2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство
Сообщение27.04.2014, 16:43 
Аватара пользователя
Здравствуйте!

Пусть $x_i\in \mathbb{Z}$ и выполняются следующие условия: $x_i\geqslant 2$ и $x_i>x_{i-1}^2-x_{i-1}$. Доказать, что $$\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{x_i}<1.$$ Пробовал по индукции и другие способы, но ни один из них не подходит.
Помогите пожалуйста.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 17:14 
Была такая задачка в далёком 1985 году на турнире городов, но, правда, в других обозначениях. Можно считать, что $x_1=2$ и $x_i=x_{i-1}^2-x_{i-1}+1$. Пусть $x_i=y_i+1$. Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$. Сумму
$$
\sum_{i=1}^k \frac{1}{y_i+1}
$$
можно найти телескопическим методом.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 17:44 
Аватара пользователя
nnosipov
К моему стыду, но я не знаю что такое телескопический метод :facepalm:

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 17:46 
Ну, это такой способ, которым обычно считают сумму
$$
\sum_{i=1}^k \frac{1}{i(i+1)}.
$$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 17:59 
Кроме того, сумму можно благополучно заменить на ряд с изменением $<$ на $\leqslant$. Хотя это ненужно.

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855834 писал(а):
Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$.
Круто, я рекуррентное соотношение найти не могу, а доказать - могу :facepalm:

Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 18:03 
Sonic86 в сообщении #855871 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855834 писал(а):
Составьте рекуррентное соотношение для $y_i$.
Круто, я рекуррентное соотношение найти не могу, а доказать - могу :facepalm:

(Оффтоп)

Не понял юмора. Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 18:06 

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #855873 писал(а):
Не понял юмора.
Увы, это не юмор. :facepalm:
nnosipov в сообщении #855873 писал(а):
Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.
Был такой вариант. Я его просто не добил. Я просто вычислил несколько частичных сумм, потом сформулировал очевидную гипотезу о значении суммы, выраженную через $x_k$, а потом доказал ее индуктивно. А чему равно $x_k$ не узнал :-( Ну ща найду...


-- Вс апр 27, 2014 15:45:10 --

nnosipov в сообщении #855873 писал(а):
Подставьте $x_i=y_i+1$ в рекуррентное соотношение для $x_i$.

Получил $y_{i+1}=y_i(y_i+1)$. И что дальше? дайте еще подсказку.

upd: A007018
офигеть...
исковерканное цитато писал(а):
$y_i=||\theta^{2^i}-1/2||, \theta \approx 1.597910218$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 19:47 
Аватара пользователя
Ну вот после подстановки у меня получилось $y_i=y_{i-1}(y_{i-1}+1)$. А как вычислить сумму $\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{y_i+1}$ я что-то до сих пор не понял ...

-- Вс апр 27, 2014 20:02:11 --

Sonic86 в сообщении #855871 писал(а):
Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.
Посчитал и что-то ничего не увидел.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:18 
Whitaker в сообщении #855949 писал(а):
Sonic86 писал(а):
Можете вычислить несколько частичных сумм и все увидите.
Посчитал и что-то ничего не увидел.
Если $S_n$ - частичная сумма, то $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=1$, потому интересны $1-S_n$ - вычислите их.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:26 
Аватара пользователя
Почему это $S_n\to 1$? Извините, но для меня это как-то не так очевидно. А зачем мне разность $1-S_n$? Честно говоря, что-то смысл я немного не понимаю...

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:38 
Whitaker в сообщении #855972 писал(а):
Почему это $S_n\to 1$? Извините, но для меня это как-то не так очевидно.
А! Ну так до этого надо сначала тоже дойти :-)
О! А я ведь этого сам не доказал :shock: Блин... :| Т.е. я его просто вычислил на калькуляторе, и смотрю - $=1$.
Не, вру: я его доказал, но доказывается он вместе с неравенством, точнее, этот предел - следствие доказываемого неравенства.

Whitaker в сообщении #855972 писал(а):
А зачем мне разность $1-S_n$?
Чтобы Вы увидели закономерность.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:49 
Аватара пользователя
Sonic86 в сообщении #855979 писал(а):
....я его доказал, но доказывается он вместе с неравенством, точнее, этот предел - следствие доказываемого неравенства.
Можно об этом чуть подробней? Уже никаких мыслей. Второй день думаю, но безрезультатно.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 20:59 
Whitaker в сообщении #855949 писал(а):
Ну вот после подстановки у меня получилось $y_i=y_{i-1}(y_{i-1}+1)$. А как вычислить сумму $\sum \limits_{i=1}^{k}\dfrac{1}{y_i+1}$ я что-то до сих пор не понял ...
Имеем
$$
\frac{1}{y_i+1}=\frac{1}{y_i}-\frac{1}{y_{i+1}}.
$$
(Это равносильно рекуррентному соотношению.)

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение27.04.2014, 21:09 
Аватара пользователя
nnosipov
Спасибо большое за помощь!
Очень красивый метод. Ваши подсказки как всегда ценные и четкие :wink:

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group