Пространственное мышление

[Munin]

Sicker в сообщении #859946 писал(а):

а если у нас нет координат? вообще нет?

Скажите, а вы чем читаете?

[Sicker]

ну просто в ваших методах задания ориентации фигурируют координаты

[Munin]

Ну просто, не во всех. Если прочитать до конца, ну или хотя бы до середины (я добрый, я не настаиваю). А то, что вы этого не заметили, заставляет заподозрить, что вы не читали вообще.

[Sicker]

я прочил все до конца

[Munin]

Sicker в сообщении #859991 писал(а):

я прочил все до конца

Я и не спорю. Вот "прочитал" - вряд ли...

[Sicker]

ну правда

[Munin]

В post859856.html#p859856 во втором и третьем абзаце не фигурируют координаты. В post859858.html#p859858 в первом абзаце подробно изложен общий случай, а координаты упомянуты в одном куске предложения.

-- 06.05.2014 23:37:35 --

Иногда слово "прочитал" неправильно понимают. Можно читать вслух, с выражением, но в том смысле, что просто произносить то, что написано, а самому не вслушиваться, не пропускать содержание написанного в мозг, не обдумывать его.

[Sicker]

Цитата:

В post859856.html#p859856 во втором и третьем абзаце не фигурируют координаты.

меня во втором абзаце смутил определитель из координат, а в третьем понятие ориентации уже как вы считается известным

[Munin]

Sicker в сообщении #860000 писал(а):

меня во втором абзаце смутил определитель из координат

А, точно, упомянут. Это относится к частному случаю - к пространству $\mathbb{R}^n.$ В общем случае, форму объёма задают явно отдельно, как функцию. Или, не задают вообще, и тогда просто нельзя сказать, какова ориентация произвольной $n$-ки векторов - как и сказал arseniiv в своём сообщении.

[Sicker]

а как можно ввести форму объема без задания ориентации?

-- 06.05.2014, 23:49 --

а как можно формально определить вращение по и против часовой стрелки?
и существует ли оно в четырехмерном пространстве?

[ewert]

Sicker в сообщении #860008 писал(а):

а как можно формально определить вращение по и против часовой стрелки?

А относительно чего?

Вот смотрите Вы на часы, и стрелка -- крутится. Но в какую сторону она крутится-то?... -- а это смотря с какой стороны на них посмотреть.

[Sicker]

ну да, допустим нам дана плоскость и перпендикуляр по какую-то сторону от этой плоскости, с него и смотрим

-- 06.05.2014, 23:55 --

или не дан, ведь в четырехмерном пространстве можно по разному посмотреть на плоскость?

[arseniiv]

(Добавление к предпредпредпредыдущему.)
Да. Форма объёма сама по себе не появляется. Чтобы задать форму объёма, «совместимую» с имеющейся нормой, не хватает как раз-таки выбранного порядка векторов. Если бы векторы, скажем, базиса, естественно упорядочивались, то дело в шляпе (по примеру случая для $\mathbb R^n$, выписанного Muninом выше), но такого нет.

Sicker в сообщении #860008 писал(а):

а как можно ввести форму объема без задания ориентации?

Это же просто полилинейная антисимметричная функция от векторов. Ориентация ей не нужна. Как, например, скалярное произведение задают или линейные операторы?

Sicker в сообщении #860008 писал(а):

а как можно формально определить вращение по и против часовой стрелки?

Как раз-таки связав с ориентацией. Подумайте, как — это до ужаса просто.

Sicker в сообщении #860008 писал(а):

и существует ли оно в четырехмерном пространстве?

Каждое вращение происходит в какой-то плоскости. Коль скоро мы будем знать ориентацию плоскости, см. выше. А не будем знать — хотя бы можем сравнивать одинаковость направлений поворота (если только это не повороты на $\pi n$).

-- Ср май 07, 2014 01:59:14 --

Sicker в сообщении #860010 писал(а):

или не дан, ведь в четырехмерном пространстве можно по разному посмотреть на плоскость?

Там просто перпендикуляр будет бивектором.

[Munin]

Sicker в сообщении #860008 писал(а):

а как можно ввести форму объема без задания ориентации?

Вы её просто вводите, и она и задаёт ориентацию. Для одних $n$-ок она будет положительна, для других отрицательна - это гарантируется её линейностью. Так что у вас заведомо появится две разные ориентации, которые вы сможете различать.

Sicker в сообщении #860008 писал(а):

а как можно формально определить вращение по и против часовой стрелки?
и существует ли оно в четырехмерном пространстве?

В нашем пространстве - посмотреть на вращение.
В абстрактном четырёхмерном пространстве - просто ввести, как уже сказали.
В реальном четырёхмерном пространстве-времени - берут сочетание 3-мерного вращения по часовой стрелке, и положительного направления по времени. Например, частица со спином "вверх" - это 3-мерная частица со спином "вверх", + указание, что нужно брать именно частицу, а не античастицу.

Кажется, вам не удаётся понять, что мы должны добавить в конструкцию какой-то элемент, и тогда в ней возникнет нужное свойство. А до этого, "по умолчанию" - такого свойства нет. Если мы просто говорим "векторное пространство" - в нём нет вообще такого понятия, как ориентация. Нам его надо как-то ввести, задать, и тогда оно будет. Вот два способа её задать - вам перечислили.

Точнее, есть такое свойство, как взаимная ориентация. Если мы возьмём две $n$-ки векторов, то можем их сравнить: они будут ориентированы либо одинаково, либо противоположно (наверное, в некоторых $K$ они могут быть ориентированы одновременно и так и так, но мне никаких примеров, кроме $\mathbb{Z}_2,$ в голову не приходит). Тогда, чтобы ввести ориентацию, достаточно просто выбрать какую-то произвольную (линейно независимую) $n$-ку векторов, и назначить её положительно-ориентированной. Тогда все остальные автоматически приобретают ориентацию "плюс" или "минус". И все другие способы введения ориентации - эквивалентны этому.

[provincialka]

Sicker в сообщении #859946 писал(а):

если у нас нет координат? вообще нет?

Ну, придумайте. Ведь их можно ввести. Конечно, можно описать отдельные виды ориентации инвариантно. Например, на прямой - два направления. На плоскости - два направления обхода (вращения). В трехмерном пространстве уже сложнее: правый и левый винт. Продолжить такие описания на б'ольшие размерности проблематично. Кроме того, ну введете вы ориентацию: а что будете с нею делать, если она не привязана к другим структурам пространства?