Момент инерции

[_Ivana]

$1=2$ это понимаете в чем неправильно или тоже нет?
Как разберетесь с определением и аддитивностью момента инерции, и с переходом от суммирования к интегрированию, придет понимание.

[DimaM]

_Ivana в сообщении #856875 писал(а):

полный шар считал бы через интеграл по дискам, перпендикулярным оси вращения. Для диска посчитал бы предварительно.

Лучше по сферам. Для тонкой сферы можно вообще без интегралов посчитать - из соображений симметрии, а дальше единственный интеграл по радиусу.
Хотя момент инерции шара в любом справочнике есть ;).

[_Ivana]

DimaM, покажите пожалуйста, как вы предлагаете посчитать момент инерции тонкой сферы. Это для тонкого кольца/цилиндра проходят соображения симметрии без интегралов. За пару минут у меня появилось только 2 идеи - интегрированием по кольцам в декартовой СК (с необходимостью учета зависимости ширины кольца от координаты) и по вырезкам меридианов в цилиндрической СК, со своими трудностями. Можно еще про сферическую подумать. Но все это имхо гораздо сложнее, чем шар по дискам в декартовой, а из двух шаров перейти в пределе к сфере.

А про справочник -

ИСН в сообщении #852945 писал(а):

Один студент © тоже вот так обнаружил, что можно всё делать с помощью компьютера, а самому ничего не делать. Переложил на него всю работу, учёбу, вообще всё. Потом компьютер запер его в шкафу, а сам стал за него жить его жизнь.

[_Ivana]

UPD посчитал для сферы через интеграл в декартовой СК по кольцам, тоже несложно, многочлен, но пришлось немного применить геометрию для выражения зависимости ширины кольца от координаты.

[svv]

LORDIF в сообщении #856975 писал(а):

$I = \int_{0}^{R} r^2 dm$

Люди, вы под $r$ что здесь понимаете? Надо же расстояние точки от оси вращения, а не от центра.

[_Ivana]

svv, если вопрос к ТС, то не могу комментировать его формулы, не вникал. За себя скажу, что да, расстояние нужно до оси, так и делал. Более того - уже потренировался, вспомнил былое. Со справочниками сошлось Осталось вспомнить замены переменных и переходы между различными СК. Поэтому и не понял предложения DimaM "посчитать без интегралов из соображений симметрии" для сферы.

[Nemiroff]

_Ivana в сообщении #857399 писал(а):

Поэтому и не понял предложения DimaM "посчитать без интегралов из соображений симметрии" для сферы.

Ну кагбэ относительно трёх осей он одинаковый "из соображений симметрии" --- складываем, получаем.

[_Ivana]

Для этого надо знать понятие центрального момента инерции и связь его с тремя осевыми. А для прямого вывода достаточно определения осевого момента инерции.

[Nemiroff]

Да зачем понятие --- просто так сложить.

[DimaM]

_Ivana в сообщении #857420 писал(а):

Для этого надо знать понятие центрального момента инерции и связь его с тремя осевыми.

Не надо. Просто записать три момента инерции через координаты $x,y,z$, сложить и посмотреть, что под интегралом получается.
Формально, конечно, интеграл останется, но он тривиальный.

[AlexeyAl]

Сплошной однородный шар
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле:
$r=\sqrt{R^2-h^2}$
Масса и момент инерции такого диска составят
$dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^2dh$
$dJ=\frac 1 2 r^2dm=\frac 1 2 \rho \pi r^4dh=\frac 1 2 \rho \pi {(R^2-h^2)}^2dh$
Момент инерции шара найдём интегрированием:
$J=\int\limits_{-R}^{R}dJ=2\int\limits_{0}^{R}dJ=\text{...пропуская подробности...}=\frac 8 {15} \rho \pi R^5=\frac 2 5 mR^2$

(Оффтоп)

вот и потренировался формулы набирать