Операторы рождения/уничтожения

[manul91]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #859329 писал(а):

Возьмём единственный больцманон, и так наклоним его мировую линию, что в какой-то момент времени его будет два. И что? Они тождественны! И между собой больцманонами уже быть никак не могут!

Это как нужно наклонить эго мировую линию чтобы "получились два"...? Он отразился от будущей времениподобной поверхности? ; )

-- 05.05.2014, 09:48 --

Munin в сообщении #859342 писал(а):

Вам всё-таки НАДО почитать квантование гармонического осциллятора с "лестничными" операторами.
И вам даже сказали, где.
Ну что, переписывать сюда из учебника целиком параграфы, что ли?

Не злитесь, хорошо прочитаю ; ) (мне показалось как то не категоричным, что это поможет понять конкретно фока).

[arseniiv]

manul91 в сообщении #859344 писал(а):

Это как нужно наклонить эго мировую линию чтобы "получились два"...?

Надо, чтобы он повилял из стороны в сторону. Если он будет двигаться с постоянной скоростью, не получится (или получится? ).

[Munin]

manul91 в сообщении #859344 писал(а):

(мне показалось как то не категоричным, что это поможет понять конкретно фока)

Это поможет понять, что я писал в конце "второго сообщения", где связывал "первую и вторую дорогу к КТП".

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #859274 писал(а):

(Загробным голосом) Предсказываю: когда посчитаете, то так и получитсо!..

Как раз не получится . То, что $a^+(r)a(r)$ --- оператор плотности частиц (следовательно его интеграл --- полное число частиц) следует уже из того, что

$$ [a(r),a^+(r')] = \delta(r-r') $$

и

$$ a^+(r_N) \dots a^+(r_1)| vac \rangle \sim |r_N \dots r_1\rangle $$

совершенно безотносительно к тому, какой числовой коэффициент в последнем соотношении пропорциональности.

Действительно, из коммутационных соотношений несложно сообразить, что

$$ \begin{array}{l} a(r_{N+1})a^+(r_N ) \dots a^+(r_1) = \\ \\ =a^+(r_N ) \dots a^+(r_1)a(r_{N+1}) + \sum\limits_i\delta(r_{N+1}-r_i)a^+(r_{N+1})\dots a^+(r_{i+1})a^+(r_{i-1}) \dots a^+(r_1) \end{array} $$

По существу это теорема Вика, и я ограничиваюсь чисто бозонным случаем.

Домножаем слева на $a^+(r_{N+1})$, замечаем, что

$$ \delta(r_{N+1}-r_i)a^+(r_{N+1})=\delta(r_{N+1}-r_i)a^+(r_i) $$

просто из свойств дельта-функции, и домножаем справа на вакуумную обкладку.

Первое слагаемое в правой части (вне знака сигма) при действии на вакуум даст ноль (там совсем справа оператор уничтожения). А самый левый оператор рождения под сигмой (i-тый) вполне можно "загнать на место", туда, где он был до всех этих манипуляций (между i-1-ым и i+1-ым) ---
между собой операторы рождения коммутируют.

В итоге получается:

$$ a^+(r_{N+1})a(r_{N+1}) \, a^+(r_N) \dots a^+(r_1) | vac \rangle = \left( {\sum\limits_i \delta(r_{N+1}-r_i)} \right)a^+(r_N) \dots a^+(r_1) | vac \rangle $$

А это прямо означает, что $a^+(r_{N+1})a(r_{N+1})$ есть оператор плотности частиц в точке $r_{N+1}$.

Что же до коэффициента при действии оператора рождения, то он так не определяется. Его нужно определять из дополнительного условия, что операторы рождения и уничтожения эрмитово сопряжены друг к другу. Вроде теперь нигде не наврал, а?

-- Пн май 05, 2014 14:56:51 --

Munin в сообщении #859362 писал(а):

Это поможет понять, что я писал в конце "второго сообщения", где связывал "первую и вторую дорогу к КТП".

При подходе через частицы мы по существу ОПРЕДЕЛЯЕМ операторы рождения/уничтожения как хотим. Другой вопрос --- что определить нужно удобно и далее показать, что любой физический оператор можно выразить через операторы рождения/уничтожения. Вот выше я показал, как через них выражается оператор плотности частиц в точке.

Ну а то, что подход через частицы и поля дает в итоге одно и то же, это верно. Но это нужно ВЫВЕСТИ. Поэтому при чисто "частичном" подходе мы не можем ссылаться на осциллятор (собственно поле --- набор осцилляторов).

[Nirowulf]

Munin в сообщении #859329 писал(а):

Нет, ну почему? Если бывает оператор "число частиц", то бывает и оператор "число частиц ${}+1$". Тоже с призказкой "в данной точке". Понятно, что это одно и то же, но опечаткой оно не делается.

