Магические кубы

[Someone]

Nataly-Mak в сообщении #857484 писал(а):

Осталось маленькое теоретическое сомнение: если решение не найдено только по одному шаблону, значит ли это, что его вообще не существует
В общем случае, по-моему, не значит. Однако в этом частном случае, может быть, и значит.

Странная надежда. Если Вы сможете доказать, что другие шаблоны невозможны…

[Nataly-Mak]

Someone в сообщении #857536 писал(а):

Странная надежда. Если Вы сможете доказать, что другие шаблоны невозможны…

Вот именно на это и надежда
Вы верно прочитали мои мысли.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #856672 писал(а):

Кстати, именно такую константу имеет известный магический куб 6-го порядка из простых чисел. Не таким ли методом его построили

Сомнений не осталось:



Этот магический куб построен методом окаймления!

Можно попытаться построить этим же методом окаймлённый магический куб с меньшей магической константой.
Вот только получу общую формулу такого куба. Систему уравнений уже написала и запостила тут.

[Nataly-Mak]

Магический куб 4-го порядка с константой $S=780$ никак не составляется
Решила изменить шаблон; сделала такой шаблон из вычетов по модулю 3, в котором есть один вычет 0, то есть в кубе присутствует простое число 3:

2 1 1 2
1 1 2 2
1 2 2 1
2 2 1 1

1 1 2 2
2 1 2 1
1 2 1 2
2 2 1 1

1 2 2 1
1 2 1 2
0 1 1 1
1 1 2 2

2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2

Написала программу по этому шаблону, кручу теперь эту программу.
Приближения с 2 дырками находятся регулярно; два проблемных элемента в последнем (нижнем) слое куба, на котором программа завершает построение. Эти элеметы получаются или простые, но повторяющиеся, либо не простые.
Вот пример приближения с 2 дырками:

5  7  457  311 
181  271  47  281 
241  239  173  127 
353  263  103  61 

13  79  269  419 
197  283  89  211 
439  71  229  41 
131  347  193  109 

331  401  17  31 
373  59  337  11 
3  157  199  421 
73  163  227  317 

431  293  37  19 
29  167  307  277 
97  313  179  191 
223  7*  257  293*

Здесь в дырках находятся элементы равные 7 и 293, числа эти простые, но они повторяются.

В общем, если решение c магической константой $S=780$ существует, искать его придётся очень долго.

[Nataly-Mak]

Есть!! Удача улыбнулась

Нашла решение с магической константой $S=780$. Давно надо было сменить шаблон. Шаблон, позволяющий использовать простое число 3, оказался эффективным.

Итак, минимальную магическую константу куба 4-го порядка из различных простых чисел теперь надо искать в интервале [578,780).

ice00 нашёл потенциальный массив простых чисел для магической константы $S=578$ (он выложил потенциальные массивы на форуме своего сайта ).
По моим расчётам минимальная магическая константа 576 невозможна.

Запустила поиск решения с магической константой $S=750$ по этому же шаблону.

[Nataly-Mak]

А почему не попробовать метод окаймления на магическом кубе 5-го порядка?
Схема предположительно такая:



Внутри находится магический куб 3-го порядка из различных простых чисел (моё решение) с магической константой $S=10821$. Константа ассоциативности этого куба $K=7214$. Имеем набор из 77 комплементарных пар простых чисел с такой константой комплементарности. В кубе 3-го порядка задействованы всего 13 комплементарных пар. Вполне дстаточно осталось пар для построения окаймления.
Построенный по данной схеме магический куб не является ассоциативным; его магическая константа будет равна $S+K$ ($S$, $K$ - магическая кнстанта и константа ассоциативности куба 3-го порядка, находящегося внутри).

Вместо 125 неизвестных элементов куба 5-го порядка имеем в окаймлённом кубе всего 61 неизвестных.

Сейчас напишу систему уравнений, описывающих приведённый на схеме окаймлённый куб.

[Nataly-Mak]

Нашла интересную статью "Magic Cubes of prime orders":
http://his.kanazawa-it.ac.jp/~poyo/magi ... ecube.html

Как я понимаю, в статье описывается алгоритм построения классических совершенных магических кубов, порядок которых есть простое число.
Пример приведён для куба порядка $n=11$.

Вообще-то запрос у меня был "Magic Cubes of prime numbers", пытаюсь найти что-то дополнительное к уже найденной информации по конкурсной задаче.
Но найденная статья тоже очень интересная, пригодится для дальнейших исследований; совершенными кубами я пока очень мало занималась.

[Nataly-Mak]

Программа поиска магического куба 4-го порядка с магической константой $S=750$ работает, но пока нет решения, есть только приближения с 2 "дырками", да и их не так много.

