2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 17:21 


30/05/13
253
СПб
Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):
Далее можно переразложить $A|r,r'\rangle$ по координатным базисным векторам (для "координатного" оператора уничтожения так сразу получится, фактически ничего не надо делать) и получить выражение исходного (до действия оператора) типа, но с преобразованными коэффициентами. Вот В ЭТОМ СМЫСЛЕ действие оператора можно эффективно представить как действие на коэффициенты (волновые функции). Хотя на самом деле исходно он действует именно на базисные векторы, коэффициенты через него просто "протаскиваются" в силу линейности.

По-моему, это называется "пассивным" и "активным" истолкованием преобразований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 21:16 
Заслуженный участник


24/08/12
1093
Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):
Он действует так:
$$
a^+(r)|r'\rangle=\sqrt{2}|r,r'\rangle
$$

Откуда берется здесь обязательно коеффициент $\sqrt{2}$?
По меньшей мере если новая частица различимая (т.е. "добавляем электрон" к "однопротонном состоянии") то это как-бы не стыкуется с тем, что меня в этой теме до сих пор "учили".
Например в выкладок Munin с умножением на дельта-функций, никаких добавочных коеффициентов не было.
(также "на пальцах", для частного случая, рассуждаю так - допустим для простоты, что возможные состояния - базис - для частиц, это либо в левой половины интервала [0,1], либо в правой половины интервала [0,1]. Допустим первая частица-протон, находится "чисто" где-то в левой половины; нормированность требует чтобы квадрат коеффициента был равен 1. Пусть вторую частицу-электрон вводим так же в чистом состоянии в "левой половины", то же самое для ее квадрата коеффициента. Тогда для двухчастичном состоянии обоих частиц находящихся в четвертинку "квадрата" [0,1]x[0,1] фазового пространства простым перемножением получаем что коеффициент двухчастичного состояния чтобы находится в нижней-левой четвертинки равен 1*1=1; т.е. все и так нормированно для двухчастичной ф-и амплитуды вероятности, и без всяких дополнительных коеффициентов - во всех случаев сумма вероятностей чтобы частицы находились "где-то", равна 1.
Если рассуждать интегралами плотности вероятности величина ступеньчатой функции в [0,0.5] на интервале [0,1] получается 2 а величина на квадратике [0,0.5]x[0,0.5] в квадрате [0,1]x[0,1] фазового пространства будет 4 и опять простое перемножение достаточно, безо всяких дополнительных коеффициентов.)

Тут еще стоит сказать, что я [думаю, что!] понимаю откуда и как этот коеффициент берется в изложении ФЛФ Фейнмана (КМ 1 Том 8, пар. 2 "Состояния с двумя бозе частицами" и далее) - но там впервых смысл значков кажется несколько другим, во вторых у него вроде речь идет конкретно про бозонов (т.е. неотличимых частиц); a вы пишете что это только "далее обычно нужно учесть".

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):
Для развлечения давайте вычислим подобным способом как действует оператор уничтожения на двухчастичное состояние $|r,r'\rangle$.

$$
|r,r'\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)|r'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)a^+(r')| vac \rangle
$$


Тут не совсем понятно, если прямо в лоб то коеффициент $\frac{1}{\sqrt{2}}$ вроде должен выскочить дважды и получиться $\frac{1}{2}$ - так как мы "дважды прилагаем" это разложение (а вектор базиса $| vac \rangle$ "такой же как и все другие")?

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):
В первом слагаемом одночастичное состояние (коммутатор --- просто число).

Почему коммутатор - просто число, а не оператор?

-- 04.05.2014, 22:55 --

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):
Если хотите понять, что будет с функциями, то напишите более общее состояние, например:

$$
\int \phi(r,r')|r,r'\rangle drdr'
$$

подействуйте оператором (обобщенно обозначим $A$ --- это любой оператор) и протащите этот оператор до базисного вектора:

$$
A\int \phi(r,r')|r,r'\rangle drdr'=\int \phi(r,r')A|r,r'\rangle drdr'
$$

Для такого "протаскивания" ничего не нужно делать - это следует просто из линейности оператора - это верно?
Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):
Далее можно переразложить $A|r,r'\rangle$ по координатным базисным векторам (для "координатного" оператора уничтожения так сразу получится, фактически ничего не надо делать) и получить выражение исходного (до действия оператора) типа, но с преобразованными коэффициентами.

