Ряд Тейлора в векторно-матричной форме

[prof.uskov]

arseniiv в сообщении #856492 писал(а):

prof.uskov в сообщении #856418 писал(а):

При записи многомерных матриц используются сечения - представление в виде совокупности обычных матриц, тоже достаточно наглядно

Имеется в виду такое: $A = \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 \end{bmatrix}$? Так оно плохо к произвольной размерности применяется. Явное использование индексов гораздо нагляднее.

Не, не такое, нужно еще матрицы правильно расставить и стрелками указать как изменяются индексы от матрицы к матрице. Посмотрите книгу Соколова.

-- 29.04.2014, 00:11 --

svv в сообщении #856487 писал(а):

Скачал книгу Соколова.
В первой главе только вводный параграф 1 общий, остальные посвящены детерминантам (не наша тема). Вторая глава целиком посвящена детерминантам — тоже пропускаем. Открываем начало третьей главы:

Цитата:

Рассматривая основные операции над многомерными матрицами ... будем определять их в зависимости от операций над ассоциированными с этими матрицами полилинейными формами, заданными над некоторым числовым полем $P$.
...
$F=\sum\limits^n_{i_1 i_2...i_p=1}A_{i_1 i_2...i_p}x_{i_1}^{(1)}x_{i_2}^{(2)}...x_{i_p}^{(p)}$

Где-то я это уже видел. Ведь

Цитата:

Полилинейной функцией, или тензором на $V$ типа $(p,q)$ называется линейная по каждому своему аргументу действительная функция ... от $q$ векторных и $p$ ковекторных аргументов.

(Алексеевский, Виноградов. Основные понятия и идеи дифференциальной геометрии.) Здесь дано чуть более общее определение. Набор $A_{i_1 i_2...i_p}$ — не что иное как набор компонент тензора. Сама функция, о которой идет речь, записывается в компонентах точно такой формулой.

И чем хрен слаще редьки? Меня сразу насторожило то, насколько старательно Соколов избегает понятия «тензор»!

Понятно, что матрицы - это всего лишь удобный обозначения, позволяющие значительно сократить объем выкладок, так что математически все будет эквивалентно... Можно вообще нигде матрицы не использовать, только формулы на ватмане А1 писать. Параграф 2, главы 3 Умножение многомерных матриц. На основе операции умножения мы можем "слепить" третье слагаемое - кубическую форму и все остальные слагаемые.

[Munin]

prof.uskov в сообщении #856354 писал(а):

По всей видимости, требуется использование многомерных матриц, в какой литературе это описано?

Нету никаких "многомерных матриц", а есть тензоры. Познакомьтесь с этим понятием (это "многомерные матрицы" и есть, только намного тщательнее разработанные), и не несите чушь.

[svv]

prof.uskov в сообщении #856494 писал(а):

Понятно, что матрицы - это всего лишь удобный [способ] обозначения, так что математически все будет эквивалентно...

Более удобный, чем тензорный? По-моему, только вывеска заменена.

-- Пн апр 28, 2014 23:15:37 --

Спасибо, Munin.

[prof.uskov]

Munin в сообщении #856501 писал(а):

prof.uskov в сообщении #856354 писал(а):

По всей видимости, требуется использование многомерных матриц, в какой литературе это описано?

Нету никаких "многомерных матриц", а есть тензоры. Познакомьтесь с этим понятием (это "многомерные матрицы" и есть, только намного тщательнее разработанные), и не несите чушь.

Специально для Вас, содержание предыдущих серий:
Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложения, 1960.
Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц, 1972.
http://www.twirpx.com/file/1100866/
Классику нужно знать

[Munin]

prof.uskov в сообщении #856508 писал(а):

Специально для Вас

Специально для вас: это всё личный бред Соколова Н. П., а не классика!

Один неграмотный писатель написал про давно известный велосипед, под своим названием. Ну и помер бы в неизвестности. Но другой неграмотный читатель увидел, и начал воображать, что это классика...

[prof.uskov]

Munin в сообщении #856511 писал(а):

prof.uskov в сообщении #856508 писал(а):

Специально для Вас

Специально для вас: это всё личный бред Соколова Н. П., а не классика!

Один неграмотный писатель написал про давно известный велосипед, под своим названием. Ну и помер бы в неизвестности. Но другой неграмотный читатель увидел, и начал воображать, что это классика...

Хорошо, та же постановка вопроса, что и была раньше, но называем многомерные матрицы тензорами (как сказал грамотный Munin), так решение есть?

[Munin]

Разумеется, есть, и хорошо известно. Вам его даже в явном виде выписали.

[prof.uskov]

Munin в сообщении #856521 писал(а):

Разумеется, есть, и хорошо известно. Вам его даже в явном виде выписали.

Вот, документик нашел http://sernam.ru/book_ot.php?id=56
тоже автор считает, что МНОГОМЕРНЫЕ МАТРИЦЫ И ТЕНЗОРЫ это несколько разные объекты.
Там внизу ряд Тейлора в тензорной форме.

Так как выглядит третье слагаемое ряда Тейлора? Его трехмерная матрица и кубическая форма, в матричном виде, а не скалярном? Не нужно здесь приводить чему равны отдельные компоненты!

