Доказательство несостоятельности ВТФ

[AD]

Yarkin писал(а):

В формулировке ВТФ не указано пространство, на котором надо искать решение, т. е. первый пункт.

Указано. Это $\mathbb{N}^3$. Вы гоните, Yarkin.

Yarkin писал(а):

Здесь нет третьей стороны, углов между сторонами и тругольника для доказательства единственности. Семикласнику такое непонятно.

Есть. Я вам даже написал, где вершины треугольника ABC. Вы читали мое сообщение или не глядя ответили?

Yarkin писал(а):

Я утверждаю, что и для $n=2$ доказательства нет, а Вы просите меня его показать.

Третий раз повторяю, Вы писали, что

Цитата:

формулировку ВТФ можно записать в виде
Теорема 1. $\Bigl\{(x,y,z,n)\in\mathbb{N}^3\times\bigl(\mathbb{N}\setminus\{1\}\bigr)\ \Bigl|\Bigr.\ x^n+y^n=z^n\Bigl\}=\varnothing$

Ну а раз вы это писали, то, я так понимаю, умеете доказывать. Или вы за свои слова не отвечаете?

Yarkin писал(а):

Наверно Вы хотели заменить $x^n$ на $a$...

Нет, у меня все правильно, а это вы не там замену делаете.

[drowsy]

О чём можно на 9 страницах разговаривать с человеком, который в математике в 3-х соснах путаеться ? Вы его заголовок видели ?
"Доказательство несостоятельности ВТФ"
Этот гигант мысли даже не понимает, что сам написал.

[AD]

Как вы правы drowsy ...
Но ведь есть же в мире и психиатры тоже.

Заметьте, что страниц не 9, а гораздо больше - есть еще старая, ныне закрытая, тема, там тоже страниц 10, и еще тема "уравнение и область поиска решений", отделенная от не менее грустной темы "деление на ноль и опровержение аксиомы", созданной, правда, не им.

[STilda]

to tolstopuz: наличие теории представлений вовсе не говорит об изученности систем. Наличие представления какой-либо системы чисел в виде $\mathbb{R}^n*\mathbb{C}^m*\mathbb{H}^k$ (согласно теоремам типа Фробениуса, Машке, Веддерберна) тоже не может закрыть вопрос об их изученности. Наличие обобщающей некие принципы теории не может быть аргументом в пользу изученности каждой конкретизированной системы, подпадающей под эти принципы. Например, таже теория универсальных алгебр хоть и говорит о произвольном количестве операций в структуре, но используемых и изученных систем не так уж и много: группы, кольца, алгебры, лупы, груды, и некоторые разновидности. И хотя обобщающие принципы позволяют иметь больше двух нейтральных элементов (тоесть, позволительно продолжить ряд: группа, поле, ...) ни одной такой модели нету. И изучение такой модели неразумно обрывать фразами типа: "аа, это уже давно изучено, в этом нет ничего нового, есть такая теория универсальных алгебр, теория представлений, там такое можно, там такое есть". А вы именно таким приемом и сбрасываете все предлагаемое на уже известное. Так можно дойти до того, что выдумать некую теорию Х - "Теорию абстрактных моделей и формальных систем" и абсолютно любую формальную систему считать уже изученной и не достойной рассмотрения, по причине наличия теории Х.

Добавлено спустя 8 минут 51 секунду:

Кроме того, уверяю вас, представление систем чисел в виде $\mathbb{R}^n*\mathbb{C}^m*\mathbb{H}^k$ очень сильно затрудняет нахождение соответствия этим системам в реальности и физике. А так же позволяет складывать площади с силой магнитной индукции, потом все это делить на баранов и отнимать кулоны, возводить в степень секунд и извлекать "килограммовые" корни.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Наличие представления какой-либо системы чисел в виде $\mathbb{R}^n*\mathbb{C}^m*\mathbb{H}^k$ (согласно теоремам типа Фробениуса, Машке, Веддерберна) тоже не может закрыть вопрос об их изученности.

У вас есть конкретные вопросы по таким числовым системам или просто "неизученность" гнетет?

[STilda]

tolstopuz писал(а):

У вас есть конкретные вопросы по таким числовым системам или просто "неизученность" гнетет?