Это в принципе понятно для "любого оператора" но не и для конкретных случаев .
Для этого все же нужно знать, как этот "любой оператор", действует на векторы из базиса... Допустим это "оператор уничтожения" $a_r$, что тогда "сразу получится" - как "преобразуются коеффициенты", и почему; откуда придет корень двойки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:12 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
manul91 в сообщении #859052 писал(а):
Откуда берется здесь обязательно коеффициент $\sqrt{2}$?
По меньшей мере если новая частица различимая (т.е. "добавляем электрон" к "однопротонном состоянии") то это как-бы не стыкуется с тем, что меня в этой теме до сих пор "учили".


Естественно, здесь неразличимые частицы. Для различимых этого корня не будет.

-- Пн май 05, 2014 02:15:25 --

manul91 в сообщении #859052 писал(а):
Тут не совсем понятно, если прямо в лоб то коеффициент $\frac{1}{\sqrt{2}}$ вроде должен выскочить дважды и получиться $\frac{1}{2}$ - так как мы "дважды прилагаем" это разложение (а вектор базиса $| vac \rangle$ "такой же как и все другие")?


Нет, один оператор действует на вакуум, N=0, так что $\sqrt{N+1}=1$. А вот когда второй оператор рождения действует уже на одночастичное состояние, порожденное действием первого на вакуум (неразличимые частицы!), то $\sqrt{N+1}=\sqrt{2}$. Ну а в знаменатель этот корень залезает потому, что здесь мы выражаем двухчастичный вектор через результат действия операторов на вакуум, а не результат действия операторов на вакуум через двухчастичный вектор.

-- Пн май 05, 2014 02:16:20 --

manul91 в сообщении #859052 писал(а):
Для такого "протаскивания" ничего не нужно делать - это следует просто из линейности оператора - это верно?


Верно.

-- Пн май 05, 2014 02:20:06 --

manul91 в сообщении #859052 писал(а):
Допустим это "оператор уничтожения" $a_r$, что тогда "сразу получится" - как "преобразуются коеффициенты", и почему; откуда придет корень двойки?



Ну я же Вам написал как действует оператор уничтожения на двухчастичный базисный вектор... По аналогии несложно вывести как он действует и на другие базисные векторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
manul91 в сообщении #859052 писал(а):
Например в выкладок Munin с умножением на дельта-функций, никаких добавочных коеффициентов не было.

Потому что я ими пренебрегал до поры - до времени. На самом деле, конечно же, все операторы рождения-уничтожения определяются так, чтобы переводить нормированное состояние в нормированное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:24 


30/05/13
253
СПб
manul91 в сообщении #859052 писал(а):
Почему коммутатор - просто число, а не оператор?

На самом деле не просто число, а c-число. Штука, которая ведёт себя как обычное число по отношению к коммутации, но сама по себе, в общем случае, не является обычным числом.

Это название вроде ввёл Дирак, а q-числами он называл операторы.

manul91 в сообщении #859052 писал(а):
Откуда берется здесь обязательно коеффициент $\sqrt{2}$?


Из нормировки, для неразличимых частиц, да. Рассмотрим простой пример, квантовый гармонический осциллятор. Его гамильтониан, записанный через операторы рождения $\hat{a}^+$ и уничтожения $\hat{a}$ имеет вид $$\hat{H}=\hbar\omega \left(\hat{a}^+\hat{a} + \frac{1}{2} \right)=\hbar\omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2} \right),$$

где $\hat{N}=\hat{a}^+\hat{a}$ это оператор числа частиц, а $\omega$ это частота. Коммутационное соотношение имеет вид $\left[\hat{a},\hat{a}^+\right]=1.$