Пример:

17  7  337  389 
379  223  89  59 
181  227  113  229 
173  293  211  73 

19  61  359  311 
101  349  191  109 
373  233  97  47 
257  107  103  283 

271  419  23  37 
199  137  331  83 
3  127  157  463 
277  67  239  167 

443  263  31  13 
71  41  139  499 
193  163  383  11 
43  283*  197  227*

Здесь два "плохих" элемента - простые числа, но повторяются (помечены звёздочкой).

Чем меньше магическая константа куба, тем сложнее найти решение.

-- Пн май 05, 2014 06:39:57 --

Вчера такую книгу нашла:
William H. Benson and Oswald Jacoby. Magic Cubes. New Recreations. 1981 г.

Показали несколько страниц, полной электронной версии нет.
Так хочется эту книгу почитать! Хотя и читать-то не умею (по-английски).

Кстати, лежит перевод на русский язык замечательной статьи о кубах и гиперкубах 3-го порядка (любезно перевёл наш форумчанин).
Читать начала, но... тоже жуткий цейтнот
Очень понравилось в этой статье определение эйлерова куба.

Если кто заинтересуется этой статьёй, я могу выложить перевод.
Это у меня второй счастливый случай, когда коллеги делают перевод фундаментальной статьи с английского на русский. Первым был svb, он перевёл статью Россера.

[Nataly-Mak]

Пока нет у меня общей формулы окаймлённого куба 5-го порядка, пытаюсь построить его просто по схеме (так много раз делала при построении магических квадратов).

Сгенерировала случайным образом первый и пятый слои куба (они составляются из комплементарных пар чисел). При этом задействовано 16 свободных переменных (все они из первого слоя).
Теперь у меня есть такая заготовка:

3673 157 7177 6091 937
6781 2383 2647 5437 787
1987 5347 2857 3517 4327
2203 3307 3571 2617 6337
3391 6841 1783 373 5647

0 0 0 0 0
0 3943 6571 307 0
0 4657 1063 5101 0
0 2221 3187 5413 0
0 0 0 0 0

0 0 0 0 0
0 5077 223 5521 0
0 4051 3607 3163 0
0 1693 6991 2137 0
0 0 0 0 0

0 0 0 0 0
0 1801 4027 4993 0
0 2113 6151 2557 0
0 6907 643 3271 0
0 0 0 0 0

1567 373 5431 6841 3823
6427 4831 4567 1777 433
2887 1867 4357 3697 5227
877 3907 3643 4597 5011
6277 7057 37 1123 3541

Попытаюсь заполнить "дырки", опираясь на схему куба.

Массив из 77 комплементарных пар простых чисел с константой комплементарности равной 7214, из которых составляется куб:

3  7  37  157  223  307  331  373  421  433  523  541  577  607  643  661  733  787  
853  877  937  967  997  1051  1063  1093  1123  1171  1291  1423  1471  1531  1567  1657  
1693  1777  1783  1801  1867  1933  1987  2017  2113  2137  2203  2221  2281  2311  2383  
2551  2557  2593  2617  2647  2707  2731  2767  2791  2851  2857  2887  2917  2953  2971  
3037  3061  3121  3163  3187  3271  3307  3361  3391  3517  3541  3571  3583  3631  3643  
3673  3697  3823  3853  3907  3943  4027  4051  4093  4153  4177  4243  4261  4297  4327  
4357  4363  4423  4447  4483  4507  4567  4597  4621  4657  4663  4831  4903  4933  4993  
5011  5077  5101  5197  5227  5281  5347  5413  5431  5437  5521  5557  5647  5683  5743  
5791  5923  6043  6091  6121  6151  6163  6217  6247  6277  6337  6361  6427  6481  6553  
6571  6607  6637  6673  6691  6781  6793  6841  6883  6907  6991  7057  7177  7207  7211 

Начала дальше строить куб; обнаружила, что в двух сгенерированных слоях есть повторяющиеся числа. Надо найти баг в программе, чтобы не пропускала одинаковые числа.

[Nataly-Mak]

Красиво строится окаймление симфония!

