Операторы рождения/уничтожения

[Nirowulf]

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):

Далее можно переразложить $A|r,r'\rangle$ по координатным базисным векторам (для "координатного" оператора уничтожения так сразу получится, фактически ничего не надо делать) и получить выражение исходного (до действия оператора) типа, но с преобразованными коэффициентами. Вот В ЭТОМ СМЫСЛЕ действие оператора можно эффективно представить как действие на коэффициенты (волновые функции). Хотя на самом деле исходно он действует именно на базисные векторы, коэффициенты через него просто "протаскиваются" в силу линейности.

По-моему, это называется "пассивным" и "активным" истолкованием преобразований.

[manul91]

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):

Он действует так:

$$ a^+(r)|r'\rangle=\sqrt{2}|r,r'\rangle $$

Откуда берется здесь обязательно коеффициент $\sqrt{2}$?
По меньшей мере если новая частица различимая (т.е. "добавляем электрон" к "однопротонном состоянии") то это как-бы не стыкуется с тем, что меня в этой теме до сих пор "учили".
Например в выкладок Munin с умножением на дельта-функций, никаких добавочных коеффициентов не было.
(также "на пальцах", для частного случая, рассуждаю так - допустим для простоты, что возможные состояния - базис - для частиц, это либо в левой половины интервала [0,1], либо в правой половины интервала [0,1]. Допустим первая частица-протон, находится "чисто" где-то в левой половины; нормированность требует чтобы квадрат коеффициента был равен 1. Пусть вторую частицу-электрон вводим так же в чистом состоянии в "левой половины", то же самое для ее квадрата коеффициента. Тогда для двухчастичном состоянии обоих частиц находящихся в четвертинку "квадрата" [0,1]x[0,1] фазового пространства простым перемножением получаем что коеффициент двухчастичного состояния чтобы находится в нижней-левой четвертинки равен 1*1=1; т.е. все и так нормированно для двухчастичной ф-и амплитуды вероятности, и без всяких дополнительных коеффициентов - во всех случаев сумма вероятностей чтобы частицы находились "где-то", равна 1.
Если рассуждать интегралами плотности вероятности величина ступеньчатой функции в [0,0.5] на интервале [0,1] получается 2 а величина на квадратике [0,0.5]x[0,0.5] в квадрате [0,1]x[0,1] фазового пространства будет 4 и опять простое перемножение достаточно, безо всяких дополнительных коеффициентов.)

Тут еще стоит сказать, что я [думаю, что!] понимаю откуда и как этот коеффициент берется в изложении ФЛФ Фейнмана (КМ 1 Том 8, пар. 2 "Состояния с двумя бозе частицами" и далее) - но там впервых смысл значков кажется несколько другим, во вторых у него вроде речь идет конкретно про бозонов (т.е. неотличимых частиц); a вы пишете что это только "далее обычно нужно учесть".

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):

Для развлечения давайте вычислим подобным способом как действует оператор уничтожения на двухчастичное состояние $|r,r'\rangle$.

$$ |r,r'\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)|r'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}a^+(r)a^+(r')| vac \rangle $$

Тут не совсем понятно, если прямо в лоб то коеффициент $\frac{1}{\sqrt{2}}$ вроде должен выскочить дважды и получиться $\frac{1}{2}$ - так как мы "дважды прилагаем" это разложение (а вектор базиса $| vac \rangle$ "такой же как и все другие")?

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):

В первом слагаемом одночастичное состояние (коммутатор --- просто число).

Почему коммутатор - просто число, а не оператор?

-- 04.05.2014, 22:55 --

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):

Если хотите понять, что будет с функциями, то напишите более общее состояние, например:

$$ \int \phi(r,r')|r,r'\rangle drdr' $$

подействуйте оператором (обобщенно обозначим $A$ --- это любой оператор) и протащите этот оператор до базисного вектора:

$$ A\int \phi(r,r')|r,r'\rangle drdr'=\int \phi(r,r')A|r,r'\rangle drdr' $$

Для такого "протаскивания" ничего не нужно делать - это следует просто из линейности оператора - это верно?

