Значения спиральности для безмассовой частицы

[Name XXX]

Есть оператор спиральности $\hat {h} = \frac{(\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf p})}{|\mathbf p|}$. В массивном случае для представления спина $s$ он имеет $2s + 1$ значений. В безмассовом случае одно представление может иметь одно либо два значения спиральности - $s, -s$. Это эквивалентно утверждению, что в данном случае оператор Любанского-Паули $\hat {W}^{\mu}$, являющийся 4-вектором спина, пропорционален оператору импульса $\hat {P}^{\mu}$ с коэффициентом $\lambda$, являющимся собственным значением оператора спиральности.

Вопрос: как совершить предельный переход от массивного случая к безмассовому, показав, что из всех возможных значений спиральности для массивного случая остаются лишь $\lambda = \pm s$? Можно ли назвать это проявлением аберрационного эффекта в СТО?

[type2b]

я бы сказал, что в безмассовом пределе у массивной частицы с состояниями $-j,\dots,j$ и остаются все эти состояния $-j,\dots,j$. Степени свободы никуда не деваются. Просто вы рассматриваете преобразования волновой функции относительно меньшей малой группы $SO(2)\subset SO(3)$, и представление становится приводимым, т.е. можно его рассматривать, как состояния $j+1$ разных безмассовых частиц.

Пример: в эффекте Хиггса скалярный голдстоун съедается, и становится третьей поляризацией калибровочного поля, которое приобретает массу.

[fizeg]

Я здесь уже писал по-моему не раз, что массовые члены по сути дела играют роль взаимодействия, смешивающего разные спиральные компоненты. В пределе нулевой массы компоненты расщепляются, но как правильно заметил type2b никуда не деваются.

Если у вас взаимодействие хорошее, то лишние спиральные компоненты отщепятся от всех интересующих полей и на них можно будет плюнуть. Если же с взаимодействием не повезет, у вас получится, что массивная теория безмассовую в пределе не воспроизводит. Знаменитый пример - массивная гравитация, в которой по крайней мере пертурбативно есть vDVZ разрывность, а именно в пределе нулевой массы кроме желаемого гравитона не отщепляется еще и скаляр.

[Name XXX]

type2b, fizeg,
забыл написать про ограничение. Я рассматриваю неприводимые представления группы Пуанкаре спина $s$, то есть, свободные релятивистские поля. Соответственно этому безмассовые представления характеризуются числом $\lambda$, которое задает пропорциональность вектора Любанского-Паули и импульса.
Это число может принимать лишь одно значение без дополнительных предположений. Так строится неприводимое представление. Массовые члены в уравнениях всюду одинаковые.
Мой вопрос теперь состоит в том, можно ли утверждать, что для поля произвольного спина ультрарелятивистский предел вектора спина занулит все компоненты, кроме той, что направлена по импульсу (или против).

[Munin]

type2b, fizeg
Я читал про такое рассуждение: если взять массивную частицу в каком-то спиральном состоянии, и начать её бустить сильно-сильно, то по мере того, как она будет "ложиться" на световой конус, её составляющие по модулю $<j$ будут "перетекать" в крайние, и зануляться. В пределе как раз останутся только два: $-j,j.$ Как это соотносится с тем, что вы сказали?

[Name XXX]

Munin,
а можете, пожалуйста, описать это выкладками или указать источник? Для частных случаев типа дираковской частицы я доказал утверждение, а вот для общего не могу, так как надо строить средние значения, а для них надо знать нормированные функции, которые в общем случае искать громоздко.

[Munin]

А вот я не уверен сам, что читал именно в общем случае. И описать выкладками не могу.

[Nirowulf]

Munin писал(а):

Я читал про такое рассуждение: если взять массивную частицу в каком-то спиральном состоянии, и начать её бустить сильно-сильно, то по мере того, как она будет "ложиться" на световой конус, её составляющие по модулю $<j$ будут "перетекать" в крайние, и зануляться. В пределе как раз останутся только два: $-j,j.$

Нечто похожее есть в Пескине-Шредере, часть 1, глава 3, пункт 3.3 "Решения уравнения Дирака для свободных частиц". Конкретно формулы $(3.52), (3.53)$ и $(3.54).$ Но это только для дираковских частиц, в общем случае это рассуждение я тоже не знаю.

[fizeg]

Возвращаясь к одному из старых баранов...

Во-первых, это мое утверждение

fizeg в сообщении #852872 писал(а):

что массовые члены по сути дела играют роль взаимодействия, смешивающего разные спиральные компоненты

Лучше забыть Это связано со сказанной некогда мной правдой, но все-таки вранье

Munin в сообщении #853049 писал(а):

type2b, fizeg
Я читал про такое рассуждение: если взять массивную частицу в каком-то спиральном состоянии, и начать её бустить сильно-сильно, то по мере того, как она будет "ложиться" на световой конус, её составляющие по модулю $<j$ будут "перетекать" в крайние, и зануляться. В пределе как раз останутся только два: $-j,j.$ Как это соотносится с тем, что вы сказали?

Соотносится это так. Если вы посмотрите например на продольную компоненту массивного фотона, то в пределе $m\rightarrow 0$ в зависимости от нормировки она может уйти в ноль (аналогично неправильным киральным компонентам спинора в упомянутом отрывке П-Ш), а может в $e^\mu=(1,0,0,1)$.
Чтобы понять насколько эта нормировка важна, вы должны посмотреть на наблюдаемые массивной теории - матрицу рассеяния например, и взять безмассовый предел уже для них. Так вот, для массивного вектора получается (это точно есть в 1м томе Вайнберга в параграфе "Причинные векторные поля"), что сечение рождения продольной компоненты уходит в пределе нулевой массы вообще говоря в бесконечность. Это можно полностью устранить и получить электродинамику, если потребовать сохранения заряда $k_\mu J^\mu=0$. Такой ток просто отщепляется от продольной компоненты, она становится ненаблюдаемой, и получается калибровочная инвариантность.

Со спином 2 получается хитрее. Там есть одна из продольных поляризаций такого вида
$h^{\mu\nu}\sim \frac{k^\mu k^\nu}{m^2}+\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
Первое слагаемое так же неприятно в безмассовом пределе. Однако если ваш массивный гравитон цепляется через тензор энергии-импульса, для которого верно $k_\mu T^{\mu\nu}=0$, то первое слагаемое не дает вклада.
Проблема состоит в том, что второе слагаемое вклад все равно дает. Он конечный, но все равно ведет к катастрофическим отклонениям от ОТО и наблюдений.

[Munin]

Одной кинематикой, стало быть, не обойтись. Обидно. Спасибо.