Ряд Тейлора в векторно-матричной форме

[prof.uskov]

svv в сообщении #856548 писал(а):

Кстати, тензорная запись — она же не обязательно в компонентах. Берем, например, тензор третьего ранга, записанный Xaositect. Рассматриваем его как скалярнозначную линейную функцию от трех векторов и берем значение этой функции на трех равных векторах $(x+h)-x=h$:
$((\nabla \otimes \nabla \otimes \nabla) f)(h,h,h)$
Получаем с точностью до коэффициента третье слагаемое (считая с нуля) в формуле Тейлора.

Убедили, наверное, я в таком виде его и видел много лет назад в справочнике, а потом меня переклинило на многомерные матрицы, когда один математик подсунул мне книжки Соколова.

-- 29.04.2014, 01:14 --

Xaositect в сообщении #856550 писал(а):

prof.uskov в сообщении #856541 писал(а):

Это вариант. Но мне хочется через определение произведения многомерных матриц, как оно определено у Соколова.

А как определить гессиан через произведение обычных матриц? Я просто не понимаю, чего вам хочется. Вот напишите для первых двух членов со всеми определениями, типа $f(x) = f(x_0) + (\nabla f, x - x_0) + (x - x_0)^T H (x - x_0) + o(||x - x_0||^2)$, где $\nabla f = \dots$, $H = \dots$.

А следующий (третий, кубический) член ряда будет уже трехмерная матрица (матрица третьих производных) умноженная на $(x - x_0)$ три раза по правилам умножения многомерных матриц (с какой стороны два раза, а с какой один и где ставить транспонирование я и хотел узнать).

[prof.uskov]

Munin в сообщении #856501 писал(а):

prof.uskov в сообщении #856354 писал(а):

По всей видимости, требуется использование многомерных матриц, в какой литературе это описано?

Нету никаких "многомерных матриц", а есть тензоры. Познакомьтесь с этим понятием (это "многомерные матрицы" и есть, только намного тщательнее разработанные), и не несите чушь.

Munin, я на мех-мате или на физфаке не учился, я учился на инженера, поэтому мои познания ряда разделов высшей математики фрагментарны, приходится разбираться по мере необходимости, не нужно слишком зазнаваться, наверняка найдутся области, где я буду компетентнее вас.

Вопрос. Кто-нибудь знает какую-нибудь литературу, где изложен тензорный анализ достаточно полно, но не перегружен лишней строгостью (для инженеров, а не математиков). В частности, вот это:

svv в сообщении #856548 писал(а):

Рассматриваем его как скалярнозначную линейную функцию от трех векторов и берем значение этой функции на трех равных векторах:
$((\nabla \otimes \nabla \otimes \nabla) f)(h,h,h)$

[Munin]

prof.uskov в сообщении #856748 писал(а):

Munin, я на мех-мате или на физфаке не учился, я учился на инженера, поэтому мои познания ряда разделов высшей математики фрагментарны, приходится разбираться по мере необходимости, не нужно слишком зазнаваться, наверняка найдутся области, где я буду компетентнее вас.

Мои тоже фрагментарны.

Вопрос не в том, что вы чего-то не знаете. Вопрос в том, как вы относитесь к тому, чего вы не знаете. Вы чего-то краем уха услышали, и несёте это другим людям (специалистам) как неоспоримую истину. А следует в такой ситуации "молчать и конспектировать". И долго.

prof.uskov в сообщении #856748 писал(а):

Вопрос. Кто-нибудь знает какую-нибудь литературу, где изложен тензорный анализ достаточно полно, но не перегружен лишней строгостью (для инженеров, а не математиков).

"Для инженеров" лучше всего ЛЛ-2 (Ландау, Лифшиц "Теория поля"). Но там тот вариант записи, который вы, не разобравшись, назвали "скалярами". По сути, этот вариант записи (компонентный или индексный):
- в точности эквивалентен безындексному, то есть нет формул безындексных, которые нельзя написать с индексами (на самом деле, кажется, он даже мощнее, то есть наоборот, есть индексные формулы, которые написать без индексов по крайней мере затруднительно);
- на практике очень удобен;
- не обладает недостатками типа привязки к конкретной системе координат - общие формулы пишутся в абстрактных индексах, и сохраняют истинность в любой с. к.;
- используется гораздо чаще (в прикладных областях).