Alex-Yu в сообщении #858784 писал(а):

Далее можно переразложить $A|r,r'\rangle$ по координатным базисным векторам (для "координатного" оператора уничтожения так сразу получится, фактически ничего не надо делать) и получить выражение исходного (до действия оператора) типа, но с преобразованными коэффициентами.

Это в принципе понятно для "любого оператора" но не и для конкретных случаев .
Для этого все же нужно знать, как этот "любой оператор", действует на векторы из базиса... Допустим это "оператор уничтожения" $a_r$, что тогда "сразу получится" - как "преобразуются коеффициенты", и почему; откуда придет корень двойки?

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Откуда берется здесь обязательно коеффициент $\sqrt{2}$?
По меньшей мере если новая частица различимая (т.е. "добавляем электрон" к "однопротонном состоянии") то это как-бы не стыкуется с тем, что меня в этой теме до сих пор "учили".

Естественно, здесь неразличимые частицы. Для различимых этого корня не будет.

-- Пн май 05, 2014 02:15:25 --

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Тут не совсем понятно, если прямо в лоб то коеффициент $\frac{1}{\sqrt{2}}$ вроде должен выскочить дважды и получиться $\frac{1}{2}$ - так как мы "дважды прилагаем" это разложение (а вектор базиса $| vac \rangle$ "такой же как и все другие")?

Нет, один оператор действует на вакуум, N=0, так что $\sqrt{N+1}=1$. А вот когда второй оператор рождения действует уже на одночастичное состояние, порожденное действием первого на вакуум (неразличимые частицы!), то $\sqrt{N+1}=\sqrt{2}$. Ну а в знаменатель этот корень залезает потому, что здесь мы выражаем двухчастичный вектор через результат действия операторов на вакуум, а не результат действия операторов на вакуум через двухчастичный вектор.

-- Пн май 05, 2014 02:16:20 --

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Для такого "протаскивания" ничего не нужно делать - это следует просто из линейности оператора - это верно?

Верно.

-- Пн май 05, 2014 02:20:06 --

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Допустим это "оператор уничтожения" $a_r$, что тогда "сразу получится" - как "преобразуются коеффициенты", и почему; откуда придет корень двойки?

Ну я же Вам написал как действует оператор уничтожения на двухчастичный базисный вектор... По аналогии несложно вывести как он действует и на другие базисные векторы.

[Munin]

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Например в выкладок Munin с умножением на дельта-функций, никаких добавочных коеффициентов не было.

Потому что я ими пренебрегал до поры - до времени. На самом деле, конечно же, все операторы рождения-уничтожения определяются так, чтобы переводить нормированное состояние в нормированное.

[Nirowulf]

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Почему коммутатор - просто число, а не оператор?

На самом деле не просто число, а c-число. Штука, которая ведёт себя как обычное число по отношению к коммутации, но сама по себе, в общем случае, не является обычным числом.

Это название вроде ввёл Дирак, а q-числами он называл операторы.

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Откуда берется здесь обязательно коеффициент $\sqrt{2}$?

Из нормировки, для неразличимых частиц, да. Рассмотрим простой пример, квантовый гармонический осциллятор. Его гамильтониан, записанный через операторы рождения $\hat{a}^+$ и уничтожения $\hat{a}$ имеет вид

$$\hat{H}=\hbar\omega \left(\hat{a}^+\hat{a} + \frac{1}{2} \right)=\hbar\omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2} \right),$$

где $\hat{N}=\hat{a}^+\hat{a}$ это оператор числа частиц, а $\omega$ это частота. Коммутационное соотношение имеет вид $\left[\hat{a},\hat{a}^+\right]=1.$