Самый самый конкретный вопрос касался сопряженных чисел в других системах. Только я его уже задавал. А вообще-то ничего не гнетет, спасибо.
Подскажите пожалуйста, если знаете, хорошую (возможно даже научно-популярного стиля) литературу по темам типа Машке, Веддерберна. Мне понравилось, что надгрупповую алгебру можно эмулировать алгеброй матриц. В моей интерпретации это означает метод, которым можно в одной системе чисел "достать" другую систему чисел. Такое мне интересно. Если вы знаете еще "трюки" такого вида, тоже намекните.

P.S. ( И вообще, нужно было мне на алгебраиста выучиваться . Много интересного оказывается есть. )

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Подскажите пожалуйста, если знаете, хорошую (возможно даже научно-популярного стиля) литературу по темам типа Машке, Веддерберна.

Популярных, к сожалению, не знаю. А вообще есть "Классические группы, их варианты и представления" Г.Вейля или любой современный неэлементарный учебник алгебры (Dummit&Foote, например).

[Yarkin]

tolstopuz писал(а):

Определяет, $a$ - это образующая циклической группы из трех элементов (кстати, это написано в первой же строчке после заголовка "Two simple examples"). Правда, не уверен, что вы знаете, что означает это простое понятие.

Цикличность обеспечивает замкнутость для рассматриваемой системы. Из наших предыдущих бесед, я пришел к выводу, что это требование отделяет математику от реальности. В мире нет ничего замкнутого. Все зависимо и взаимосвязано. Замкнутость в математике достигается путем соглашения. Например $[(1; i; 0)(1; -i; 0)] = -2k$, где вектор $k$ перпендикулярен к комплексной плоскости.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

tolstopuz писал(а):

Определяет, $a$ - это образующая циклической группы из трех элементов (кстати, это написано в первой же строчке после заголовка "Two simple examples"). Правда, не уверен, что вы знаете, что означает это простое понятие.

Цикличность обеспечивает замкнутость для рассматриваемой системы.

Теперь уверен, что не знаете

[Yarkin]

drowsy писал(а):

О чём можно на 9 страницах разговаривать с человеком, который в математике в 3-х соснах путаеться ?

Зачем с мягким знаком?

AD писал(а):

Заметьте, что страниц не 9, а гораздо больше - есть еще старая, ныне закрытая, тема, там тоже страниц 10

Больше! Эта статистика к темам не относится. Спасибо всем, кто наставлял меня на уточнение истины. Нежелание математиков исправлять ошибку в понятии числа, я предсказал в самом начале входа на Форум. Этот процесс требует времени. Время нас и рассудит.

STilda писал(а):

Кроме того, уверяю вас, представление систем чисел в виде $\mathbb{R}^n*\mathbb{C}^m*\mathbb{H}^k$ очень сильно затрудняет нахождение соответствия этим системам в реальности и физике.

$\mathbb{C}^m$ - это нормально, так как это модели, соответствующие природному определению числа, которое формировалось тысячелетиями. Но оно не должно существовать само по себе, как и все мы. А $\mathbb{R}^n$ должно быть носителем значений из $\mathbb{C}^m$. Тогда будет полный порядок.

Добавлено спустя 3 минуты 46 секунд:

Последняя редакция.
Элементарное доказательство теоремы ВТФ для треугольника

Теорема (ВТФ для треугольника). Пусть $ \nu $ означает, какое угодно, целое положительное число и $(x, y, z) \in\mathbb{C}$, тогда для прямоугольного треугольника со сторонами $ |x|^\nu, |y|^\nu, |z|^\nu \ne 0 $, имеет место соотношение

$$ |x|^{2 \nu} + |y|^{2 \nu}= |z|^{2\nu}, \eqno (1) $$

ДоказательствоПусть $ABC$ - искомый прямоугольный треугольник с прямым углом $C$, противолежащего стороне $z^\nu$. Введем обозначения:

$$ |x| = \rho_1, |y| = \rho_2, |z| = \rho, \eqno (2) $$

Тогда

$$ |x|^\nu = \rho^\nu_1, |y|^\nu = \rho^\nu_2, |z|^\nu = \rho^\nu. \eqno (3) $$

Возводя, левые иправые части, в степень $2\nu$ и подставляя в соотношение (1) вместо $x^{2\nu}, y^{2\nu}, z^{2\nu}$, соответственно$ \rho^{2\nu}_1, \rho^{2\nu}_2, \rho^{2\nu} $, получим

$$ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2 = \rho^{2\nu}, \eqno (4) $$

