периодические решения уравнений Лагранжа

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #861338 писал(а):

Red_Herring в сообщении #861322 писал(а):

Заметим, что $D\Phi ^*\Lambda D\Phi =\Lambda$ с тогда легко видеть что $Dh = s D t$

вот это "легко видеть" прокомментируйте плз. Простите, но я уже третий раз прошу привести аккуратные рассуждения. Начинает складываться похое впечатление.

Сделайте сами. Это элементарное вычисление.

[Oleg Zubelevich]

я уже один раз нашел ошибку в Ваших "элементарных рассуждениях". Достаточно

[Red_Herring]

ОК. $D\Phi = I+ \Lambda Dh\otimes Dt \implies D\Phi^*= \Lamba - Dt\otimes Dh + Dh\otimes Dt - c Dt\otimes Dt$ with scalar $c$. This cannot be equal to $\Lambda$ unless $ Dt$ and $Dh$ are proportional.

(Оффтоп)

Happy Mr. Nudnik?

[Oleg Zubelevich]

Вы не используете групповое свойство, а без этого доказать ничего нельзя.

Так. Пусть гамильтонова система задана своим гамильтонианом $H(x)$ в канонических координатах $ x=(p,q)$.

Продифференцируем по $x$ тождества

$$g_H^{\tau(x)}(x)=x,\quad g_H^{-\tau(x)}(x)=x$$

получим

$$I H_x\otimes\tau_x+S=E,\quad -IH_x\otimes \tau_x+S^{-1}=E,\qquad (*)$$

(Оффтоп)

не одно равенство, а два!

где $E$ -- единичная матрица,

$$I= \begin{pmatrix} 0 &-E\\ E& 0 \end{pmatrix},\quad S=\frac{\partial g_H^t(x)}{\partial x}\Big|_{t=\tau(x)}$$

Причем $S^{-1}=-IS^*I$.


Из равенств (*) находим

$$H_x\otimes\tau_x=IS-I,\quad H_x\otimes\tau_x=I-IS^{-1}$$

Отсюда $H_x\otimes\tau_x=(H_x\otimes\tau_x)^*=\tau_x\otimes H_x$

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #861355 писал(а):

Happy Mr. Nudnik?

thanx for your compliment