2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Какая-то палочка в ямке... Помогите!
Сообщение29.01.2006, 20:57 


29/01/06
26
Тонкую однородную палочку положили в параболическую ямку с гладкими стенками вида y=kx^2, k=2/3. В положении равновесия она составила с горизонтом угол а>0. Найти частоту малых колебаний палочки в ямке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какая-то палочка в ямке... Помогите!
Сообщение30.01.2006, 01:27 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
ОЛЬГА1313 писал(а):
Тонкую однородную палочку положили в параболическую ямку с гладкими стенками вида y=kx^2, k=2/3. В положении равновесия она составила с горизонтом угол а>0. Найти частоту малых колебаний палочки в ямке.


пусть x1,y1-координаты левого конца, x2,y2-координаты правого конца, m-масса палки, g - ускорение свободного падения, L - длина палки.

U - потенциальная энергия палки, T - кинетическая энергия палки.

Тогда
$$U=m g \int_{0}^{1} {(y_1+\xi (y_2-y_1)) d \xi }= m g \frac {1}{2} \left ({y_1}+{y_2}\right )$$
$$T=\frac{m}{2}\int_{0}^{1} {((\dot x_1+\xi (\dot x_2-\dot x_1))^2+(\dot y_1+\xi (\dot y_2-\dot y_1))^2) d \xi }=\frac {1}{6} m\left ({{\dot x_2}}^{2}+{\dot x_2}\,{\dot x_1}+{{\dot x_1}}
^{2}+{{\dot y_2}}^{2}+{\dot y_2}\,{\dot y_1}+{{\dot y_1}}^{2}\right )$$

Пусть $\phi$ - угол по отношению к горизонту. Тогда из системы уравнений
$$x_2-x_1=L \cos {(\phi)}$$
$$y_2-y_1=L \sin {(\phi)}$$
$$y_1=k x_1^2$$
$$y_2=k x_2^2$$

получаем

$$x_1=\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k-L \cos {(\phi)})$$
$$x_2=\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k+L \cos {(\phi)})$$
$$y_1=k \left(\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k-L \cos {(\phi)})\right)^2$$
$$y_2=k \left(\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k+L \cos {(\phi)})\right)^2$$

Дифференцируем по времени:

$$\dot x_1=\frac {1}{2} \frac {\partial}{\partial \phi} (\tg {(\phi)}/k-L \cos {(\phi)}) \dot \phi$$
$$\dot x_2=\frac {1}{2} \frac {\partial}{\partial \phi} (\tg {(\phi)}/k+L \cos {(\phi)}) \dot \phi$$
$$\dot y_1=k \frac {\partial}{\partial \phi} \left(\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k-L \cos {(\phi)})\right)^2 \dot \phi$$
$$\dot y_2=k \frac {\partial}{\partial \phi} \left(\frac {1}{2} (\tg {(\phi)}/k+L \cos {(\phi)})\right)^2 \dot \phi$$

Из условия равновесия
$$\frac {\partial}{\partial \phi} U |_{\phi=a} = 0$$
находим
$$L={\frac {1}{k \cos^{2}(a)}}$$

Пусть $b=\phi - a$. Считая b - малой величиной получаем
$$U=U |_{\phi=a} + \frac {1}{2} \frac {\partial ^2}{\partial \phi ^2} U |_{\phi=a} b^2=U |_{\phi=a} +{\frac {mg\left (\sin(a)\right )^{2}{b}^{2}}{k\left (\cos(a)\right )^{
4}}}
$$
$$T=T |_{\phi=a, \dot \phi=\dot b}=\frac{1}{6}{\frac {m{{\dot b}}^{2}}{\left (\cos(a)\right )^{4}{k}^{2}}}$$

Имеем уравнение движения:
$$\frac {d}{d t} \left( \frac {\partial (T-U)}{\partial \dot b} \right)- \frac {\partial (T-U)} { \partial b}=\frac {1}{3}{\frac {m\left ({\ddot  b}+6\,g\left (\sin(a)
\right )^{2}bk\right )}{\left (\cos(a)\right )^{4}{k}^{2}}}
=0$$

или

$${\ddot  b}+6\,g\left (\sin(a)
\right )^{2} k b=0$$

откуда

$$\omega = \sqrt{6 k g} \sin (a)$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 02:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Не сочтите за критику, но где-то спрятана ошибка. А именно, размерность ответа не сходиться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 02:19 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
незванный гость писал(а):
:evil:
Не сочтите за критику, но где-то спрятана ошибка. А именно, размерность ответа не сходиться.


k=2/3 Вам ничего не говорит?

