Неравенство

[Whitaker]

Здравствуйте!

Пусть $x_i\in \mathbb{Z}$ и выполняются следующие условия: $x_i\geqslant 2$ и $x_i>x_{i-1}^2-x_{i-1}$. Доказать, что

$$\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{x_i}<1.$$

Пробовал по индукции и другие способы, но ни один из них не подходит.
Помогите пожалуйста.

[nnosipov]

Была такая задачка в далёком 1985 году на турнире городов, но, правда, в других обозначениях. Можно считать, что $x_1=2$ и $x_i=x_{i-1}^2-x_{i-1}+1$. Пусть $x_i=y_i+1$. Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$. Сумму

$$ \sum_{i=1}^k \frac{1}{y_i+1} $$

можно найти телескопическим методом.

[Whitaker]

nnosipov
К моему стыду, но я не знаю что такое телескопический метод

[nnosipov]

Ну, это такой способ, которым обычно считают сумму

$$ \sum_{i=1}^k \frac{1}{i(i+1)}. $$

[Sonic86]

Кроме того, сумму можно благополучно заменить на ряд с изменением $<$ на $\leqslant$. Хотя это ненужно.

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855834 писал(а):

Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$.

Круто, я рекуррентное соотношение найти не могу, а доказать - могу

Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #855871 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855834 писал(а):

Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$.

Круто, я рекуррентное соотношение найти не могу, а доказать - могу

(Оффтоп)

Не понял юмора. Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855873 писал(а):

Не понял юмора.

Увы, это не юмор.

nnosipov в сообщении #855873 писал(а):

Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.

Был такой вариант. Я его просто не добил. Я просто вычислил несколько частичных сумм, потом сформулировал очевидную гипотезу о значении суммы, выраженную через $x_k$, а потом доказал ее индуктивно. А чему равно $x_k$ не узнал Ну ща найду...

-- Вс апр 27, 2014 15:45:10 --

nnosipov в сообщении #855873 писал(а):

Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.

Получил $y_{i+1}=y_i(y_i+1)$. И что дальше? дайте еще подсказку.

upd: A007018
офигеть...

исковерканное цитато писал(а):

$y_i=||\theta^{2^i}-1/2||, \theta \approx 1.597910218$

[Whitaker]

Ну вот после подстановки у меня получилось $y_i=y_{i-1}(y_{i-1}+1)$. А как вычислить сумму $\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{y_i+1}$ я что-то до сих пор не понял ...

-- Вс апр 27, 2014 20:02:11 --

Sonic86 в сообщении #855871 писал(а):

Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.

Посчитал и что-то ничего не увидел.

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #855949 писал(а):

Sonic86 писал(а):

Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.

Посчитал и что-то ничего не увидел.

Если $S_n$ - частичная сумма, то $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=1$, потому интересны $1-S_n$ - вычислите их.

[Whitaker]

Почему это $S_n\to 1$? Извините, но для меня это как-то не так очевидно. А зачем мне разность $1-S_n$? Честно говоря, что-то смысл я немного не понимаю...

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #855972 писал(а):

Почему это $S_n\to 1$? Извините, но для меня это как-то не так очевидно.

А! Ну так до этого надо сначала тоже дойти
О! А я ведь этого сам не доказал Блин... Т.е. я его просто вычислил на калькуляторе, и смотрю - $=1$.
Не, вру: я его доказал, но доказывается он вместе с неравенством, точнее, этот предел - следствие доказываемого неравенства.

Whitaker в сообщении #855972 писал(а):

А зачем мне разность $1-S_n$?

Чтобы Вы увидели закономерность.

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #855979 писал(а):

....я его доказал, но доказывается он вместе с неравенством, точнее, этот предел - следствие доказываемого неравенства.

Можно об этом чуть подробней? Уже никаких мыслей. Второй день думаю, но безрезультатно.

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #855949 писал(а):

Ну вот после подстановки у меня получилось $y_i=y_{i-1}(y_{i-1}+1)$. А как вычислить сумму $\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{y_i+1}$ я что-то до сих пор не понял ...

Имеем

$$ \frac{1}{y_i+1}=\frac{1}{y_i}-\frac{1}{y_{i+1}}. $$

(Это равносильно рекуррентному соотношению.)

[Whitaker]

nnosipov
Спасибо большое за помощь!
Очень красивый метод. Ваши подсказки как всегда ценные и четкие