[prof.uskov]

Munin в сообщении #856790 писал(а):

prof.uskov в сообщении #856748 писал(а):

Вопрос. Кто-нибудь знает какую-нибудь литературу, где изложен тензорный анализ достаточно полно, но не перегружен лишней строгостью (для инженеров, а не математиков).

"Для инженеров" лучше всего ЛЛ-2 (Ландау, Лифшиц "Теория поля"). Но там тот вариант записи, который вы, не разобравшись, назвали "скалярами". По сути, этот вариант записи (компонентный или индексный):
- в точности эквивалентен безындексному, то есть нет формул безындексных, которые нельзя написать с индексами (на самом деле, кажется, он даже мощнее, то есть наоборот, есть индексные формулы, которые написать без индексов по крайней мере затруднительно);
- на практике очень удобен;
- не обладает недостатками типа привязки к конкретной системе координат - общие формулы пишутся в абстрактных индексах, и сохраняют истинность в любой с. к.;
- используется гораздо чаще (в прикладных областях).

Имеете в виду "Теоретическая физика", Т2, "Теория поля"?
Понятно, что там используется тензорный анализ, но там в все же физика.

[Munin]

Там тензорный анализ объясняется безотносительно к физике.

Ну, есть ещё Анго "Математика для электро- и радиоинженеров".

[prof.uskov]

Munin в сообщении #856906 писал(а):

Там тензорный анализ объясняется безотносительно к физике.

Ну, есть ещё Анго "Математика для электро- и радиоинженеров".

Спасибо. Посмотрю. Анго у меня даже бумажный есть - наследство.

[Munin]

У меня тоже. У меня и Маделунг бумажный есть, и Морс-Фешбах. Но Маделунга не рекомендую - там буквы готические :-)

[prof.uskov]

Munin в сообщении #856501 писал(а):

Нету никаких "многомерных матриц", а есть тензоры. Познакомьтесь с этим понятием (это "многомерные матрицы" и есть, только намного тщательнее разработанные), и не несите чушь.

Munin в сообщении #856511 писал(а):

Специально для вас: это всё личный бред Соколова Н. П., а не классика!
Один неграмотный писатель написал про давно известный велосипед, под своим названием. Ну и помер бы в неизвестности. Но другой неграмотный читатель увидел, и начал воображать, что это классика...

Дабы разобраться полез в настольную книгу многих инженеров-электриков:
Крон Г. Тензорный анализ сетей http://www.twirpx.com/file/420545/
И что же видим, в начале описаны многомерные матрицы (называются n-матрицами). На стр. 93 приведено разложение в степенной ряд в матричной форме с индексными обозначениями (то что мне приводили выше, под названием тензорной формы). И только начиная со стр. 102 начинается ввод в рассмотрение тензорного метода анализа...

К слову сказать, да, встречал определение тензора, как произвольной многомерной прямоугольной таблицы (частный случай: скаляры, векторы и обычные матрицы) при использовании индексных обозначений... но мне такой подход не нравится, ибо в данном случае нет необходимости порождать новые сущности сверх необходимости... тензоры должны появится, когда вводится новый уровень анализа...

Xaositect в сообщении #856550 писал(а):

Я просто не понимаю, чего вам хочется.... $f(x) = f(x_0) + (\nabla f, x - x_0) + (x - x_0)^T H (x - x_0) + ... $, (*)
где $\nabla f = \dots$, $H = \dots$.

Понятно, что применение индексных обозначений позволяет записать ряд Тейлора в матричной (по вашему тензорной) форме по виду как для случая одной переменной, что очень красиво.
Но стандартные матричные операции (в матричном анализе) не предполагают использования индексной нотации. Произведение матрицы на вектор определяется исходя из представления системы линейных уравнений. Произведение 3-матрицы на 2-матрицу можно определить, рассматривая матричную запись совокупности систем линейных уравнений. Аналогично по индукции можно ввести операцию умножение для произвольных n-матриц. Я и хотел записать ряд Тейлора используя такие операции над матрицами (продолжение ряда (*))... но получается сложно (точнее громоздко) и , по всей видимости, такая запись не имеет преимуществ перед использованием индексных обозначений, здесь вы правы.

[Otta]

prof.uskov в сообщении #860903 писал(а):

Понятно, что применение индексных обозначений позволяет записать ряд Тейлора в матричной (по вашему тензорной) форме по виду как для случая одной переменной, что очень красиво.