Следовательно, решение задачи на собственные значения оператора числа частиц $$\hat{N}|n\rangle=n|n\rangle.$$ даёт и решение стационарного уравнения Шредингера с собственным значением энергии $$E=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right).$$ Найдём произведение $$\hat{N}\hat{a}=\hat{a}^+\hat{a}\hat{a}=\left(\hat{a}\hat{a}^+ - 1\right)\hat{a}=\hat{a}\left(\hat{N}-1\right)$$

Аналогично $$\hat{N}\hat{a}^+=\hat{a}^+\left(\hat{N}+1\right).$$

Откуда следует, что вектор состояния $\hat{a}|n\rangle$ является собственным вектором для оператора $\hat{N}:$ $$\hat{N}\hat{a}|n\rangle=\hat{a}\left(\hat{N}-1\right)=\left(n-1\right)\hat{a}|n\rangle$$ с собственным значением $(n-1),$ причём состояние имеет единственный нормированный базисный вектор, так что $$\hat{a}|n\rangle=b_n|n-1\rangle,$$ а его норма $$\langle\hat{a}n|\hat{a}n\rangle=\langle n|\hat{N}|n\rangle=n.$$ Поэтому $\hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle.$ В частности при $n=0$, получаем $\hat{a}|0\rangle=0.$

Аналогично можно найти, что $$\hat{a}^+|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:28 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Munin в сообщении #859096 писал(а):
Потому что я ими пренебрегал до поры - до времени. На самом деле, конечно же, все операторы рождения-уничтожения определяются так, чтобы переводить нормированное состояние в нормированное.



Я вот не могу сообразить как проще всего объяснить почему коммутатор просто число... Может Вы поможете? Конечно, если обстоятельно выводить с самого начала... Но как здесь в двух словах?

Выше вывод для осциллятора. Но это для осциллятора, а не для пространства Фока... Аналогия конечно есть, но только аналогия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:34 


30/05/13
253
СПб
Alex-Yu в сообщении #859103 писал(а):
Я вот не могу сообразить как проще всего объяснить почему коммутатор просто число

Мне кажется, что лучше сразу сказать, что не всегда просто число, как я написал выше.

Alex-Yu в сообщении #859103 писал(а):
Выше вывод для осциллятора. Но это для осциллятора, а не для пространства Фока... Аналогия конечно есть, но только аналогия.

Думаю, что проще понять базовые вещи на самом каноничном и базовом примере=) Для пространства Фока тоже можно вывести, но требует больше усилий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:34 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Nirowulf в сообщении #859097 писал(а):
На самом деле не просто число, а c-число. Штука, которая ведёт себя как обычное число по отношению к коммутации, но сама по себе, в общем, случае не является обычным числом.



Просто число, без затей (точнее оператор кратный единичному, но физики не отличают эти вещи, и правильно делают). Хотя все сработает и тогда, когда лишь коммутирует с фигурируемыми в задаче операторами. Кстати, если некий оператор коммутирует вообще со всеми операторами, то он пропорционален единичному (тождественному преобразованию). Это и есть просто число: нет разницы умножить что-то на единичный оператор а потом на число, или только умножить на число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:42 
Заслуженный участник


24/08/12
1093
Alex-Yu в сообщении #859103 писал(а):
Я вот не могу сообразить как проще всего объяснить почему коммутатор просто число... Может Вы поможете? Конечно, если обстоятельно выводить с самого начала... Но как здесь в двух словах?

Если бы я понял это, то можно считать что понял в вашем сообщении (post858784.html#p858784) все (учитывая ответов на остальных вопросов которые 100% понятны и имеют смысл; и выкладки теперь имеют смысл и полностью понятны кроме протаскивания во вторым слагаемым, что именно базируется на тем что оператор просто число).
Может быть как-нибудь показать (действуя слева и справа с втором операторе и потом вычитая и пр) что
$a^+(r)a(r'') - a(r'')a^+(r)$ действуя на любого базисного вектора "других частиц", типа $|vac\rangle$, $|r_1\rangle$, $|r_1,r_2\rangle$,... всегда сводится к его умножениeм на число?
С осцилляторов еще ничего не понимаю, это для меня пока рано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
manul91 в сообщении #859052 писал(а):
Почему коммутатор - просто число, а не оператор?