Согласен, затупил, прощу прощения.

manul91 в сообщении #859344 писал(а):

Не злитесь, хорошо прочитаю ; ) (мне показалось как то не категоричным, что это поможет понять конкретно фока).

Очень даже поможет, базовый пример фоковского пространства, на котором чётко видна вся конструкция. А тем более, что

Alex-Yu в сообщении #859371 писал(а):

собственно поле --- набор осцилляторов

то стоит разобрать вторичное квантование осциллятора до полного понимания. Пространство Фока,в котором вы хотите разобраться, это пространство состояний квантового поля.

Alex-Yu
Мне всё же казалось, что множитель нужен независимо от конкретного представления операторов рождения/ уничтожения.

Я заглянул в Боголюбова-Логунова-Оксака-Тодорова, часть 2, глава 7, раздел 7.3, пункт Б. Там у них, в общем случае, множители при операторах рождения и уничтожения есть и объясняется, что они нужны для обеспечения правильных коммутационных соотношений между оператором рождения и оператором уничтожения.

Цитата:

Фактор $\sqrt{N}$ (положительный квадратный корень из оператора числа частиц) в определении оператора рождения обеспечивает выполнение приведённых ниже канонических перестановочных соотношений (7.119) между эрмитово сопряжёнными операторами $a$ и $a^*.$

А вот и сами перестановочные соотношения (7.119):

$$\left[a(\Phi),a(\Phi')\right]_\mp=0=\left[a^*(\Phi),a^*(\Phi')\right]_\mp,$$

$$\left[a(\Phi),a^*(\Phi')\right]_\mp=\langle \Phi,\Phi' \rangle\cdot\mathbf{1}.$$

$\Phi$ это волновая функция частицы.

[Alex-Yu]

Nirowulf в сообщении #859493 писал(а):

Alex-Yu
Мне всё же казалось, что множитель нужен независимо от конкретного представления операторов рождения/ уничтожения.

Мне тоже казалось. Но вдруг обнаружилось, что не знаю почему. То, что у кого-то что-то написано --- не аргумент.

Собственно ясно, что можно сделать преобразование $a^+ \to \xi a^+$, $a \to \xi^{-1}a$ с некой константой $\xi$ и при этом не поменяются ни коммутационные соотношения, ни то, что $a^+a$ --- оператор плотности частиц. Но, естественно, эти операторы перестанут быть эрмитово сопряженными друг к другу. Поэтому думаю, что правильный множитель получается из условия эрмитовой сопряженности. Но до конца что-то никак не соображу. Именно в концепции частиц, с осциллятором-то все понятно. А эквивалентность не доказана, пока не выведено чисто в "частичной" концепции.

Увы, думать об этом некогда, все дела, дела... Но надо как-нибудь разобраться.

[Nirowulf]

Alex-Yu в сообщении #859509 писал(а):

Мне тоже казалось. Но вдруг обнаружилось, что не знаю почему. То, что у кого-то что-то написано --- не аргумент.

Я бы не сказал, что Боголюбов и Ко это "кто-то". Как раз за строгими результатами надо обращаться к Николаю Николаевичу с коллегами. У них показано, почему должны быть множители.

Приведу соображение, согласно которому мне казалось, что множители всегда нужны. Итак, очень сильное колдунство:

Пусть $|n\rangle$ это состояние с $n$ частицами, неважно в каком представлении.

По определению для оператора числа частиц

$$N|n\rangle=n|n\rangle, \quad \langle n|N|n\rangle=n.$$

Оператор уничтожения переводит $n$-частичный вектор в $(n-1)$-частичный

$$a|n\rangle=\xi |n-1\rangle,$$

где $\xi -$ искомый множитель.

Теперь найдём норму этого состояния. С одной стороны

$$\langle an|an\rangle=\langle n-1|\xi^*\xi|n-1\rangle=\xi^2\langle n-1|n-1\rangle=\xi^2.$$

С другой стороны

$$\langle an|an\rangle=\langle n|a^+a|n\rangle.$$

И вот теперь нам нужно связать оператор числа частиц с операторами рождения/уничтожения. Поэтому требуем $N=a^+a.$

Продолжая равенство получаем $\langle n|a^+a|n\rangle=\langle n|N|n\rangle=n.$

Откуда следует, что $\xi^2=n \Rightarrow \xi=\sqrt{n}.$

Надеюсь, что не полную туфту написал, в противном случае, прощу прощения у более компетентных участников дисскусии.

[Alex-Yu]

Nirowulf в сообщении #859553 писал(а):

Приведу соображение, согласно которому мне казалось, что множители всегда нужны.