Давайте я начну с другого конца.
Функция $f:U(a)\to\mathbb R^n$ называется дифференцируемой в точке $a\in\mathbb R^m$, если найдется линейный оператор $L:\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ такой, что
$f(x_0+h)-f(x_0)=L(h)+o(\|h\|)$, при $h\to 0$.

Этот оператор в многомерном случае, так же, как и в одномерном, обозначается $L=f'(x_0)$.

Как выглядит матрица этого оператора в стандартном базисе, всем известно. Это матрица Якоби. Но оператор инвариантен относительно выбора базиса, в отличие от его матрицы.

Итак, определение дифференцируемости равносильно разложению по формуле Тейлора до первого порядка:
$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)(h)+o(\|h\|)$, при $h\to 0$.

Видим, что никакая индексная запись пока не приложилась к этой записи. Индексной записи не может быть без выбора базиса.

Производная второго порядка определяется идентично. Оператор $f'(x)(h)$ рассматривается при фиксированном $h$ как функция от $x$, и стало быть, функция того же сорта, что и $f$, из $U(a)\to\mathbb R^n$. Тогда вторая производная - билинейная форма $f''(x_0)(h_1,h_2)$. И так далее. Тензорная запись хороша, в отличие от матричной, не компактностью, а независимостью от выбора системы координат, еще раз. Конечно, в большинстве приложений ее все равно выбирают, но это уже другой вопрос, и я его оставлю за скобками.

И как тут уже было написано, в итоге, при $x\to x_0$ формула Тейлора выглядит

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac 1 {2!}f''(x_0)(x-x_0,x-x_0)+\ldots +\frac 1{n!}f^{(n)}(x_0)(\underbrace{x-x_0,\ldots,x-x_0}_{n \text{ раз}})+o(\|(x-x_0)\|^n)$$

Тем самым, здесь $k$-е слагаемое - форма степени $k-1$. Компактность записи, еще раз - это не результат сворачивания по мультииндексам, это результат другого взгляда на вещи.

[prof.uskov]

Otta в сообщении #860913 писал(а):

И как тут уже было написано, в итоге, при $x\to x_0$ формула Тейлора выглядит

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac 1 {2!}f''(x_0)(x-x_0,x-x_0)+\ldots +\frac 1{n!}f^{(n)}(x_0)(\underbrace{x-x_0,\ldots,x-x_0}_{n \text{ раз}})+o(\|(x-x_0)^n\|)$$

Тем самым, здесь $k$-е слагаемое - форма степени $k-1$. Компактность записи, еще раз - это не результат сворачивания по мультииндексам, это результат другого взгляда на вещи.

То что написано выглядит как скалярная форма (функция от одной переменной). А как вы отличаете скалярные величины от векторных? Как определяете арифметические операции?
Вот хочу я вычислить линейное слагаемое

$$f'(x_0)(x-x_0),$$

$$f'(x_0)$$

- это вектор-градиент (или матрица Якоби, если в ряд разлагается векторная функция векторного аргумента),

$$(x-x_0)$$

- это тоже вектор?
При их умножении что получается скаляр или матрица n на n?
Квадратичное слагаемое:

$$\frac 1 {2!}f''(x_0)(x-x_0,x-x_0)$$

Правый сомножитель, через запятую в скобках, так обозначается скалярное произведение векторов! Но здесь явно не оно!

Короче, векторы должны обозначаться жирными буквами или стрелками сверху, матрицы большими жирными буквами, чтобы не путать со скалярами, если не указано обратное, все операции проводятся, как принято в матричном анализе (Гантмахер, Беллман, Хорн и Джонсон и др.), а так это получается "птичий язык", который мне абсолютно не понятен.

[ewert]

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

это вектор-градиент

Это ковектор.

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

- это тоже вектор?

Не тоже, а именно.

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

При их умножении что получается скаляр или матрица n на n?

Соответственно, получается в точности скаляр.

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

Правый сомножитель, через запятую в скобках, так обозначается скалярное произведение векторов!

Через запятую могут обозначаться очень разные вещи. В данном случае так обозначается значение билинейной формы на паре векторов (совпадающих).

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

Короче, векторы должны обозначаться жирными буквами или стрелками сверху, матрицы большими жирными буквами, чтобы не путать со скалярами,

А ходить все обязаны в галстуках, причём только зелёных, и обязательно строем.

[Otta]

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

То что написано выглядит как скалярная форма (функция от одной переменной).

Нет, это случай произвольной размерности. Необязательно функция скалярна.

