Овчинкин, кинематика

[fronnya]

Сборник под редакцией Овчинкина, кинематика, задачка 1.4 издания неизвестно какого года. Не суть, в общем.Минометная батарея расположена у подножья горы с наклоном к горизонту 45°. Под каким углом $\alpha$ к горизонту надо установить ствол орудия, чтобы мина достигла склона на максимальной высоте? Сопротивление воздуха не учитывать.
Прежде всего я совмещаю "пушку" с началом координат, а потом записываю уравнения:

$$y=\upsilon_0 \sin\alpha t-\frac {gt^2} {2} .$$

И для оси ОХ:

$$x=\upsilon_0 \cos\alpha t .$$

Далее ищу максимум первой функции дифференцируя по времени и приравнивая к нулю:

$$\dot{y}=\upsilon_0 \sin\alpha-gt$$ $$\upsilon_0 \sin\alpha-gt=0 .$$

Откуда $t=\frac {\upsilon_0\sin\alpha}{g}.$
Это время и будет временем подъема на максимальную высоту, по-этому я его заливаю в первые два уравнения, чтобы узнать, какая же все таки это высота и расстояние это этой точки. Таким образом, $x$ это теперь $L$, а $y- H$, откуда, окончательно, следует:

$$H= \frac {\upsilon_0 ^2\sin^2\alpha}{2g} .$$

Теперь подставляю время в $x$ и окончательно получаю для $x$, теперь уже равному $L$:

$$L=\frac {\upsilon_0^2 \cos\alpha \sin\alpha} {g} .$$

Теперь, если я разделю $H$ на $L$, то я получу тангенс угла наклона самой горы:

$$\frac {H} {L}=\tg\varphi=\frac {\upsilon_0^2 \sin^2\alpha\cdot g} {2g\upsilon_0^2\cos\alpha\sin\alpha}=\frac {\tg\alpha}{2} .$$

Откуда

$$2\tg\varphi=\tg\alpha .$$

А так как $\varphi=45^{\circ}$, то $\tg\alpla=2$ и $\alpha=\arctg2\approx 63,7^{\circ}$.

Но в ответе к задаче $\alpha= \frac {3\pi}{8}$, что соответствует углу $67,5^{\circ}$. Где я допустил ошибку?

[ewert]

fronnya в сообщении #855705 писал(а):

Далее ищу максимум первой функции дифференцируя по времени и приравнивая к нулю

А где у Вас уравнение горы?...

[fronnya]

ewert в сообщении #855706 писал(а):

fronnya в сообщении #855705 писал(а):

Далее ищу максимум первой функции дифференцируя по времени и приравнивая к нулю

А где у Вас уравнение горы?...

Вы имеете в виду $\frac {y} {x}=\tg\varphi$? Или что? Я не совсем понимаю.

-- 27.04.2014, 11:49 --

ewert в сообщении #855706 писал(а):

fronnya в сообщении #855705 писал(а):

Далее ищу максимум первой функции дифференцируя по времени и приравнивая к нулю

А где у Вас уравнение горы?...

Упс, каюсь, я там попутал местами некоторые строчки, из-за чего было не совсем понятно, что я делаю, исправил.

[iifat]

ewert, имхо, пытается намекнуть, что для определения максимальной высоты точки на склоне неплохо б начать с определения координат оной точки. Точка максимального возвышения имеет достаточно опосредованное отношение к решаемому вопросу.

[fronnya]

iifat в сообщении #855712 писал(а):

ewert, имхо, пытается намекнуть, что для определения максимальной высоты точки на склоне неплохо б начать с определения координат оной точки. Точка максимального возвышения имеет достаточно опосредованное отношение к решаемому вопросу.

Погодите-ка, а я разве не определил их? $(L,H)$. Разве это не показывает, на какой высоте и на каком расстоянии находится эта точка от начала координат?

[Nemiroff]

Вы сперва что-то максимизируете, а потом что-то приравниваете. А надо наоборот.

[ewert]

fronnya в сообщении #855716 писал(а):

а я разве не определил их? $(L,H)$.

Вы слишком поздно их определили. Максимум первой функции нужен не самой по себе, а при определённом условии -- при условии, что всё это случится на склоне. И это условие необходимо учитывать с самого начала.

[fronnya]

ewert в сообщении #855721 писал(а):

fronnya в сообщении #855716 писал(а):

а я разве не определил их? $(L,H)$.

Вы слишком поздно их определили. Максимум первой функции нужен не самой по себе, а при определённом условии -- при условии, что всё это случится на склоне.

Вы имеете в виду, что скорость должна быть равна нулю?

[iifat]

Мы все имеем в виду ровным счётом то, что вам надо начать с определения координат точки падения мины. А потом уж пытаться максимизировать. То, что определили вы — это не координаты такой точки, что видно хотя бы уже по тому, что крутизна склона никак не задействована, а от неё таки положение точки зависит. Попробуйте нарисовать.

[fronnya]

iifat в сообщении #855727 писал(а):

Мы все имеем в виду ровным счётом то, что вам надо начать с определения координат точки падения мины. А потом уж пытаться максимизировать. То, что определили вы — это не координаты такой точки, что видно хотя бы уже по тому, что крутизна склона никак не задействована, а от неё таки положение точки зависит. Попробуйте нарисовать.

я рисовал, получалось что-то вроде

[iifat]

А почему у вас основание горизонтальное? В задаче речь о склоне.

[fronnya]

iifat в сообщении #855742 писал(а):

А почему у вас основание горизонтальное? В задаче речь о склоне.

если вам не сложно, можете нарисовать и прислать сюда, пожалуйста ?

[Skeptic]

Избавиться от параметра $t$, получив $y=f(x,\alpha)$.
Повернуть оси на угол склона.
Для $f(x,\alpha)=0$ найти $\alpha$, дающий максимум $ x$

[fronnya]

Skeptic в сообщении #855746 писал(а):

Избавиться от параметра $t$, получив $y=f(x,\alpha)$.
Повернуть оси на угол склона.
Для $f(x,\alpha)=0$ найти $\alpha$, дающий максимум $ x$

там там же в зависимости нарисовывается ещё и начальная скорость, что делать?

[iifat]

fronnya в сообщении #855755 писал(а):

ещё и начальная скорость, что делать?

Уповать на то, что полученный в реультате угол зависеть от неё не будет.

fronnya в сообщении #855744 писал(а):

можете нарисовать и прислать сюда, пожалуйста?

Сложно. Придётся начинать с установки графического редактора. Попробуйте сами. Во-первых, вы таки упорно не желаете читать условие своей задачи:

fronnya в сообщении #855705 писал(а):

мина достигла склона

Понимаете, что это означает? Речь идёт о точке падения, которую вы вообще не нарисовали!
Во-вторых, миномёт

fronnya в сообщении #855705 писал(а):

у подножья горы с наклоном к горизонту 45°

Нарисуйте от вашего центра координат прямую $y=x$ — это будет склон.