[svv]

Вот цитата оттуда:

Цитата:

В тензорном анализе n-мерная матрица называется тензором ранга n, если выполнены некоторые условия, связанные с изменением элементов этой матрицы при замене системы координат. Например, выражение «тензор линейного преобразования» означает матрицу этого преобразования в соответствующей системе координат.

В рамках задач данного пособия не требуется преобразований различных координат, поэтому упомянутые условия выполнены и справедлива тензорная терминология.

[Munin]

Тензоры так и записывают, в виде "отдельных компонент". А как ещё вы хотели бы?

[Xaositect]

prof.uskov в сообщении #856516 писал(а):

Хорошо, та же постановка вопроса, что и была раньше, но называем многомерные матрицы тензорами (как сказал грамотный Munin), так решение есть?

Есть, и его Вам уже написали. $\frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k}$ - это (симметричный для хорошей функции) тензор валентности 3, обозначаете его как хотите, и умножаете на $\vec{x} - \vec{x}_0$ три раза и делите на 6. Если сильно хочется, то можно аккуратно определить дифференциальные операторы и их тензорное произведение и тогда этот тензор будет $(\nabla \otimes \nabla \otimes \nabla) f$

-- Вт апр 29, 2014 00:49:41 --

prof.uskov в сообщении #856524 писал(а):

Так как выглядит третье слагаемое ряда Тейлора? Его трехмерная матрица и кубическая форма, в матричном виде, а не скалярном? Не нужно здесь приводить чему равны отдельные компоненты!

А как выглядит гессиан, если не приводить его отдельные компоненты?

[prof.uskov]

svv в сообщении #856533 писал(а):

Вот цитата оттуда:

Цитата:

В тензорном анализе n-мерная матрица называется тензором ранга n, если выполнены некоторые условия, связанные с изменением элементов этой матрицы при замене системы координат. Например, выражение «тензор линейного преобразования» означает матрицу этого преобразования в соответствующей системе координат.

В рамках задач данного пособия не требуется преобразований различных координат, поэтому упомянутые условия выполнены и справедлива тензорная терминология.

Да, это понятно. Что названия эти практически синонимы. Здесь не об этом речь.
Я теперь понимаю, почему не прижились многомерные матрицы, многие считают, что многомерные матрицы ненаглядны и не дают преимуществ перед скалярной записью.

-- 29.04.2014, 00:54 --

Xaositect в сообщении #856538 писал(а):

prof.uskov в сообщении #856516 писал(а):

Хорошо, та же постановка вопроса, что и была раньше, но называем многомерные матрицы тензорами (как сказал грамотный Munin), так решение есть?

Есть, и его Вам уже написали. $\frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k}$ - это (симметричный для хорошей функции) тензор валентности 3, обозначаете его как хотите, и умножаете на $\vec{x} - \vec{x}_0$ три раза и делите на 24. Если сильно хочется, то можно аккуратно определить дифференциальные операторы и их тензорное произведение и тогда этот тензор будет $(\nabla \otimes \nabla \otimes \nabla) f$

Это вариант. Но мне хочется через определение произведения многомерных матриц, как оно определено у Соколова.

Xaositect в сообщении #856538 писал(а):

А как выглядит гессиан, если не приводить его отдельные компоненты?

Да так и выглядит, дифференцируем последовательно по каждой из компонент, производная второго порядка - получаем обычную матрицу, будет третьего - будет трехмерная матрица.

[Munin]

prof.uskov в сообщении #856541 писал(а):

Я теперь понимаю, почему не прижились многомерные матрицы, многие считают, что многомерные матрицы ненаглядны и не дают преимуществ перед скалярной записью.

Они прижились! Их все везде используют! С чего вы взяли, что запись в виде компонент - скалярная?

-- 29.04.2014 00:56:25 --

prof.uskov в сообщении #856541 писал(а):

Но мне хочется через определение произведения многомерных матриц, как оно определено у Соколова.

Если вам хочется, как у Соколова, то читайте Соколова. Но это ваш личный выбор - кататься на самодельном велосипеде, вместо фабричного.

[svv]

Кстати, тензорная запись — она же не обязательно в компонентах. Берем, например, тензор третьего ранга, записанный Xaositect. Рассматриваем его как скалярнозначную линейную функцию от трех векторов и берем значение этой функции на трех равных векторах $(x+h)-x=h$:
$((\nabla \otimes \nabla \otimes \nabla) f)(h,h,h)$
Получаем с точностью до коэффициента третье слагаемое (считая с нуля) в формуле Тейлора.

[Xaositect]

prof.uskov в сообщении #856541 писал(а):

Это вариант. Но мне хочется через определение произведения многомерных матриц, как оно определено у Соколова.

А как определить гессиан через произведение обычных матриц? Я просто не понимаю, чего вам хочется. Вот напишите для первых двух членов со всеми определениями, типа $f(x) = f(x_0) + (\nabla f, x - x_0) + (x - x_0)^T H (x - x_0) + o(||x - x_0||^2)$, где $\nabla f = \dots$, $H = \dots$.