периодические решения уравнений Лагранжа

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим систему с лагранжианом

$$L=T-V(q),\quad q=(q^1,q^2)^T\in \mathbb{R}^2,\quad T=\frac{1}{2}\dot q^TG(q)\dot q$$

$G(q),\frac{\partial^2 V}{\partial q^2}$ -- матрицы положительно определенных квадратичных форм при всеx $q$.
Предположим, что кроме интеграла энергии $H(q,\dot q)=T+V$, данная система имеет еще два первых интеграла $F_1(q,\dot q),F_2(q,\dot q)$ таких, что все три первых интеграла независимы всюду за исключением положения равновесия. Доказать, что все решения данной системы периодичны. (положение равновесия тоже считаем периодической функцией.)

scwec: не надо писать решение

[ewert]

И ещё полезно дополнить: сколько существует таких систем, если поле центрально?...

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #858219 писал(а):

И ещё полезно дополнить: сколько существует таких систем, если поле центрально?...

и если $T$ специального вида

[Oleg Zubelevich]

о! накосячил!

вместо положительности формы $V_{qq}$ надо использовать следующее условие: множества $\{q\mid V(q)\le c\}$ компактны при любом $c$

все функции гладкие

[scwec]

Годится любое условие, которое обеспечивает компактность 2-многообразий $T+V=h,F_i=c_i$. А дальше теорема Лиувилля-Арнольда.

[Red_Herring]

Общеизвестно, что период зависит только от уровня энергии $H=T+V$. Менее известен элементарный факт, что могут существовать субпериодические траектории (с периодами $\tau = \tau (H)/n, n=2,3,...$) и если перейти к гамильтоновым переменным то они образуют симплектические подмногообразия.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #860588 писал(а):

Общеизвестно, что период зависит только от уровня энергии $H=T+V$

не понял, чей период?

scwec в сообщении #860483 писал(а):

Годится любое условие, которое обеспечивает компактность 2-многообразий $T+V=h,F_i=c_i$. А дальше теорема Лиувилля-Арнольда.

разумеется, но надож поинтриговать

-- Чт май 08, 2014 23:29:27 --

Red_Herring в сообщении #860588 писал(а):

Общеизвестно, что период зависит только от уровня энергии $H=T+V$. Менее известен элементарный факт, что могут существовать субпериодические траектории (с периодами $\tau = \tau (H)/n, n=2,3,...$) и если перейти к гамильтоновым переменным то они образуют симплектические подмногообразия.

вообще ничего не понял

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #860706 писал(а):

не понял, чей период?

Траектории: если все траектории периодичны,

[Oleg Zubelevich]

Понял.

Red_Herring в сообщении #860588 писал(а):

Общеизвестно, что период зависит только от уровня энергии $H=T+V$

Доказательство пожалуйста приведите или ссылку

-- Пт май 09, 2014 08:38:06 --

а кстати, какое это имеет отношение к поставленной задаче?

[Red_Herring]

Я почему-то думал, что док-во 1) есть у Арнольда ("Математические методы"). В любом случае это очень известная теорема и простое док-во в рамках предположения что $\tau(q)$ может быть выбрано гладким:

Пусть $\Phi _t$ Гамильтонов поток. Тогда мы предполагаем, что $\Phi _{\tau (q)} (q)=q$. Дифференцируя $D\Phi _{\tau (q)} dq+ \dot{\Phi} d\tau =dq$. Другими словами
$D\Phi - I =\Lambda DH \otimes D\tau$, где $\Lambda$ определена $\sigma (m,n)= \langle \Lambda m,n\rangle $ (связывает симплектическую и обычную скалярные формы). Заметим, что $\Lambda D\Phi $ симметрична, тогда $DH = s D \tau$ …

2) Если мы при каких-то предположениях устанавливаем, что все траектории периодичны, то имеет смысл исследовать их структуру.

3) Частный случай: геодезические. Если они все периодичны, то все имеют одинаковую длину (как на сфере) кроме некоторых, которое в целое число раз короче остальных (как на поверхностях Золля-Таннера
http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=3848686)

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #860827 писал(а):

Заметим, что $\Lambda D\Phi $ симметрична

а это почему?

$$\Lambda= \begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1& 0 \end{pmatrix}$$

берем гиперболический поворот

$$S= \begin{pmatrix} \lambda &0 \\ 0& 1/\lambda \end{pmatrix}$$

разве матрица $\Lambda S$ симметрична?

Red_Herring в сообщении #860827 писал(а):

Другими словами
$D\Phi - I =\Lambda DH \otimes D\tau$

как я понял, мы домнажаем эту формулу на $\Lambda$ слева и получаем

$$\Lambda D\Phi - \Lambda=-DH \otimes D\tau$$

и дальше Вы хотите сказать, что левая часть последней формулы является симметрической матрицей. Докажите это пожалуйста.

-- Пт май 09, 2014 17:27:44 --

да, кстати, обозначать точки в фазовом пространстве через $q$ это примерно тоже, что обозначать основание натурального логарифма через $\pi$

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #860909 писал(а):

Red_Herring в сообщении #860827
wrote:
Заметим, что $\Lambda D\Phi $ симметрична

Нет, конечно, $D\Phi^*\Lambda D\Phi=\Lambda$ (потому что $D\Phi$ сохраняет симплектическую форму.

[Oleg Zubelevich]

таки я так и не понял, что у нас с теоремой?

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #861305 писал(а):

таки я так и не понял, что у нас с теоремой?

Теорема. Рассмотрим симплектическое многообразие и Гамильтониан $h$. Пусть $\Phi_t $ соответствующий поток. Предположим что существует гладкая $t(z)>0$ т.ч. $\Phi_{t(z)}(z)=z$ для всех $z$. Тогда
1. на каждой компоненте связности $\{z: h(z)=E\}$ $t(z)$ постоянна: $t=t(E)$
2. $M_n = \{ z: \Phi _{t(z)/n}=z\}$ симплектическое многообразие если не пусто

1. $\Phi _{t (z)} (z)=z$. Дифференцируя $D\Phi _{t (z)} dz+ \dot{\Phi} dt=dz$. Другими словами
$D\Phi - I =\Lambda Dh \otimes Dt$, где $\Lambda$ определена $\sigma (m,n)= \langle \Lambda m,n\rangle $ (связывает симплектическую и обычную скалярные формы). Заметим, что $D\Phi ^*\Lambda D\Phi =\Lambda$ с тогда легко видеть что $Dh = s D t$ и на каждой компоненте связности $\{z: h(z)=E\}$ $dt=0$ и $t(z)$ постоянна

Делая замену $h(z)$ на $f(h(z))$ с теми же траекториями и с $f'(E)=t(E)$ мы добиваемся чтобы $\Phi_1=I $

2. $z\in M_n \iff \Phi_{1/n}(z)=z$. В силу $\Phi_{1/n}^n=I$ на $M_n$ и $(D\Phi_{1/n})^n=I$. Все с.з. $D\Phi_{1/n}$ отделены друг от друга (не обязательно простые) и с.в. соответствующие с.з. 1 симплектически ортогональны остальным. Поэтому $T M_n (z)$ ядро $D\Phi_{1/n}(z)-I$ симплектическое линейное пространство

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #861322 писал(а):

Заметим, что $D\Phi ^*\Lambda D\Phi =\Lambda$ с тогда легко видеть что $Dh = s D t$

вот это "легко видеть" прокомментируйте плз. Простите, но я уже третий раз прошу привести аккуратные рассуждения. Начинает складываться похое впечатление.