Следовательно, решение задачи на собственные значения оператора числа частиц

$$\hat{N}|n\rangle=n|n\rangle.$$

даёт и решение стационарного уравнения Шредингера с собственным значением энергии

$$E=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right).$$

Найдём произведение

$$\hat{N}\hat{a}=\hat{a}^+\hat{a}\hat{a}=\left(\hat{a}\hat{a}^+ - 1\right)\hat{a}=\hat{a}\left(\hat{N}-1\right)$$

Аналогично

$$\hat{N}\hat{a}^+=\hat{a}^+\left(\hat{N}+1\right).$$

Откуда следует, что вектор состояния $\hat{a}|n\rangle$ является собственным вектором для оператора $\hat{N}:$

$$\hat{N}\hat{a}|n\rangle=\hat{a}\left(\hat{N}-1\right)=\left(n-1\right)\hat{a}|n\rangle$$

с собственным значением $(n-1),$ причём состояние имеет единственный нормированный базисный вектор, так что

$$\hat{a}|n\rangle=b_n|n-1\rangle,$$

а его норма

$$\langle\hat{a}n|\hat{a}n\rangle=\langle n|\hat{N}|n\rangle=n.$$

Поэтому $\hat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle.$ В частности при $n=0$, получаем $\hat{a}|0\rangle=0.$

Аналогично можно найти, что

$$\hat{a}^+|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle.$$

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #859096 писал(а):

Потому что я ими пренебрегал до поры - до времени. На самом деле, конечно же, все операторы рождения-уничтожения определяются так, чтобы переводить нормированное состояние в нормированное.

Я вот не могу сообразить как проще всего объяснить почему коммутатор просто число... Может Вы поможете? Конечно, если обстоятельно выводить с самого начала... Но как здесь в двух словах?

Выше вывод для осциллятора. Но это для осциллятора, а не для пространства Фока... Аналогия конечно есть, но только аналогия.

[Nirowulf]

Alex-Yu в сообщении #859103 писал(а):

Я вот не могу сообразить как проще всего объяснить почему коммутатор просто число

Мне кажется, что лучше сразу сказать, что не всегда просто число, как я написал выше.

Alex-Yu в сообщении #859103 писал(а):

Выше вывод для осциллятора. Но это для осциллятора, а не для пространства Фока... Аналогия конечно есть, но только аналогия.

Думаю, что проще понять базовые вещи на самом каноничном и базовом примере=) Для пространства Фока тоже можно вывести, но требует больше усилий.

[Alex-Yu]

Nirowulf в сообщении #859097 писал(а):

На самом деле не просто число, а c-число. Штука, которая ведёт себя как обычное число по отношению к коммутации, но сама по себе, в общем, случае не является обычным числом.

Просто число, без затей (точнее оператор кратный единичному, но физики не отличают эти вещи, и правильно делают). Хотя все сработает и тогда, когда лишь коммутирует с фигурируемыми в задаче операторами. Кстати, если некий оператор коммутирует вообще со всеми операторами, то он пропорционален единичному (тождественному преобразованию). Это и есть просто число: нет разницы умножить что-то на единичный оператор а потом на число, или только умножить на число.

[manul91]

Alex-Yu в сообщении #859103 писал(а):

Я вот не могу сообразить как проще всего объяснить почему коммутатор просто число... Может Вы поможете? Конечно, если обстоятельно выводить с самого начала... Но как здесь в двух словах?

Если бы я понял это, то можно считать что понял в вашем сообщении (post858784.html#p858784) все (учитывая ответов на остальных вопросов которые 100% понятны и имеют смысл; и выкладки теперь имеют смысл и полностью понятны кроме протаскивания во вторым слагаемым, что именно базируется на тем что оператор просто число).
Может быть как-нибудь показать (действуя слева и справа с втором операторе и потом вычитая и пр) что
$a^+(r)a(r'') - a(r'')a^+(r)$ действуя на любого базисного вектора "других частиц", типа $|vac\rangle$, $|r_1\rangle$, $|r_1,r_2\rangle$,... всегда сводится к его умножениeм на число?
С осцилляторов еще ничего не понимаю, это для меня пока рано.

