Пространственное мышление

[Munin]

provincialka в сообщении #860125 писал(а):

Конечно, можно описать отдельные виды ориентации инвариантно. Например, на прямой - два направления. На плоскости - два направления обхода (вращения). В трехмерном пространстве уже сложнее: правый и левый винт. Продолжить такие описания на б'ольшие размерности проблематично.

Абсолютно ничего проблематичного. Выбираете произвольный тетраэдр (симплекс), и порядок обхода его вершин. Он и задаёт ориентацию.

Но надо понимать, что все эти рассуждения всего лишь позволяют заметить, что ориентаций две. Они не позволяют назначить какую-то одну из них "правой" или "левой". Это надо задать дополнительно.

provincialka в сообщении #860125 писал(а):

Кроме того, ну введете вы ориентацию: а что будете с нею делать, если она не привязана к другим структурам пространства?

Ориентация даже сама по себе штука полезная. Например, в топологии (собственно, только в топологии, но это "только" окупает её полностью). Представим себе простое бумажное кольцо и ленту Мёбиуса: одно из них ориентируемо, а другое нет. То есть, на одной поверхности, выйдя из одной точки, и совершая какое угодно кругосветное путешествие, мы вернёмся обратно в исходной ориентации, а на другой - этого свойства нет, можно вернуться и в "+", и в "−" ориентации. Склеивая более многомерные пространства аналогичным образом, можно построить и аналогичные примеры в любой размерности. Это важный классификационный признак произвольных топологических многообразий (этим словом называются "пространства" в некотором более строгом смысле).

[provincialka]

Ну, в общем, согласна. Но координаты дают общность. Кстати, чем симплекс лучше системы координат? В некотором (узком) смысле это одно и то же.
Обходить вершины можно многими способами, почему из них образуются именно два типа? Координаты дают такую полезную вещь, как якобиан. У которого, конечно, два знака. Мне, например, это понятней.

В общем, в топологии координаты не нужны, в матанализе и основанных на нем теориях - нужны (удобны).

[Munin]

provincialka в сообщении #860139 писал(а):

Но координаты дают общность.

Как раз нет. Наиболее общее описание - то, которое мы можем сделать, не привлекая координат.

provincialka в сообщении #860139 писал(а):

Кстати, чем симплекс лучше системы координат? В некотором (узком) смысле это одно и то же.

Ничем. Но мы можем не брать симплекс, симплекс только частность, и поэтому и координаты - только частность. А в самом общем случае, мы берём форму объёма. На прямой - это просто длина со знаком. Слева направо или справа налево. На плоскости - это площадь со знаком. Обходим мы контур по часовой стрелке или против часовой стрелки. В трёхмерном пространстве - объём со знаком. Он будет положительным, если будет "правым винтом", то есть, если будет собран из "площадей со знаком", собранных в стопку, и стопка будет перечисляться в "правом направлении винта" по отношению к направлению обхода этих площадей. Точно так же от понятия ориентации $n$-мерного пространства строится ориентация $n+1$-мерного.

provincialka в сообщении #860139 писал(а):

В общем, в топологии координаты не нужны, в матанализе и основанных на нем теориях - нужны (удобны).

В общем, очень много где удобны, и иногда даже в топологии. Но они часто выступают как один из двух языков описания, и наиболее общие утверждения удаётся сформулировать на другом языке, не привлекая координат. И к этой идеологии полезно себя приучить: чем лучше вы умеете от координат отходить, тем лучше вы ухватили геометрическую суть происходящего. Ну а если не получается, то геометризовали вы описание всё-таки не до конца.

Кстати, якобиан - координат не требует. По сути, якобиан есть просто отношение двух форм объёма: прообраза и образа отображения. Какую бы форму объёма вы ни задали на прообразе, отношение будет одно и то же.

[provincialka]

Ну ладно, ладно, все верно. Просто лично мне с координатами стало как-то яснее, почему можно ввести это понятие для любой размерности и почему ориентации ровно две. С гиперобъемом, конечно, то же самое выходит. Но чисто интуитивно непонятно, почему объем может иметь знак. Правда, здесь уж личный вкус и предпочтения: кому что понятнее. Все равно, как дойдет до счета, координаты тут как тут.

[Munin]

provincialka в сообщении #860339 писал(а):

Просто лично мне с координатами стало как-то яснее

Это не спорю. Многим яснее. И наверное, это даже хорошо на каком-то этапе. Координаты просты, наглядны, их можно "пощупать", посчитать. А без координат трудновато - по крайней мере, поначалу. Но это даёт выгоды, и поэтому кривая обучения должна в конечном счёте выводить на бескоординатные методы и интуицию. (Не обязательно всех по этой кривой проводить до конца, это нужно скорее только некоторым математикам и некоторым теорфизикам.)

provincialka в сообщении #860339 писал(а):

Все равно, как дойдет до счета, координаты тут как тут.

Можно и считать без координат, но для меня это до сих пор выглядит как пляски с бубном ради плясок с бубном, и скрытые отсылки к координатам же.

Кроме отдельных удобных частных случаев. Например, можно легко посчитать поток электрического поля через концентрическую сферу, окружающую точечный заряд.