На самом деле, в общем случае, конечно же, коммутатор - это оператор. Но в данном частном случае - просто число. Можно считать, что это число, умноженное на единичный оператор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:46 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Nirowulf в сообщении #859112 писал(а):
Для пространства Фока тоже можно вывести, но требует больше усилий.



Вопрос как это пояснить в двух словах без длинного вывода.... Что-то не соображу... Может позднее...

-- Пн май 05, 2014 02:50:33 --

Munin в сообщении #859127 писал(а):
Но в данном частном случае - просто число.



Я бы еще подчеркнул для понятности, что "данный случай" это пара операторов: рождения и уничтожения. В общем случае (для других операторов) конечно не обязательно число.

Кстати, между собой операторы рождения просто коммутируют (для бозонов, для фермионов --- антикоммутируют). И также операторы уничтожения. Тоже знать надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
manul91 в сообщении #859123 писал(а):
С осцилляторов еще ничего не понимаю, это для меня пока рано.

Как раз лучше разобраться сначала с осциллятором.

"Лестничные операторы" для осциллятора изложены, например, в Мессиа "Квантовая механика" 1 том последняя глава.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:52 


30/05/13
253
СПб
Alex-Yu в сообщении #859113 писал(а):
Просто число, без затей (точнее оператор кратный единичному, но физики не отличают эти вещи, и правильно делают). Хотя все сработает и тогда, когда лишь коммутирует с фигурируемыми в задаче операторами. Кстати, если некий оператор коммутирует вообще со всеми операторами, то он пропорционален единичному (тождественному преобразованию). Это и есть просто число: нет разницы умножить что-то на единичный оператор а потом на число, или только умножить на число

Да.

Но мне кажется, если вы будете долго учить человека, что коммутатор это число, а потом в книге по КТП он увидит $$\left[\hat{a}_r(\mathbf{k}),\hat{a}^+_s(\mathbf{q})\right]=\delta_{rs}\delta(\mathbf{k}-\mathbf{q}),$$ то у него возникнет некоторое несоответствие, так как дельта-функция на число совсем непохожа.

Munin в сообщении #859138 писал(а):
Как раз лучше разобраться сначала с осциллятором.

+1.

Сначала надо разобраться с базовым примером, а потом лезть в пространство Фока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu в сообщении #859130 писал(а):
Я бы еще подчеркнул для понятности, что "данный случай" это пара операторов: рождения и уничтожения. В общем случае (для других операторов) конечно не обязательно число.

Ну да. Из выкладок Nirowulf post859097.html#p859097 , например, моментально следует
$$[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a},\qquad[\hat{N},\hat{a}^+]=\hat{a}^+,$$ что, конечно же, не просто число, а оператор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторы рождения/уничтожения
Сообщение04.05.2014, 22:58 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
manul91 в сообщении #859123 писал(а):
Может быть как-нибудь показать (действуя слева и справа с втором операторе и потом вычитая и пр) что
$a^+(r)a(r'') - a(r'')a^+(r)$ действуя на любого базисного вектора "других частиц", типа $|vac\rangle$, $|r_1\rangle$, $|r_1,r_2\rangle$,... всегда сводится к его умножениeм на число?



А Вы подействуйте этим оператором на вакуум. Первое слагаемое просто занулится. Второе даст просто дельта-функцию (можно уничтожить частицу только там, где она есть, рождена оператором рождения), в остальном --- как вакуум был, так и остался (сначала родили частицу, потом уничтожили ее). Не общее доказательство, но иллюстрация...

-- Пн май 05, 2014 03:00:13 --

Nirowulf в сообщении #859140 писал(а):
о у него возникнет некоторое несоответствие, так как дельта-функция на число совсем непохожа.



Да ну, вполне себе числовая функция. Во всяком случае если ее слегка "размазать".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 118 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group