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

Вот хочу я вычислить линейное слагаемое $f'(x_0)(x-x_0),$

Это значение линейного оператора $f'(x_0):\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ на приращении аргумента функции $f$ - $m$-мерном векторе $x-x_0$. Стало быть, это вектор из $\mathbb R^n$.

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

При их умножении что получается скаляр или матрица n на n?

Это не умножение, это именно действие оператора на вектор. Которое при переходе к матрицам может быть записано как матрица умножить на вектор. Но это расписывание через матрицы только прячет смысл.

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

$$\frac 1 {2!}f''(x_0)(x-x_0,x-x_0)$$

Правый сомножитель, через запятую в скобках, так обозначается скалярное произведение векторов! Но здесь явно не оно!

Да, здесь явно не оно. Билинейная форма имеет два аргумента, вот в скобках они и стоят. Форма степени два может быть получена из билинейной, если аргумент брать одинаковый.

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

а так это получается "птичий язык", который мне абсолютно не понятен.

Сожалею, но проблема в данном случае не во мне. :)
====
Но я так поняла, Вам просто это неинтересно. Вам интересно внедрить в жизнь многомерные матрицы (в Вашем случае некий аналог тензора). А я пытаюсь довести до Вас идею о том, что сама по себе многомерная матрица "хуже" тензора, ровно тем же, чем матрица "хуже" линейного оператора.

-- 09.05.2014, 22:04 --

Да, ewert, спасибо.

[prof.uskov]

ewert в сообщении #860955 писал(а):

Через запятую могут обозначаться очень разные вещи. В данном случае так обозначается значение билинейной формы на паре векторов (совпадающих).

А как я могу понять, что это квадратичная форма, а не один скаля - значение производной функции умноженный на другой скаля - скалярный квадрат вектора?

ewert в сообщении #860955 писал(а):

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

Короче, векторы должны обозначаться жирными буквами или стрелками сверху, матрицы большими жирными буквами, чтобы не путать со скалярами,

А ходить все обязаны в галстуках, причём только зелёных, и обязательно строем.

Ну если Вы не хотите, чтобы Вас понимали только представители одной с Вами научной школы, а кто-то еще, в частности инженеры...

ewert в сообщении #860955 писал(а):

Это ковектор.

И еще Вы сыпете терминами "ковектор", "оператор" и т.п. Ряд Тейлора, это очень простая вещь... как он записывается в скалярных обозначениях изучают на 1-м курсе технического вуза. Речь идет просто о более компактной его запись за счет использования удобных обозначений (векторов и матриц). Не нужно столько заумных терминов.

[Otta]

prof.uskov в сообщении #860979 писал(а):

Ряд Тейлора, это очень простая вещь... как он записывается в скалярных обозначениях изучают на 1-м курсе технического вуза.

Вот именно так я его первому курсу и рассказывала. Еще 10 лет назад.
Правда, вуз был не технический.

prof.uskov в сообщении #860979 писал(а):

Не нужно столько заумных терминов.

А техническому вузу и матриц многомерных не нужно.

[prof.uskov]

Otta в сообщении #860971 писал(а):

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

Вот хочу я вычислить линейное слагаемое $f'(x_0)(x-x_0),$

Это значение линейного оператора $f'(x_0):\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ на приращении аргумента функции $f$ - $m$-мерном векторе $x-x_0$. Стало быть, это вектор из $\mathbb R^n$.

prof.uskov в сообщении #860949 писал(а):

При их умножении что получается скаляр или матрица n на n?

Это не умножение, это именно действие оператора на вектор. Которое при переходе к матрицам может быть записано как матрица умножить на вектор. Но это расписывание через матрицы только прячет смысл.
====
Но я так поняла, Вам просто это неинтересно. Вам интересно внедрить в жизнь многомерные матрицы (в Вашем случае некий аналог тензора). А я пытаюсь довести до Вас идею о том, что сама по себе многомерная матрица "хуже" тензора, ровно тем же, чем матрица "хуже" линейного оператора.

Но это мне еще нужно догадаться, что это линейный оператор, а не умножение, кроме того, мне кажется, что линейных операторов с подобным обозначением может быть бесконечно много. Я хочу взять калькулятор и посчитать, а для этого все должно быть записано либо с использованием стандартных матричных операций, либо используя индексную запись матриц, со всякими там скользящими и немыми индексами...
====
Мне интересно. Я пытаюсь понять, но используемый Вами язык очень уж отличен от моего. Точнее даже не так, я просто не владею тем абстрактным языком, который используют профессиональные математики.