И всетаки множителя $\sqrt{N+1}$ при действии координатного оператора рождения нет! См. С.Вайнберг "Квантовая теория поля" т.1 начало главы 4. Не подвела меня интуиция У Вайнберга, впрочем, импульсное представление, но нет разницы. И рассуждает он именно с точки зрения частиц, а не полей. Вывод всего этого ясен. И хотя Вайнберг это тоже "кто-то", но против явных выкладок не попрешь. И не важно кто их (выкладки) делал.

Ошибка в Ваших рассуждениях, как я понимаю, вот где. Вы считаете, что $\langle n | m \rangle =\delta_{nm}$. А это неверно для координатного (как и импульсного) представления. Во-первых, там будут дельта-функции, а не кронекеры. Во-вторых, там будет сумма этих дельта-функций по перестановкам частиц .

В общем я примерно так и думал, но без Вайнберга что-то до конца так и не сообразил. "Набил мне баки" нобелевский лауреат

[Nirowulf]

Alex-Yu в сообщении #859564 писал(а):

Ошибка в Ваших рассуждениях, как я понимаю, вот где. Вы считаете, что $\langle n | m \rangle =\delta_{nm}$. А это неверно для координатного (как и импульсного) представления. Во-первых, там будут дельта-функции, а не кронекеры. Во-вторых, там будет сумма по перестановкам частиц этих дельта-функций.

Да, спасибо, глупая ошибка.

Alex-Yu в сообщении #859564 писал(а):

И всетаки множителя $\sqrt{N+1}$ при действии координатного оператора рождения нет! См. С.Вайнберг "Квантовая теория поля" т.1 начало главы 4. Не подвела меня интуиция У Вайнберга, впрочем, импульсное представление, но нет разницы.

Посмотрел Вайнберга. Хм, надо будет теперь тогда разобраться, что имели в виду Боголюбов и компания.

[Alex-Yu]

Nirowulf в сообщении #859567 писал(а):

Посмотрел Вайнберга. Хм, надо будет теперь тогда разобраться, что имели в виду Боголюбов и компания.

Я так понимаю, там $N$ не частиц всего, а частиц В ДАННОМ СОСТОЯНИИ.

-- Вт май 06, 2014 01:46:26 --

Nirowulf в сообщении #859567 писал(а):

Да, спасибо, глупая ошибка.

Да ничего глупого. Кстати, я вот что думаю: а если как-нибудь изменить правила нормировки базисных состояний, что получится? Может и так и эдак можно, но с разной нормировкой базиса? В любом случае это все нужно хорошенько обмозговать.

[Munin]

(warlock66613)

warlock66613 в сообщении #858594 писал(а):

Munin

Munin в сообщении #858108 писал(а):

Дайте ссылку на матчасть.

Речь про конденсацию голдстоуновских бозонов и унитарно неэквивалентные представления. По идее про это можно прочитать много где, и боюсь мне сложно будет дать наилучшее место, но посмотрите, пожалуйста, Умэдзава, Мацумото, Татики "Термополевая динамика и конденсированные состояния", параграф 2.1 "Представление чисел заполнения; оператор рождения и уничтожения" и далее до 2.4 включительно.

Спасибо.

-- 05.05.2014 23:27:43 --

Nirowulf в сообщении #859553 писал(а):

Я бы не сказал, что Боголюбов и Ко это "кто-то". Как раз за строгими результатами надо обращаться к Николаю Николаевичу с коллегами.

Ну, даже если мы и произносим имя Боголюбова с придыханием, всё-таки не он всю КТП придумал. Можно сверяться хотя бы с Вайнбергом и Пескином-Шрёдером.

Alex-Yu в сообщении #859509 писал(а):

Собственно ясно, что можно сделать преобразование $a^+ \to \xi a^+$, $a \to \xi^{-1}a$ с некой константой $\xi$

Я, скорей, имел в виду $a^+\to\xi^*a^+$, $a\to\xi a.$ И соответственно, не $[a(r),a^+(r')]=\delta(r-r'),$ а максимум $[a(r),a^+(r')]\sim\delta(r-r').$ Ну, тут-то мы можем определить коэффициент по своему произволу? Это же definition, как мы это коммутационное соотношение выбираем, а не с неба свалилось. (Если захотим сослаться на осциллятор, то снова вспоминаем, что он бозонный.)

Думаю, множители наиболее правильно определять из идеи, что выражение типа

$$\Bigl({\textstyle\prod\limits_i a^+(\mathrm{state}_i)}\Bigr)|\mathrm{vac}\rangle$$

всегда давало нормированное состояние, без необходимости приписывать какие-то ещё коэффициенты. А тогда, множители вытекают просто из симметризации и статистики.

-- 05.05.2014 23:29:16 --

Munin в сообщении #859572 писал(а):

Можно сверяться хотя бы с Вайнбергом и Пескином-Шрёдером.

