 писал(а):

Когда много лет назад я поступил в аспирантуру, мой научный руководитель сказал, что мне нужно познакомиться с матричными методами гораздо глубже, чем это изучалось в институте, были рекомендованы:
Гантмахер "Теория матриц", Беллман "Введение в теорию матриц", Хорн, Джонсон "Матричный анализ" и еще несколько объемных томов... Вы считаете, это все "не выше сапога"?

Да. Увы. Это всё - "не выше сапога".
Очень жаль, что даже это оказывается "гораздо глубже, чем изучалось в институте". Ну да, такова жизнь.

Просто в программу технических вузов входит в лучшем случае 1/10 от того, что есть в этих книгах, в противном случае, просто не останется времени для других дисциплин.
Зато мы изучали технологию изготовления печатных плат и лазили по практически самой крутой на той момент у нас в стране итальянской установке. Только знания эти уже давно устарели и мне не пригодились...

[ewert]

Munin в сообщении #861134 писал(а):

. Вот не помню, то ли Фортран первых версий,

Я тоже не помню. Но у меня есть такое смутное подозрение, что у него, хотя бы и с древнейшего четвёртого -- никаких ограничений на размерность массива не было.

Ну я просто не помню, чтоб меня возможные ограничения на этот счёт хоть как-то ограничивали. Это когда я на нём ещё работал.

-- Сб май 10, 2014 01:02:28 --

(Оффтоп)

prof.uskov в сообщении #861145 писал(а):

Просто в программу технических вузов входит в лучшем случае 1/10 от того, что есть в этих книгах, в противном случае, просто не останется времени для других дисциплин.

Естественно. И неизбежно. И остаётся только отбраковать необходимое от избыточного.

Ну так в обязанность матпреподов вот ровно это и входит -- именно эта отбраковка. Это называется "составление рабочих программ".

[prof.uskov]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #861158 писал(а):

prof.uskov в сообщении #861145 писал(а):

Просто в программу технических вузов входит в лучшем случае 1/10 от того, что есть в этих книгах, в противном случае, просто не останется времени для других дисциплин.

Естественно. И неизбежно. И остаётся только отбраковать необходимое от избыточного.

Ну так в обязанность матпреподов вот ровно это и входит -- именно эта отбраковка. Это называется "составление рабочих программ".

И после этой "отбраковки" при самостоятельном изучении для меня было откровением и большим потрясением: существование псевдообратной матрицы, приведение к диагональному виду, жорданова форма и матричные нормы

[Munin]

prof.uskov в сообщении #861145 писал(а):

Просто в программу технических вузов входит в лучшем случае 1/10 от того, что есть в этих книгах

Ну, в общем, да, я догадываюсь.

Зато в технических вузах дают не только то, что написано в этих книгах. И я не про физвоспитание :-) Просто всё к одному направлению не сводится. Если копать в одном месте - можно прокопать колодец, но если задача - вскопать огород под картошку, то метод не подходит.

(Оффтоп)

ewert в сообщении #861158 писал(а):

хотя бы и с древнейшего четвёртого

Оксюморон-с не замечаете? :-)

prof.uskov в сообщении #861166 писал(а):

И после этой "отбраковки" при самостоятельном изучении для меня было откровением и большим потрясением: существование псевдообратной матрицы, приведение к диагональному виду, жорданова форма и матричные нормы

Ой, вы не поверите, сколь многое от вас ещё скрывается за поворотом...

[g______d]

prof.uskov в сообщении #861166 писал(а):

И после этой "отбраковки" при самостоятельном изучении для меня было откровением и большим потрясением: существование псевдообратной матрицы, приведение к диагональному виду, жорданова форма и матричные нормы

Стесняюсь спросить, чему же Вас тогда в институте учили. Это же второй семестр. А если курс для инженеров, без половины доказательств, то скорее всего первый семестр.

[prof.uskov]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #861195 писал(а):

prof.uskov в сообщении #861166 писал(а):

И после этой "отбраковки" при самостоятельном изучении для меня было откровением и большим потрясением: существование псевдообратной матрицы, приведение к диагональному виду, жорданова форма и матричные нормы

Стесняюсь спросить, чему же Вас тогда в институте учили. Это же второй семестр. А если курс для инженеров, без половины доказательств, то скорее всего первый семестр.

Я уже плохо помню, ибо окончил в середине 90-х. Специальность: "Автоматика и управление в технических системах".
Специальность достаточно математизированная. На первом и втором курсах: по две математики в каждом семестре.
Приблизительное содержание можно посмотреть здесь:
http://technofile.ru/files/vysh_math_2.php
http://technofile.ru/files/vysh_math_3.php
Обратите внимание:
Глава 8. 16. Формула Тейлора для функции двух переменных - в общем виде вообще не рассматривается.
Глава 21. Матрицы, матричная запись систем и решений систем линейных дифференциальных уравнений.

Матрицы также встречались: теор. основы электротехники - 3 семестра, теория автоматического управления - 4 семестра, теория оптимизации - 1 семестр, математические модели и методы - 4 семестра. Еще какие-то спецкурсы.
Самое интересное, что если не лезть в дебри, то для практической разработки самых разных систем управления этого хватает с очень большим запасом. Если посмотрите диссертации, хоть кандидатские, хоть докторские по специальностям группы 05.13.00, то тоже ничего глубже этого в 99% работ там нет (только не говорите, что все упало, посмотрите диссертации до 90-го года, результат будет тот же).

[Munin]

(Оффтоп)

prof.uskov в сообщении #861234 писал(а):

Специальность: "Автоматика и управление в технических системах". Специальность достаточно математизированная. На первом и втором курсах: по две математики в каждом семестре. Приблизительное содержание можно посмотреть здесь

Не выглядит это "математизированным". Стандартный матан для технарей. А матрицы, вообще-то, на линале должны были давать - неужели у вас линала не было?

prof.uskov в сообщении #861234 писал(а):

математические модели и методы - 4 семестра

Вот это интересней. Всё остальное - "по щиколотку", пусть и широко.

prof.uskov в сообщении #861234 писал(а):

Самое интересное, что если не лезть в дебри, то для практической разработки самых разных систем управления этого хватает с очень большим запасом.

Ну разумеется! Но это не значит, что можно воображать себя "математизированным".