По теореме косинусов, для всякого треугольника [5, 330], со сторонами (3) и соответствующими им углами имеют место соотношения

$$ \left\{ \begin{aligned} \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2 - 2\rho^\nu_1 \rho^\nu_2 \cos C = \rho^{2\nu}\\ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^\nu_1 \rho^\nu \cos B = \rho^{2\nu}_2\\ \rho^{2 \nu}_2 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^\nu_2 \rho^\nu \cos A = \rho^{2\nu}_1.\\ \end{aligned} \right. \eqno (5). $$

При этом, для сторон треугольника, должны выполняться условия

$$ \rho^\nu_1 > 0 , \rho^\nu_2 > 0 \rho^\nu > 0 , \eqno \rho^\nu_1 + \rho^\nu_2 > \rho^\nu, \rho^\nu_1 + \rho^\nu > \rho^\nu_2, \rho^\nu_2 +\rho^\nu > \rho^\nu_1, \eqno (6) $$


которые, согласно (3) и условия теоремы, выполняются. А для углов треугольника должны выполняться свои условия:

$$ 0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi , A + B + C = \pi, \eqno (7) $$

которые, согласно условию теоремы также выполняются. Подставляя $C = \pi/2 $ в первое из соотношений (5), получим

$$ \left\{ \begin{aligned} \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2 = \rho^{2\nu}\\ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^\nu_1 \rho^\nu \cos B = \rho^{2\nu}_2\\ \rho^{2 \nu}_2 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^\nu_2 \rho^\nu \cos A = \rho^{2\nu}_1.\\ \end{aligned} \right. A > 0, B > 0, A + B = \pi/2, \eqno (8) $$

Первое из этих соотношений совпадает с (4), а второе и третье (с учетом соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника), являются его производными. Теорема доказана.
Следствие 1. Для треугольника, отличного от прямоугольного, соотношение (4) место не имеет. Доказательство следует из соотношений (5), так как, в этом случае $cosA, cosB, cosC $ отличны от нуля.
Следствие 2 (ВТФ для отрезка). При отсуствии треугольника, соотношение (3) место не имеет.
Доказательство. Полагая в соотношениях (7) $C=\pi, A = B = 0$, получим три одинаковых соотношения

$$ \rho^{\nu}_1 + \rho^{\nu}_2 = \rho^{\nu}, \eqno (9) $$

совпадающим с уравнением Ферма, но противоречащим условиям (6) и, которое, одновременно с (4) выполняться не может.





Теорема (Треугольник для ВТФ). Если для, отличных от нуля $ x, y, z \in C $ и положительного целого $\nu \geqslant 1$ выполняется соотношение

$$ x^\nu + y^\nu = z^\nu, \eqno (10) $$

причем векторы $ x, y $ не коллинеарны, тогда существует хотя бы один треугольник со сторонами
$ \rho^\nu_1 = |x|^\nu, \rho^\nu_2 = |y|^\nu, \rho^\nu = |z|^\nu, $
Доказательство. Представим $ x, y $ и $ z $ в тригонометрической форме [4, 13]

$$ x = \rho_1(\cos \varphi_1 +i \sin \varphi_1), y = \rho_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2), z = \rho (\cos \varphi + i \sin \varphi), \eqno (11) $$
,
где
$ \rho_1 = |x|, \rho_2 = |y|, \rho = |z| $ -модули, $ \varphi_1 = Arg x, \varphi_2 = Arg y, \varphi = Arg z $ - значения аргументов $ x, y $ и $ z $ соответственно.
Подставим (11) в соотношение (10), тогда, после возведения в степень $ \nu $, получим

$$ \rho^\nu_1 (\cos \nu \varphi_1 +i \sin\nu \varphi_1) + \rho^\nu_2 (\cos\nu \varphi_2 + i \sin\nu \varphi_2) = \rho^{\nu} (\cos\nu \varphi + i \sin\nu \varphi) $$
.
Приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

$$ \left\{ \begin{aligned} \rho^{\nu}_1 \cos \nu \varphi_1 + \rho^{\nu}_2 \cos \nu \varphi_2 = \rho^{\nu} \cos \nu \varphi\\ \rho^{\nu}_1 \sin \nu \varphi_1 + \rho^{\nu}_2 \sin \nu \varphi_2 = \rho^{\nu} \sin \nu \varphi.\\ \end{aligned} \right. \eqno (12) $$