4297  5647  3571  157  4363 
 2707  967  2617  6841  4903 
 2887  4933  5791  2953  1471 
 1867  2971  3673  6793  2731 
 6277  3517  2383  1291  4567 

 7  433  6337  4621  6637 
 0  3943  6571  307  0 
 0  4657  1063  5101  0 
 0  2221  3187  5413  0 
 577  6781  877  2593  7207 

 3907  5197  2203  1171  5557 
 0  5077  223  5521  0 
 0  4051  3607  3163  0 
 0  1693  6991  2137  0 
 1657  2017  5011  6043  3307 

 7177  3061  1093  6163  541 
 0  1801  4027  4993  0 
 0  2113  6151  2557  0 
 0  6907  643  3271  0 
 6673  4153  6121  1051  37 

 2647  3697  4831  5923  937 
 2311  6247  4597  373  4507 
 5743  2281  1423  4261  4327 
 4483  4243  3541  421  5347 
 2851  1567  3643  7057  2917 

K= 7214 S= 18035 

Даже если оставшиеся "дырки" не удастся заполнить простыми числами, заполню их натуральными числами.
Но показана работа алгоритма построения окаймлённого магического куба 5-го порядка.

И это пока без общей формулы...

[Nataly-Mak]

Есть!!! Он составился!

Это мой первый магический куб 5-го порядка из различных простых чисел.
Пока проверила решение в программе mertz; она сообщила, что у неё претензий не имеется к моему кубу
Сейчас отправлю решение на сайт ice00. Надеюсь, что и там решение будет принято.

Было очень интересно. Попробуйте все, не пожалеете
Вот вам и эффективный алгоритм. Запросто строится окаймлённый магический куб 5-го порядка из различных простых чисел.

Не исключено, что и окаймлённый куб 6-го порядка из различных простых чисел не так сложно построить, тем более что один такой уже давно построили (мы видим его в Интернете).

Решение отправила, оно принято ура! Проверено двумя программами, значит, правильное.

[Nataly-Mak]

Вчера программа нашла приближение к магическому кубу 4-го порядка с $S=750$ с одной "дыркой":

5  7  337  401 
367  241  83  59 
151  311  107  181 
227  191  223  109 

31  43  359  317 
233  277  137  103 
433  173  97  47 
53  257  157  283 

271  449  17  13 
79  101  331  239 
3  139  379  229 
397  61  23  269 

443  251  37  19 
71  131  199  349 
163  127  167  293 
73  241*  347  89 

Всего один "плохой" элемент - 241, он повторятся.

(Оффтоп)

Вспомнилось, как Jarek искал наименьший пандиагональный квадрат 7-го порядка из различных простых чисел. Алгоритм был аналогичный - построение по шаблону. И точно так же наблюдали появление приближений с одной "дыркой"; он прислал мне ссылку, куда программа эти приближения выводила, чтобы я могла их смотреть.
Программа работала несколько суток (непрерывно).
Сравните: в пандиагональном квадрате 7-го порядка 49 элементов и 28 магических рядов; в магическом кубе 4-го порядка 64 элемента и 52 магических ряда.

-- Вт май 06, 2014 08:04:58 --

Показываю чудесный окаймлённый кубик 5-го порядка из различных простых чисел (не могу удержаться ):



Удалила магический куб 3-го порядка, находящийся внутри.
Это у меня самый маленький окаймлённый кубик, $S=15835$.

[Nataly-Mak]

Эксперимент с окаймлённым кубом 6-го порядка начала.
Пока вот такое окаймление построила:

883  5591  3697  4243  233  5153 
1117  4457  5923  1031  4799  2473 
5387  4289  977  2273  5507  1367 
4447  179  2861  6121  743  5449 
6269  863  5323  1549  2777  3019 
1697  4421  1019  4583  5741  2339 

 1783  47  239  6373  6007  5351 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 1249  6553  6361  227  593  4817 

 397  211  3299  5861  5981  4051 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 2549  6389  3301  739  619  6203 

 6133  6113  3797  449  3229  79 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 6521  487  2803  6151  3371  467 

 6343  5659  3187  857  3491  263 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 0  x   x   x   x  0 
 6337  941  3413  5743  3109  257 

 4261  2179  5581  2017  859  4903 
 4127  2143  677  5569  1801  5483 
 5233  2311  5623  4327  1093  1213 
 1151  6421  3739  479  5857  2153 
 3581  5737  1277  5051  3823  331 
 1447  1009  2903  2357  6367  5717 

S= 19800

Заменила элементы находящегося внутри ассоциативного куба 4-го порядка на символы x; это моё решение, магическая константа куба $S=13200$, константа ассоциативности $K=6600$. Вокруг этого куба строится окаймление. Осталось найти 32 элемента окаймления, из них 12 свободных. Не знаю, удастся ли завершить построение в простых числах, но в натуральных точно удастся.

