В любом

-мерном пространстве мы можем считать положительной ориентацию

векторов, если они ориентированы так же, как некоторый выбранный нами базис, и отрицательной - если наоборот. Например, если мы рассматриваем пространство

то положительной считается ориентация базиса

Если

-мерное пространство не имеет умолчательного или "естественного" базиса, то для него всё равно может рассматриваться некоторая функция -

-линейная
форма объёма 
которая в 3-мерном случае, например, известна как тройное произведение векторов, и в случае

вычисляется как определитель из координат. Тогда ориентацию можно дефинировать как знак этой формы объёма, взятой от рассматриваемых

векторов.
Все наборы

векторов оказываются "не имеющими ориентации", в том смысле, что они могут быть "уложены" (повёрнуты собственным ортогональным преобразованием) на

-мерное подпространство любым способом, в двух противоположных ориентациях. Собственно, "ориентацией"

векторов можно считать не скаляр, а базис ортогонального дополнения линейной оболочки этих

векторов, выбранный так, чтобы эти векторы вместе с этим базисом образовывали положительно ориентированные

векторов. Так, в 3-мерном случае для 2 векторов это означало бы единичный вектор, сонаправленный векторному произведению.