Модель электрического заряда

[Munin]

evgeniy в сообщении #852674 писал(а):

Когда я стал использовать комплексные числа для решения дифференциальных уравнений, они получились как решение нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности как комплексные положения равновесия. Какая задача приводит к определению в виде решения кватернионы.

Другие дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.

[arseniiv]

Time в сообщении #852624 писал(а):

Куда же тогда вы относите алгебры кватернионов или антикватернионов? Ведь у них целых три мнимых единицы?
Считаете их не алгебрами Клиффорда? Вы уж определитесь как ни будь..

Алгебра кватернионов, несомненно, является алгеброй Клиффорда, и я нигде не утверждал обратного.

[Time]

arseniiv в сообщении #852787 писал(а):

Алгебра кватернионов, несомненно, является алгеброй Клиффорда, и я нигде не утверждал обратного.

Уже легче.
Остается узнать Ваше мнение на счет алгебры четверных чисел, являющейся прямой суммой четырех вещественных алгебр: $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$. У нее квадрат каждой из трех мнимых единиц, включая и действительную единицу, равны +1. Однако взаимно сопряженных чисел не два, как обычно у алгебр с квадратичной формой, а четыре. И произведение этой четверки сопряженных всегда является действительным числом, называется модулем четверного числа в четвертой степени и связано с формой четвертой степени от компонент. Будете утверждать, что это так же алгебра Клиффорда?

[arseniiv]

Не буду, в ней умножение коммутативно, когда алгебра Клиффорда над $\mathbb R$ размерности 4 изоморфна или $\mathbb H$, или $M_2\mathbb R$.

-- Вт апр 22, 2014 03:02:43 --

Time в сообщении #852802 писал(а):

И произведение этой четверки сопряженных всегда является действительным числом, называется модулем четверного числа в четвертой степени и связано с формой четвертой степени от компонент.

Кошмар! Нет, правда.

[Time]

arseniiv в сообщении #852814 писал(а):

Кошмар! Нет, правда.

Чем это кошмарнее аналогичного для двойных или комплексных чисел: произведение пары сопряженных всегда является действительным числом, называется квадратом модуля и связано с квадратичной формой от компонент?

[arseniiv]

Сопряжение-инволюция как-то не так кошмарно. Три сопряжения, насколько кажется, одновременно инволюциями быть не могут.

-- Вт апр 22, 2014 03:18:53 --

Ой, могут.

-- Вт апр 22, 2014 03:20:20 --

В общем, это кошмар независимо от инволютивности сопряжений, так что придётся без объяснений, раз другие пока не придумались. Не всему есть объяснение.

[Time]

arseniiv в сообщении #852820 писал(а):

Ой, могут.

А я уж было собрался привести пример трех сопряженных в алгебре тройных чисел.. Может привести?

arseniiv в сообщении #852820 писал(а):

В общем, это кошмар независимо от инволютивности сопряжений, так что придётся без объяснений, раз другие пока не придумались. Не всему есть объяснение.

Не знаю.. На мой взгляд, дело привычки.. Если позаниматься четверными числами хоть в половину того, что занимаются обычно комплексными, возможно, после этого кошмарной показалась бы алгебра кватернионов. Которая многим кажется вполне себе красивой.

[evgeniy]

Вообще то не достаточно, какие уравнения получаются в результате использования этого Лагранжиана, почему их решение представляется в виде потенциала e/r и где аналогия между источниками и зарядами, одинаковые ли получаются уравнения. Или укажите ссылку в интернете, в которой получаются эти уравнения и каково их решение и где аналогия. В общем распишите во всех деталях Вашу аналогию, может быть и для вас что-то прояснится. Вопрос, эта аналогия качественная или количественная?

-- Вт апр 22, 2014 09:39:52 --

Munin в сообщении #852705 писал(а):

evgeniy в сообщении #852674
писал(а):
Когда я стал использовать комплексные числа для решения дифференциальных уравнений, они получились как решение нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности как комплексные положения равновесия. Какая задача приводит к определению в виде решения кватернионы.
Другие дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.

Приведите пожалуйста пример, чтобы решением нелинейного дифференциального уравнения были кватернионы. Можно использовать положения равновесия.

[Time]

evgeniy в сообщении #852871 писал(а):

Приведите пожалуйста пример, чтобы решением нелинейного дифференциального уравнения были кватернионы. Можно использовать положения равновесия.

Ничего он не приведет. Как часто бывало, пальцы топырит и щеки надувает..
Над кватернионами, в отличие от комплексных и кое каких других коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных чисел, нет естественным образом выстраиваемого анализа. Или другими словами, нет аналитических функций (кроме дробно-линейных) и нет понятия полной производной. Максимум, где можно получить кватернион в качестве решения, это корни дробно-линейного уравнения. То есть, рассматривая преобразования, обратные к 15-ти параметрической группе конформных преобразований четырехмерного евклидова пространства.
Если хотите, можете подождать ответа от Munin, но вряд ли он будет содержательным..

[lek]

evgeniy в сообщении #852871 писал(а):

Приведите пожалуйста пример, чтобы решением нелинейного дифференциального уравнения были кватернионы.

Известные инстантонные решения классических уравнений Янга-Миллса (одноинстантонное решение Белавина-Полякова-Шварца-Тюпкина и мультиинстантонное решение Атьи-Дринфельда-Хитчина-Манина). В кватернионной форме эти решения изложены в книге Постникова "Лекции по геометрии. Семестр 4: Дифференциальная геометрия" (см. конец 21-й лекции и дополнение). Скачать можно здесь.