Конечно, окаймлённый куб для $n=6$ строить сложнее, чем для $n=5$. Ещё массив у меня огромный (с данной константой комплементарности имеем 211 комплементарных пар простых чисел). Надо попробовать взять поменьше константу комплементарности; однако уменьшение массива чревато тем, что могут не сложиться все нужные суммы в кубе. Когда массив большой, вариантов море; уменьшаем массив - уменьшается количество вариантов.
Известный интернетовский окаймлённый куб 6-го порядка из простых чисел имеет магическую константу $S=29610$, что соответствует константе комплементарности $K=9870$ (массив комплементарных пар простых чисел намного больше, чем в моём эксперименте).

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #859979 писал(а):

Вокруг этого куба строится окаймление. Осталось найти 32 элемента окаймления, из них 12 свободных. Не знаю, удастся ли завершить построение в простых числах, но в натуральных точно удастся.

Есть!
Построение окаймлённого куба 6-го порядка из различных простых чисел завершено.
Он составился! И всего за несколько секунд.
Кстати, свободных элементов из последних 32 оказалось всего 9, а не 12.

Это мой первый магический куб 6-го порядка, он нетрадиционный и более того - он составлен из различных простых чисел; плюс ко всему он окаймлённый. Его магическая константа $S=19800$, против интернетовского куба с магической константой $S=29610$.
Думаю, что можно построить подобные кубики с меньшей магической константой. Надо попробовать.

Решение отправила на конкурс.

Конечно, было бы весьма интересно посмотреть на общую формулу окаймлённого куба 6-го порядка. Ну, может быть, систему уравнений ещё и решит кто-нибудь

А у меня на очереди окаймлённый куб 7-го порядка.

[Nataly-Mak]

С окаймлённым кубом 7-го порядка из простых чисел пока ничего не получится, так как у меня нет пока ассоциативного куба 5-го порядка из простых чисел.
Решила составить окаймлённый куб 7-го порядка из натуральных чисел. Взяла построенный мной ассоциативный куб 5-го порядка из различных натуральных чисел:

698,699,700,701,1037,
1229,755,751,747,353,
1,1237,1238,1239,120,
710,711,712,713,989,
1197,433,434,435,1336,

714,715,716,717,973,
718,719,720,721,957,
722,723,724,725,941,
726,727,728,729,925,
955,951,947,943,39,

730,731,732,733,909,
734,735,736,737,893,
1105,771,767,763,429,
641,797,798,799,800,
625,801,802,803,804,

1495,591,587,583,579,
609,805,806,807,808,
593,809,810,811,812,
577,813,814,815,816,
561,817,818,819,820,

198,1099,1100,1101,337,
545,821,822,823,824,
1414,295,296,297,1533,
1181,787,783,779,305,
497,833,834,835,836

Магическая константа этого куба $S=3835$, константа ассоциативности $K=1534$.
Окаймление делала вручную, поэтому много одинаковых чисел. Мне важно было проверить принцип. Всё выполняется точно так же, как при построении окаймлённых кубов 5-го и 6-го порядков.
Такой окаймлённый кубик 7-го порядка получился:

990 583 666 658 741 824 907
594 677 760 843 926 988 581
758 841 924 1007 530 613 696
943 956 528 611 694 777 860
547 630 713 796 858 871 954
711 794 807 890 973 566 628
826 888 971 564 647 730 743

678 761 844 927 1010 533 616
863 698 699 700 701 1037 671
957 1229 755 751 747 353 577
631 1 1237 1238 1239 120 903
746 710 711 712 713 989 788
576 1197 433 434 435 1336 958
918 773 690 607 524 1001 856

877 960 553 636 698 781 864
551 714 715 716 717 973 983
736 718 719 720 721 957 798
830 722 723 724 725 941 704
994 726 727 728 729 925 540
711 955 951 947 943 39 823
670 574 981 898 836 753 657

656 718 731 814 897 980 573
750 730 731 732 733 909 784
914 734 735 736 737 893 620
518 1105 771 767 763 429 1016
703 641 797 798 799 800 831
867 625 801 802 803 804 667
961 816 803 720 637 554 878

834 917 1000 593 606 668 751
998 1495 591 587 583 579 536
623 609 805 806 807 808 911
787 593 809 810 811 812 747
881 577 813 814 815 816 653
463 561 817 818 819 820 1071
783 617 534 941 928 866 700
 
543 784 1012 771 530 779 950
660 198 1099 1100 1101 337 874
543 545 821 822 823 824 991
986 1414 295 296 297 1533 548
918 1181 787 783 779 305 616
1135 497 833 834 835 836 399
584 750 522 763 1004 755 991

791 646 563 970 887 804 708
953 857 774 691 608 546 940
838 693 610 527 1004 921 776
674 578 1006 923 840 757 591
580 904 821 738 676 663 987
906 740 727 644 561 968 823
627 951 868 876 793 710 544

Магическая константа этого куба $S=5369$.