В ответе
$$\omega = \sqrt{6 k g} \sin (a)$$

с размерностью все впорядке. Размерность k - см^(-1), условие k=2/3 уже содержит нестыковку в размерности. Сразу видно, что задачу ставил математик :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 02:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Спасибо. Я смотрел только конечную формулу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 02:37 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
незванный гость писал(а):
:evil:
Спасибо. Я смотрел только конечную формулу.


Я удалил конечную формулу, т.е. подстановку k=2/3 не стал делать, чтобы народ не смущать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 02:47 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Меня вообще удивляет, что при отсутствии трения (по условию стенки гладкие) в положении равновения стержень расположен не горизонтально. А Вас?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 03:02 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Меня вообще удивляет, что при отсутствии трения (по условию стенки гладкие) в положении равновения стержень расположен не горизонтально. А Вас?


Не то что удивляет, а забавляет :) Но так и есть. Центр палки в горизонтальном положени несколько выше, чем в положении $\phi = \arccos{(1/\sqrt{k L})}....

Упс! Все зависит от длины палки. Если $L>1/k$, то угол в положении устойчивого равновесия не нулевой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 03:06 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
AHOHbIMHO писал(а):
Центр палки в горизонтальном положени несколько выше, чем в положении $\phi = \arccos{1/(\sqrt{k L})}

Действительно, забавный случай. Получается 2-а положения равновесия! Как в модели $\phi^4$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 03:17 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
Аурелиано Буэндиа писал(а):
AHOHbIMHO писал(а):
Центр палки в горизонтальном положени несколько выше, чем в положении $\phi = \arccos{1/(\sqrt{k L})}

Действительно, забавный случай. Получается 2-а положения равновесия! Как в модели $\phi^4$


Точно, может быть следует теорию электрослабого взаимодействия пересмотреть, считая Хиггсово поле палкой :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.01.2006, 21:24 


29/01/06
26
AHOHbIMHO писал(а):
Аурелиано Буэндиа писал(а):
AHOHbIMHO писал(а):
Центр палки в горизонтальном положени несколько выше, чем в положении $\phi = \arccos{1/(\sqrt{k L})}

Действительно, забавный случай. Получается 2-а положения равновесия! Как в модели $\phi^4$


Точно, может быть следует теорию электрослабого взаимодействия пересмотреть, считая Хиггсово поле палкой :wink:



А Это как?

 Профиль  
                  
 
 О ПАЛОЧКАХ, КОЛБОЧКАХ И ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Сообщение31.01.2006, 02:37 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Как насчет задачки: какая часть палки длиной $l>2r$, лежащей в гладкой полусфере, будет выглядывать наружу.

 Профиль  
                  
 
 Re: О ПАЛОЧКАХ, КОЛБОЧКАХ И ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Сообщение31.01.2006, 03:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
LynxGAV писал(а):
какая часть палки

Положительная :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: О ПАЛОЧКАХ, КОЛБОЧКАХ И ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Сообщение31.01.2006, 04:06 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
незванный гость писал(а):
:evil:
LynxGAV писал(а):
какая часть палки

Положительная :lol:.


незванный гость, что-то Вас не по-детски разобрало сегодня :shock:. Задача нАрмально сформулирована. $l$ - длина палки, $r$ - радиус сферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: О ПАЛОЧКАХ, КОЛБОЧКАХ И ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Сообщение31.01.2006, 04:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
LynxGAV писал(а):
незванный гость, что-то Вас не по-детски разобрало сегодня :shock:.

Отчего ж не по-детски? Вполне по-детски.

Эта задача заметно проще предыдущей, поэтому напишу только ответ. $\frac{7 l - \sqrt{l^2 + {128} r^2}}{8}$. Верно сие при $ 2 r < l < 4 r $, иначе либо внутрь соскальзнет, либо вывалится. Если кто хочет решение увидеть - скажите, напишу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group