[Time]

lek
Там используются не кватернионы, а бикватернионы (или комплексные кватернионы). Для пространства последних уже не справедлива теорема Лиувилля об ограничении пространств с квадратичной формой при n>2 конформными преобразованиями, которые связываются исключительно с дробно-линейными функциями и, соответственно, имеется возможность для построения обобщения аналитических функций комплексной переменной и введения понятия производной. В частности, этим занимался В.В.Кассандров. Вопрос задавался про вещественные кватернионы. Примеры, когда работают именно вещественные кватернионы и функции от них - можно привести?

[lek]

Time в сообщении #852906 писал(а):

Там используются не кватернионы, а бикватернионы (или комплексные кватернионы).

Нет (см. ссылку выше). Обратите внимание, что в лекции 21 исследуются исключительно $SU(2)$-связности на пространстве $\mathbb{R}^{4}$ (так и должно быть, поскольку речь идет о евклидовой теории Янга-Миллса). Потенциал, дающий решение, определен и принимает значения в $\mathbb{R}^{4}$. Ни о каких комплексных пространствах или бикватернионах и речи нет.

[Time]

lek в сообщении #852913 писал(а):

Нет (см. ссылку выше). Обратите внимание, что в лекции 21 исследуются исключительно $SU(2)$-связности на пространстве $\mathbb{R}^{4}$ (так и должно быть, поскольку речь идет о евклидовой теории Янга-Миллса). Потенциал, дающий решение, определен и принимает значения в $\mathbb{R}^{4}$. Ни о каких комплексных пространствах или бикватернионах и речи нет.

Если вычисления ограничены пространством именно кватернионов, значит, речь может идти только о линейных или, максимум, дробно-линейных уравнениях. Когда смотрел по Вашей ссылке, примеров других не линейных уравнений для вещественных кватернионов я не заметил. Если плохо смотрел, прошу привести хоть одно уравнение в кватернионах, не сводящееся к дробно-линейной функции. Желательно здесь и в явном виде.

[evgeniy]

Time в сообщении #852878 писал(а):

Или другими словами, нет аналитических функций (кроме дробно-линейных) и нет понятия полной производной. Максимум, где можно получить кватернион в качестве решения, это корни дробно-линейного уравнения.

Проясните пожалуйста как из дробно-линейного преобразования получить корень кватернион. По видимому надо задавать параметры дробно-линейного преобразования в виде кватерниона. Дело в том, что понятие мнимого числа возникает как операция извлечения корня из мнимой единицы, т.е. из свойств действительных чисел. Можно ли получить кватернионы как корни дробно-линейной функции из свойств действительных или комплексных чисел.

[Time]

evgeniy в сообщении #852937 писал(а):

Проясните пожалуйста как из дробно-линейного преобразования получить корень кватернион. По видимому надо задавать параметры дробно-линейного преобразования в виде кватерниона. Дело в том, что понятие мнимого числа возникает как операция извлечения корня из мнимой единицы, т.е. из свойств действительных чисел. Можно ли получить кватернионы как корни дробно-линейной функции из свойств действительных или комплексных чисел.

Я не бог весть какой специалист по кватернионам (для меня гораздо интереснее коммутативно-ассоциативная алгебра т.н. четверных чисел, являющихся естественным четырехмерным расширением алгебры двойных чисел), поэтому к моим ответам прошу относиться с определенной долей осторожности. Мне кватернионы известны достаточно поверхностно и лишь потому, что издали они немного похожи на четверные числа. При этом за теми и другими стоят совершенно различные по своим метрическим функциям четырехмерные пространства.
Кватернион можно получить из дробно-линейной функции не как корень, а как решение, если коэффициентами соответствующего уравнения являются так же кватернионы. При этом сами кватернионные коэффициенты играют роль операторов преобразований четырехмерного евклидова пространства, которые включают в себя переносы, вращения и инверсии относительно сфер. То есть, все те преобразования, которые только и являются конформными в четырехмерном евклидовом пространстве, соответствующем алгебре кватернионов (это следует из теоремы Лиувилля). Ни квадратичной функции, ни обратной к ней функции квадратного корня (не говоря уже о более сложных элементарных функциях кватернионной переменной) как неких обобщений аналогичных функций комплексной переменной над телом кватернионов определить не возможно. На сколько я помню, если попытаться (через нельзя) формально написать функцию квадратного корня из единичного по модулю кватерниона, то корней у соответствующего уравнения оказывается бесконечное количество. Уже одно это говорит о проблемах построения нормального анализа над кватернионами. Попытки разобраться с этими проблемами кватернионов, в свое время, предпринимал их изобретатель Гамильтон, но ни ему, ни кому то до сих пор, на сколько мне известно, непротиворечивым и фундаментальным образом сделать этого не удалось. Причиной столь печального отличия кватернионов от алгебры комплексных чисел (и некоторых других коммутативно-ассоциативных алгебр гиперкомплексных чисел), на мой взгляд, лежит именно в бедности конформных преобразований четырехмерного евклидова пространства. Обратите внимание, что у комплексных чисел (и некоторых других гиперкомплексных чисел) множество конформных преобразований бесконечно-параметрическое и для каждого такого преобразования из данного множества, можно указать соответствующую аналитическую функцию. То есть, конформные преобразования и аналитические функции - тесно взаимосвязаны.
Кое что из обычного анализа получается на комплексном расширении кватернионов (на бикватернионах), но это совсем другая история и тут вопросы лучше задавать специалистам в данной алгебре.
Я же мог бы попробовать ответить на аналогичные вопросы в отношении двойных или четверных чисел, но они, похоже, Вас не интересуют..