[Munin]

manul91 в сообщении #859052 писал(а):

Почему коммутатор - просто число, а не оператор?

На самом деле, в общем случае, конечно же, коммутатор - это оператор. Но в данном частном случае - просто число. Можно считать, что это число, умноженное на единичный оператор.

[Alex-Yu]

Nirowulf в сообщении #859112 писал(а):

Для пространства Фока тоже можно вывести, но требует больше усилий.

Вопрос как это пояснить в двух словах без длинного вывода.... Что-то не соображу... Может позднее...

-- Пн май 05, 2014 02:50:33 --

Munin в сообщении #859127 писал(а):

Но в данном частном случае - просто число.

Я бы еще подчеркнул для понятности, что "данный случай" это пара операторов: рождения и уничтожения. В общем случае (для других операторов) конечно не обязательно число.

Кстати, между собой операторы рождения просто коммутируют (для бозонов, для фермионов --- антикоммутируют). И также операторы уничтожения. Тоже знать надо.

[Munin]

manul91 в сообщении #859123 писал(а):

С осцилляторов еще ничего не понимаю, это для меня пока рано.

Как раз лучше разобраться сначала с осциллятором.

"Лестничные операторы" для осциллятора изложены, например, в Мессиа "Квантовая механика" 1 том последняя глава.

[Nirowulf]

Alex-Yu в сообщении #859113 писал(а):

Просто число, без затей (точнее оператор кратный единичному, но физики не отличают эти вещи, и правильно делают). Хотя все сработает и тогда, когда лишь коммутирует с фигурируемыми в задаче операторами. Кстати, если некий оператор коммутирует вообще со всеми операторами, то он пропорционален единичному (тождественному преобразованию). Это и есть просто число: нет разницы умножить что-то на единичный оператор а потом на число, или только умножить на число

Да.

Но мне кажется, если вы будете долго учить человека, что коммутатор это число, а потом в книге по КТП он увидит

$$\left[\hat{a}_r(\mathbf{k}),\hat{a}^+_s(\mathbf{q})\right]=\delta_{rs}\delta(\mathbf{k}-\mathbf{q}),$$

то у него возникнет некоторое несоответствие, так как дельта-функция на число совсем непохожа.

Munin в сообщении #859138 писал(а):

Как раз лучше разобраться сначала с осциллятором.

+1.

Сначала надо разобраться с базовым примером, а потом лезть в пространство Фока.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #859130 писал(а):

Я бы еще подчеркнул для понятности, что "данный случай" это пара операторов: рождения и уничтожения. В общем случае (для других операторов) конечно не обязательно число.

Ну да. Из выкладок Nirowulf post859097.html#p859097 , например, моментально следует

$$[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a},\qquad[\hat{N},\hat{a}^+]=\hat{a}^+,$$

что, конечно же, не просто число, а оператор.

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #859123 писал(а):

Может быть как-нибудь показать (действуя слева и справа с втором операторе и потом вычитая и пр) что
$a^+(r)a(r'') - a(r'')a^+(r)$ действуя на любого базисного вектора "других частиц", типа $|vac\rangle$, $|r_1\rangle$, $|r_1,r_2\rangle$,... всегда сводится к его умножениeм на число?

А Вы подействуйте этим оператором на вакуум. Первое слагаемое просто занулится. Второе даст просто дельта-функцию (можно уничтожить частицу только там, где она есть, рождена оператором рождения), в остальном --- как вакуум был, так и остался (сначала родили частицу, потом уничтожили ее). Не общее доказательство, но иллюстрация...

-- Пн май 05, 2014 03:00:13 --

Nirowulf в сообщении #859140 писал(а):

о у него возникнет некоторое несоответствие, так как дельта-функция на число совсем непохожа.

Да ну, вполне себе числовая функция. Во всяком случае если ее слегка "размазать".