А, вы уже :-)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #859572 писал(а):

Думаю, множители наиболее правильно определять из идеи, что выражение типа

$$\Bigl({\textstyle\prod\limits_i a^+(\mathrm{state}_i)}\Bigr)|\mathrm{vac}\rangle$$

всегда давало нормированное состояние, без необходимости приписывать какие-то ещё коэффициенты.

Дело в том, что здесь нет естественно-однозначной нормировки. Там же не просто дельта-функция, а сумма по перестановкам частиц от произведений дельта-функций (ну это можно считать одной многомерной дельта-функцией). Например, можно эту сумму поделить на $N!$ --- число перестановок. А можно не делить. Подозреваю (некогда внимательно посчитать), что от этого множитель будет зависеть.

-- Вт май 06, 2014 20:09:38 --

Munin в сообщении #859572 писал(а):

Я, скорей, имел в виду $a^+\to\xi^*a^+$, $a\to\xi a.$

Это преобразование не нарушает эрмитовой сопряженности. Но, кстати, изменяет коммутатор. А можно не изменять коммутатор, но "убить" эрмитовую сопряженность. Ну это патология -- с такими операторами работать можно, но крайне неудобно. Важно, однако, то, что такой вариант иллюстрирует связь определений с нормировками. Именно это я и хотел подчеркнуть.

-- Вт май 06, 2014 20:11:59 --

Munin в сообщении #859572 писал(а):

Ну, даже если мы и произносим имя Боголюбова с придыханием, всё-таки не он всю КТП придумал.

А даже если бы и он, все равно самому выводить надо. "Ответ из книжки" --- аргумент плохой, точнее вообще не аргумент. Сколь бы ни был велик (без иронии) автор книжки.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #859871 писал(а):

Дело в том, что здесь нет естественно-однозначной нормировки. Там же не просто дельта-функция, а сумма по перестановкам частиц от произведений дельта-функций (ну это можно считать одной многомерной дельта-функцией).

Ну вот я о том, что формулировка через дельта-функции - может иметь всякие коэффициенты. А формулировка через операторы рождения - не должна. То есть, просто, мы берём операторы рождения, и ставим их столько, сколько надо частиц, и получаем в результате нормированное состояние, и не заморачиваемся.

Думаю, именно из этого соглашения идут все общепринятые коэффициенты, но просто все давно забыли, в чём корень, настолько всё привычно и стандартно (кроме ферми- и бозе-случая, которые все на автомате выписывают, больше ничего и не надо).

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #859994 писал(а):

Ну вот я о том, что формулировка через дельта-функции - может иметь всякие коэффициенты. А формулировка через операторы рождения - не должна. То есть, просто, мы берём операторы рождения, и ставим их столько, сколько надо частиц, и получаем в результате нормированное состояние, и не заморачиваемся.

Для определения эрмитово сопряженного оператора понадобятся скалярные произведения, тут нормировка и понадобится. Впрочем, можно как я писал: взять по определению коммутатор в виде дельта-функции. Но тогда ниоткуда не следует (пока опять же не обратимся к нормировке), что оператор уничтожения эрмитово сопряжен оператору рождения (это, все же очень и очень нужно: иначе не ясно, как выражать физические операторы через рождения/уничтожения).

Хотя в принципе подобный вариант вроде возможен: оператор рождения определяем без коэффициентов, по определению берем коммутатор в виде дельта-функции (фактически определяя тем самым оператор уничтожения), зная коммутатор, можно найти как действует оператор уничтожения (выше я писал как), и наконец из всего этого ВЫВОДИМ какая должна быть нормировка т.е. скалярное произведение ТАК определенных базисных состояний (из руками наложенного условия, что оператор рождения эрмитово сопряжен оператору уничтожения).

Вот только кто бы это все детально написал

Потом еще бы попробовать с $\sqrt{N+1}$ в определении оператора рождения, не возникнет ли где-нибудь "затык" и, если не возникнет, какое при этом ПОЛУЧИТСЯ скалярное произведение.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #860015 писал(а):

Для определения эрмитово сопряженного оператора понадобятся скалярные произведения, тут нормировка и понадобится.

Ну, считаем, что сама по себе на пространстве Фока она уже есть :-) Каждый отдельный $n$-частичный "этаж" мы можем пронормировать стандартно, как $n$-частичную волновую функцию.

Alex-Yu в сообщении #860015 писал(а):

Впрочем, можно как я писал: взять по определению коммутатор в виде дельта-функции.

А это может противоречить тому "по определению", которое я написал.

Alex-Yu в сообщении #860015 писал(а):

Но тогда ниоткуда не следует (пока опять же не обратимся к нормировке), что оператор уничтожения эрмитово сопряжен оператору рождения (это, все же очень и очень нужно...)...

Я ни в коем случае эрмитову сопряжённость не трогал.