Момент инерции

[LORDIF]

Как вывести формулу момента инерции для толстостенного шара?
m - масса, R - внеш. радиус, r - внутренний радиус.
Не могу никак вывести, не понимаю почему не выходит, а как это выводят в учебниках не понимаю.
Можете пожалуйста написать как это делается.

Как я пытаюсь:

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{3m}{4 \pi (R^3 - r^3)}$

$\iiint \limits_V \, \rho r^2 dV =\frac{3m}{4 \pi (R^3 - r^3)} \int_{0}^{2 \pi} d \psi \int_{0}^{\pi} d \varphi \int_{r}^{R} r^4 \sin^2(\varphi) dr $

[_Ivana]

Величина аддитивная, из внешнего полного шара вычтите внутренний.

[LORDIF]

Я привел формулу, по которой бы считал, но она неправильная, не могу посчитать даже инерцию полного шара

[_Ivana]

Я давно не брал в руки тройных интегралов - полный шар считал бы через интеграл по дискам, перпендикулярным оси вращения. Для диска посчитал бы предварительно.

UPD только что проверил себя, посчитал для диска и затем для шара. Интегралы простейшие, одни многочлены - никаких арксинусов, одно удовольствие.

[LORDIF]

Можете пожалуйста это написать, во всех учебниках написано только на словах, ни одного полного решения

[_Ivana]

Могу. Но я то уже это проделал, так что теперь ваша очередь - писать будете вы. Для начала выведите момент инерции диска для перпендикулярной проходящей через его центр оси вращения. Здесь и с формулами.

[LORDIF]

$I = \int_{0}^{R} r^2 dm$

$dm = \rho ds$

$ds = 2\pi r dr$

$\rho = \frac{m}{S} = \frac{m}{\pi R^2}$

$I = \int_{0}^{R} \frac{m}{\pi R^2} 2 \pi r^3 dr = \frac{2m}{R^2} \int_{0}^{R} r^3 dr = \frac{2mR^4}{4R^2} = \frac{1}{2} mR^2 $

[_Ivana]

Хорошо, первый блин диск рассчитан. Теперь считайте шар как стопку наслайсанных дисков с известно как изменяющимся радиусом.

ЗЫ поверил вам на слово, а у вас масса - это плотность на площадь... Значит ответ просто подогнан - пересчитайте правильно и без ошибок.

[LORDIF]

Там идет интеграл по $dI$ ?

[_Ivana]

Да хоть по $d\text{Щ}$, смотря что вы под буквами понимаете.

[LORDIF]

_Ivana в сообщении #857001 писал(а):

Хорошо, первый блин диск рассчитан. Теперь считайте шар как стопку наслайсанных дисков с известно как изменяющимся радиусом.

ЗЫ поверил вам на слово, а у вас масса - это плотность на площадь... Значит ответ просто подогнан - пересчитайте правильно и без ошибок.

ну так я считал же в 2d, там объема же в принципе нет

[_Ivana]

У вас просто по умолчанию подразумевается единичная высота диска. Но лучше обозначать ее отдельной буквой, для предупреждения возможных ошибок. Она потом все равно войдет в объем и через него и плотность в массу. Но на месте преподавателя я бы придрался.

[LORDIF]

$I = \int_{0}^{R} r^2 dm$

$dm = \rho dV = \rho h dS = \rho dS$

$dS = 2\pi r dr$

$\rho = \frac{m}{S} = \frac{m}{\pi R^2}$

$I = \int_{0}^{R} \frac{m}{\pi R^2} 2 \pi r^3 dr = \frac{2m}{R^2} \int_{0}^{R} r^3 dr = \frac{2mR^4}{4R^2} = \frac{1}{2} mR^2 $

-- 30.04.2014, 00:27 --

Не понимаю как от этого момента инерции перейти к моменту инерции шара

[_Ivana]

LORDIF в сообщении #857030 писал(а):

\rho h dS = \rho dS$

В этом равенстве вам ничего не кажется подозрительным?

-- 29.04.2014, 23:29 --

LORDIF в сообщении #857030 писал(а):

Не понимаю как от этого момента инерции перейти к моменту инерции шара

Я уже дважды в этой теме писал, как.

[LORDIF]

_Ivana в сообщении #857033 писал(а):

LORDIF в сообщении #857030 писал(а):

\rho h dS = \rho dS$

В этом равенстве вам ничего не кажется подозрительным?

Не понимаю в чем я не прав.


Вы написали - "Теперь считайте шар как стопку наслайсанных дисков с известно как изменяющимся радиусом"
Это я понимаю. С площадью мне понятно, но я считал не площадь, а момент инерции и не понимаю как он будет влиять на интеграл.