Возводя оба соотношения (12) в квадрат, и складывая, отдельно левые и правые части, получим

$$ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2 + 2 \rho^{\nu}_1 \rho^\nu_2 \cos \nu(\varphi_2 - \varphi_1) = \rho^{2\nu}. \eqno (13) $$

Переписав уравнение (10) в виде

$$ z^\nu - x^\nu = y^\nu, $$

и проделав с этим уравнением такую же процедуру, как и с уравнением (10), получим

$$ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^{\nu}_1 \rho^{\nu}\cos \nu(\varphi - \varphi_1) = \rho^{2\nu}_2. \eqno (14) $$
.
Аналогично, для уравнения

$$ z^\nu - y^\nu = x^\nu, $$

Получим

$$ \rho^{2 \nu}_2 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^{\nu}_2 \rho^{\nu} \cos \nu(\varphi_2 - \varphi) = \rho^{2\nu}_1. \eqno (15) $$
.
Объединив соотношения (13) – (15) в виде системы, получим условия
совместности для модулей векторов и углов уравнения (10):

$$ \left\{ \begin{aligned} \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2 - 2 \rho^{\nu}_1 \rho^{\nu}_2 \cos C = \rho^{2\nu}\\ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^{\nu}_1 \rho^{\nu} \cos B = \rho^{2\nu}_2\\ \rho^{2 \nu}_2 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^{\nu}_2 \rho^{\nu} \cos A = \rho^{2\nu}_1.\\ \end{aligned} \right. \eqno, (16) $$

где

$$ A =\nu(\varphi_1 - \varphi), B = \nu(\varphi - \varphi_2), C = \pi - \nu(\varphi_1 - \varphi_2), \eqno (17) $$

Из (17) следует, что

$$ A + B + C = \pi, \eqno (18) $$

Соотношения (16) совпадают с соотношениями (4), следовательно они определяют для шестерки величин $ \rho^\nu_1, \rho^\nu_2, \rho^\nu, A, B $ и $ C $ теорему косинусов [5, 330].
Без умаления общности, можно допустить, что для аргументов выполняются неравенства (см. рис. 1)

$$ \varphi_1 > \varphi > \varphi_2, \eqno (19) $$

В силу требований теоремы, ось отсчета аргументов выберем так, чтобы векторы $ x $ и $ y $ находились по одну сторону от нее и все углы отсчитывались против часовой стрелки. Согласно (10) вектор $ z $ также будет лежать по туже сторону оси отсчета. Тогда будут выполняться неравенства

$$ 0 < \varphi_1 < \pi, 0 < \varphi < \pi, 0 < \varphi_2 < \pi, (20) $$

В силу (17) для углов $ A, B $ и $ C $, с учетом (18), (19) и (20) будут выполняться аналогичные неравенства

$$ 0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi , \eqno (21) $$

По определению модуля, имеем очевидные неравенства:

$$ \rho^\nu_1 > 0 , \rho^\nu > 0 , \rho^\nu_2 > 0 , \eqno (22) $$

Условия (16), (21) и (22) выполняют все требования теоремы о существовании единственного треугольника [5, 333] для шестерки величин
$ \rho^{\nu}_1, \rho^{\nu}_2, \rho^\nu, A, B, C $. Следовательно, эти величины являются элементами треугольника. Теорема доказана.
Следствие 1.(Теорема Пифагора, обобщение). Если угол между векторами $ x^\nu $ и $ y^\nu $ уравнения (10) равен $ \frac \pi 2 $, т. е. $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac \pi 2 $, то для модулей векторов имеет место соотношение

$$ \rho^{2\nu}_1 + \rho^{2\nu}_2 = \rho^{2\nu}, \eqno (23) $$

Доказательство. Полагая в первом соотношении (16) $ C = \frac \pi 2 $, получим $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac \pi 2 $ и первое равенство из соотношений (16) перейдет в (23). Следствие доказано.
При $ \nu = 1 $, из равенства (23) мы получим обычную теорему Пифагора. Таким образом теорема косинусов в комплексной плоскости при условиях теоремы имеет вид:

$$ x + y = z $$

Если же угол между векторами $x$ и $y$ буде равен $\frac \pi 2 $, то это соотношение будет теоремой Пифагора.
Следствие 2. (Отрезок для ВТФ). Для уравнения Ферма не существует ни одного треугольника.
Доказательство. Для получения уравнения ВТФ, положим, в нарушении условия неколлениарности, в первом соотношении (16) $ C = \pi $, тогда $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = 0 $ и все три соотношения (16) примут вид:

$$ \rho^{\nu}_1 + \rho^{\nu}_2 = \rho^{\nu}, $$

совпадающим с (9) и с уравнением Ферма. Следствие доказано.

