Помогите решить задачу по геометрии.

[hassword]

Пусть даны два сегмента сферы:$h_1$ , $h_2$ (где $h$ — высота сегмента)и какой ни будь параметр пересечения(например угол между осями симметрий сегментов).
Эти два сегмента пересекаются.

Нужно найти площадь пересечения.

Взаимное расположение сегментов пока что, для начала, возьмем так, чтобы ось симметрии одного сегмента не пересекала поверхности другого сегмента.

PS.Не обязательно приводить решение. Укажите хоть в каком направлении двигаться.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
2. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
1. Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения и/или укажите затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihailm]

Площадь пересечения равна или нулю (если пересекаем полые тела) или бесконечности

[gris]

Может быть имеются в виду круги на сфере? Тогда по радиусу сферы и высотам сегментом можно определить их радиусы, а далее по дополнительным параметрам определить расстояние между центрами кругов, потом разбить пересечение на сферические треугольники и посчитать их площади по формулам сферической геометрии.
Должно быть немного вариантов расположения кругов.

[hassword]

gris в сообщении #857685 писал(а):

потом разбить пересечение на сферические треугольники и посчитать их площади

это проблематично. так как окружность не является прямой сферической геометрии.
здесь то я и начал буксовать.

[gris]

Да, Вы правы. Нужны окружности большого круга. Формулы для таких треугольников. А для других даже не знаю, есть ли.

[hassword]

gris
По сути задача сводиться к нахождению сегмента круга в сферической геометрии.

[iifat]

А без сферической геометрии пробовали? Вот просто взять уравнения границ, спроектировать их на плоскость и составить двойной интеграл?

[gris]

Да это понятно. Или даже сферического треугольника, у которого одна сторона "не такая". А насчёт интеграла, я боюсь, что он будет только для численного метода. А это и так можно сделать.

[hassword]

hassword в сообщении #857701 писал(а):

gris
По сути задача сводиться к нахождению сегмента круга в сферической геометрии.

А эта,в свою очередь , сводиться к нахождению сектора.

[iifat]

Точно! Сектор минус вполне канонический треугольник! По идее, должно получиться.

[ewert]

Там в сферических координатах получится что-то типа

$$2\int\limits_0^{\varphi_0}d\varphi\int\limits_{\arcctg\cos\varphi}^{\theta_0}\sin\theta\,d\theta=2\int\limits_0^{\varphi_0}\left(\frac{\cos\varphi}{\sqrt{1+\cos^2\varphi}}-\cos\theta_0\right)d\varphi.$$

Ну этот интеграл вполне берётся. Если я ничего не напутал.

[hassword]

ewert
Так то я хотел пойти по другому пути, предположив что $lh=S_{sec}$(если я не ошибаюсь),
где $l$-это дуга окружности,а $S_{sec}$-площадь кругового сектора на сфере.
Но хотя может интегралом будет быстрее вычислить.
Проверить на ошибки пока не могу, так как самому надо составить такой интеграл.

[ewert]

hassword в сообщении #858177 писал(а):

Но хотя может интегралом будет быстрее вычислить.

Для меня -- точно быстрее: я никакой сферической тригонометрии вообще не помню.