Какая-то палочка в ямке... Помогите!

[ОЛЬГА1313]

Тонкую однородную палочку положили в параболическую ямку с гладкими стенками вида y=kx^2, k=2/3. В положении равновесия она составила с горизонтом угол а>0. Найти частоту малых колебаний палочки в ямке.

[AHOHbIMHO]

ОЛЬГА1313 писал(а):

Тонкую однородную палочку положили в параболическую ямку с гладкими стенками вида y=kx^2, k=2/3. В положении равновесия она составила с горизонтом угол а>0. Найти частоту малых колебаний палочки в ямке.

пусть x1,y1-координаты левого конца, x2,y2-координаты правого конца, m-масса палки, g - ускорение свободного падения, L - длина палки.

U - потенциальная энергия палки, T - кинетическая энергия палки.

Тогда

$$U=m g \int_{0}^{1} {(y_1+\xi (y_2-y_1)) d \xi }= m g \frac {1}{2} \left ({y_1}+{y_2}\right )$$ $$T=\frac{m}{2}\int_{0}^{1} {((\dot x_1+\xi (\dot x_2-\dot x_1))^2+(\dot y_1+\xi (\dot y_2-\dot y_1))^2) d \xi }=\frac {1}{6} m\left ({{\dot x_2}}^{2}+{\dot x_2}\,{\dot x_1}+{{\dot x_1}} ^{2}+{{\dot y_2}}^{2}+{\dot y_2}\,{\dot y_1}+{{\dot y_1}}^{2}\right )$$

Пусть $\phi$ - угол по отношению к горизонту. Тогда из системы уравнений

$$x_2-x_1=L \cos {(\phi)}$$ $$y_2-y_1=L \sin {(\phi)}$$ $$y_1=k x_1^2$$ $$y_2=k x_2^2$$

получаем

$$x_1=\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k-L \cos {(\phi)})$$ $$x_2=\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k+L \cos {(\phi)})$$ $$y_1=k \left(\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k-L \cos {(\phi)})\right)^2$$ $$y_2=k \left(\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k+L \cos {(\phi)})\right)^2$$

Дифференцируем по времени:

$$\dot x_1=\frac {1}{2} \frac {\partial}{\partial \phi} (\tg {(\phi)}/k-L \cos {(\phi)}) \dot \phi$$ $$\dot x_2=\frac {1}{2} \frac {\partial}{\partial \phi} (\tg {(\phi)}/k+L \cos {(\phi)}) \dot \phi$$ $$\dot y_1=k \frac {\partial}{\partial \phi} \left(\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k-L \cos {(\phi)})\right)^2 \dot \phi$$ $$\dot y_2=k \frac {\partial}{\partial \phi} \left(\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k+L \cos {(\phi)})\right)^2 \dot \phi$$

Из условия равновесия

$$\frac {\partial}{\partial \phi} U |_{\phi=a} = 0$$

находим

$$L={\frac {1}{k \cos^{2}(a)}}$$

Пусть $b=\phi - a$. Считая b - малой величиной получаем

$$U=U |_{\phi=a} + \frac {1}{2} \frac {\partial ^2}{\partial \phi ^2} U |_{\phi=a} b^2=U |_{\phi=a} +{\frac {mg\left (\sin(a)\right )^{2}{b}^{2}}{k\left (\cos(a)\right )^{ 4}}} $$ $$T=T |_{\phi=a, \dot \phi=\dot b}=\frac{1}{6}{\frac {m{{\dot b}}^{2}}{\left (\cos(a)\right )^{4}{k}^{2}}}$$

Имеем уравнение движения:

$$\frac {d}{d t} \left( \frac {\partial (T-U)}{\partial \dot b} \right)- \frac {\partial (T-U)} { \partial b}=\frac {1}{3}{\frac {m\left ({\ddot b}+6\,g\left (\sin(a) \right )^{2}bk\right )}{\left (\cos(a)\right )^{4}{k}^{2}}} =0$$

или

$${\ddot b}+6\,g\left (\sin(a) \right )^{2} k b=0$$

откуда

$$\omega = \sqrt{6 k g} \sin (a)$$

[незваный гость]

Не сочтите за критику, но где-то спрятана ошибка. А именно, размерность ответа не сходиться.

[AHOHbIMHO]

незванный гость писал(а):

:evil:
Не сочтите за критику, но где-то спрятана ошибка. А именно, размерность ответа не сходиться.

k=2/3 Вам ничего не говорит?

В ответе

$$\omega = \sqrt{6 k g} \sin (a)$$

с размерностью все впорядке. Размерность k - см^(-1), условие k=2/3 уже содержит нестыковку в размерности. Сразу видно, что задачу ставил математик

[незваный гость]

Спасибо. Я смотрел только конечную формулу.

[AHOHbIMHO]

незванный гость писал(а):

:evil:
Спасибо. Я смотрел только конечную формулу.

Я удалил конечную формулу, т.е. подстановку k=2/3 не стал делать, чтобы народ не смущать.

[Аурелиано Буэндиа]

Меня вообще удивляет, что при отсутствии трения (по условию стенки гладкие) в положении равновения стержень расположен не горизонтально. А Вас?

[AHOHbIMHO]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Меня вообще удивляет, что при отсутствии трения (по условию стенки гладкие) в положении равновения стержень расположен не горизонтально. А Вас?

Не то что удивляет, а забавляет Но так и есть. Центр палки в горизонтальном положени несколько выше, чем в положении $\phi = \arccos{(1/\sqrt{k L})}....

Упс! Все зависит от длины палки. Если $L>1/k$, то угол в положении устойчивого равновесия не нулевой.

[Аурелиано Буэндиа]

AHOHbIMHO писал(а):

Центр палки в горизонтальном положени несколько выше, чем в положении $\phi = \arccos{1/(\sqrt{k L})}

Действительно, забавный случай. Получается 2-а положения равновесия! Как в модели $\phi^4$

[AHOHbIMHO]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

Центр палки в горизонтальном положени несколько выше, чем в положении $\phi = \arccos{1/(\sqrt{k L})}

Действительно, забавный случай. Получается 2-а положения равновесия! Как в модели $\phi^4$

Точно, может быть следует теорию электрослабого взаимодействия пересмотреть, считая Хиггсово поле палкой

[ОЛЬГА1313]

AHOHbIMHO писал(а):

Аурелиано Буэндиа писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

Центр палки в горизонтальном положени несколько выше, чем в положении $\phi = \arccos{1/(\sqrt{k L})}

Действительно, забавный случай. Получается 2-а положения равновесия! Как в модели $\phi^4$

Точно, может быть следует теорию электрослабого взаимодействия пересмотреть, считая Хиггсово поле палкой

А Это как?

[LynxGAV]

Как насчет задачки: какая часть палки длиной $l>2r$, лежащей в гладкой полусфере, будет выглядывать наружу.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

какая часть палки

Положительная

[LynxGAV]

незванный гость писал(а):

:evil:

LynxGAV писал(а):

какая часть палки

Положительная .

незванный гость, что-то Вас не по-детски разобрало сегодня . Задача нАрмально сформулирована. $l$ - длина палки, $r$ - радиус сферы.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

незванный гость, что-то Вас не по-детски разобрало сегодня .

Отчего ж не по-детски? Вполне по-детски.

Эта задача заметно проще предыдущей, поэтому напишу только ответ. $\frac{7 l - \sqrt{l^2 + {128} r^2}}{8}$. Верно сие при $ 2 r < l < 4 r $, иначе либо внутрь соскальзнет, либо вывалится. Если кто хочет решение увидеть - скажите, напишу.