Следствие 3. Формулировка ВТФ не корректна. Доказательство. Сравнивая формулировки теорем: треугольник для ВТФ, Пифагора и ВТФ; заключаем, что первые две сформулированы для треугольника. В формулировке ВТФ никакого геометрического образа не задано, что гарантирует ее недоказуемость для любого натурального $n>1$.
Следствие доказано.



Выводы: 1). Решение алгебраического уравнения, независимо от нашего желания, связано с областью, для которой это уравнение определено;
2). Область, для которой это уравнение определено, находиться из условий совместности (16) для модулей, входящих в это уравнение неизвестных, и коэффициентов при них, путем раасмотрения его в комплексной плоскости;
3). Утверждать, что уравнение

$$ x^\nu + y^\nu = z^\nu, \eqno $$

при $\nu=2$ имеет целые решения, а при $\nu>2$ - действительные в условиях ВТФ ошибочно, ибо эти решения действительны только для прямоугольных треугольников, которых в условии ВТФ нет;
4). Отсюда же следует, что нахождение числового примера целочисленного решения уравнения Ферма, для произвольного натурального $\nu>1$ (в частности $3^2 + 4^2 = 5^2$), не будет являться опровержением ВТФ.
5). Все, имеющиеся частные случаи доказательства ВТФ ошибочны, ибо они, без всякого изменения, могут быть использованы для доказательства ВТФ, сформулированной корректно: Теорема Ферма (Корректная формулировка). Если $ \nu $ означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то не существует прямоугольного треугольника с катетами $x^{\nu/2}, y^{\nu/2}$ и гипотенузой $z^{\nu/2}$ для которых соотношение (14) выполнялось бы при целых положительных $ x, y $ и $ z $. Причем можно обобщить и на $\nu > 1$. Таким образом, в них доказано, что среди пифагоровых троек $x^{\nu/2}, y^{\nu/2}, z^{\nu/2}$, для $\nu > 2$, нет целых $ x, y, z$

Больше ничего особенного в ВТФ нет. Нет в ней никаких кривых Таниямы. Но у математиков есть проблема с аксиоматическим определением понятия числа. Определение числа, данное Пифагором – правильное! При таком определении проблема ВТФ не возникла бы, а вышеуказанные выводы не противоречили бы теории. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассматривать задачи в комплексной плоскости. Это реально существующая модель плоской области для реальных моделей чисел (вещей), определенных по Пифагору.
Всем математических успехов! $\textit{Число}$ Yarkin.

Литература

1. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М., «Наука», 1982, с.240.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, т.1, 4 – ое издание, М., “Наука”, 1987, с. 432.
3. Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма, Госиздат, М – Л, 1927, с. 76.
4. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций, 4-ое издание, М., Наука”, 1978, с. 416.
5. Новоселов С. И. Специальный курс тригонометрии, “Советская наука”, М., 1953, с. 464.

[drowsy]

редкостный бред

[AndAll]

drowsy писал(а):

редкостный бред

Ну почему же?

[drowsy]

"Теорема (ВТФ для треугольника)" это просто теорема Пифагора, "Теорема (Треугольник для ВТФ)" доказывается в одну строчку, ему на предыдущей странице показали как. Ему всё бестолку. Дальше по тексту просто бред сивой кобылы, не иначе. По другому в приличных заведениях это не называют.

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

AndAll писал(а):

drowsy писал(а):

редкостный бред

Ну почему же?

Пардон, не понял шутки юмора. Бред, конечно, не редкий -- тут весь подфорум этими пИсаниями заполнен.

[AndAll]

drowsy писал(а):

... Бред, конечно, не редкий -- тут весь подфорум этими пИсаниями заполнен.

Это я и имею в виду. Далеко не редкий.

[drowsy]

PS он ещё умудрился в теорему Пифагора и ошибок добавить от себя лично, в формулировку. 9 страниц исписал, а очевидной ошибки в формулировке не заметил.