Воздействие на квантовозапутанную систему

[B@R5uk]

Если есть система из двух, допустим, электронов с квантовосвязанными спинами, и состояние этой системы $a \lvert\uparrow\uparrow\rangle + b \lvert\uparrow\uparrow\rangle + c \lvert\downarrow\uparrow\rangle + d \lvert\downarrow\downarrow\rangle$ . Если я узнаю не разрушая этой системы спин первого электрона, то какова вероятность, что он будет спин вверх? И каково будет состояние всей системы в каждом из двух возможных исходов? Как это вообще рассчитывается?

[Munin]

B@R5uk в сообщении #850894 писал(а):

Если я узнаю не разрушая этой системы спин первого электрона

А это как?

[B@R5uk]

В первом посте имелось в виду $a\lvert\uparrow\uparrow\rangle+b\lvert\uparrow\downarrow\rangle+c\lvert\downarrow\uparrow\rangle+d\lvert\downarrow\downarrow\rangle$. Спасибо доброму человеку за подсказку.

Munin в сообщении #850915 писал(а):

А это как?

Не важно. Это модельный вопрос. Там могут быть не электроны, а что-нибудь другое с двумя состояниями. Мне интересно, как ведёт себя вся квантовая система, когда производится воздействие на её часть. Munin, вы можете что-то по этому поводу подсказать, хотя бы общие сведения?

[warlock66613]

B@R5uk в сообщении #850922 писал(а):

Не важно. Это модельный вопрос.

Это важно. Хотя бы потому, что непонятно, что имеется в виду.

[B@R5uk]

warlock66613 в сообщении #850923 писал(а):

Это важно.

Ваше утверждение вводит меня в ступор. Что я не понимаю, что считаю, что это не важно?

[Munin]

B@R5uk в сообщении #850922 писал(а):

Не важно. Это модельный вопрос.

Можно задавать вопросы в рамках модели "квантовая механика". С оговорёнными разновидностями действий: что измерить, как измерить, и т. п.

[warlock66613]

B@R5uk в сообщении #850925 писал(а):

Что я не понимаю, что считаю, что это не важно?

Как я уже сказал, вы, как минимум, не понимаете, что другие люди не понимают, что вы имеете в виду под "неразрушением системы". Если бы вы описали (в общих чертах) что вы проделываете с электроном чтобы узнать его спин, то было бы понятнее.

[Munin]

B@R5uk в сообщении #850922 писал(а):

Мне интересно, как ведёт себя вся квантовая система, когда производится воздействие на её часть.

Вот это уже другой вопрос, а не "не разрушая".

ЛЛ-3 § 14 "Матрица плотности".

[arseniiv]

B@R5uk в сообщении #850922 писал(а):

Мне интересно, как ведёт себя вся квантовая система, когда производится воздействие на её часть.

Так подействуйте на состояние первого электрона каким-нибудь оператором $A$. Получится $(A\lvert\uparrow\rangle)\otimes(a\lvert\uparrow\rangle + b\lvert\downarrow\rangle) + (A\lvert\downarrow\rangle)\otimes(c\lvert\uparrow\rangle + d\lvert\downarrow\rangle)$. Надеюсь, не намудрил с тензорами, но всё должно быть примерно так просто. И дальше, если надо, в координатах, $A\lvert\uparrow\rangle = \alpha\lvert\uparrow\rangle + \beta\lvert\downarrow\rangle$ и $A\lvert\downarrow\rangle = \gamma\lvert\uparrow\rangle + \delta\lvert\downarrow\rangle$.

Как и ожидал, пока писал, появились новые ответы, и про матрицу плотности — и я засомневался сильнее в правильности. Пожалуйста, прокомментируйте это писанину!

-- Чт апр 17, 2014 22:04:41 --

Рассуждал так: раз есть тензор $\psi^{ij}$, почему бы не подействовать оператором $A_i^k$ на него так же как на «просто вектор» $\psi^i$, только вместо $A_i^k\psi^i$ получится $A_i^k\psi^{ij}$. А если хочется подействовать на состояние второго элемена, то $A_j^k\psi^{ij}$… Но можно ли так и почему?

[B@R5uk]

arseniiv в сообщении #850936 писал(а):

Получится...

Если честно, не знаю этих обозначений.

arseniiv в сообщении #850936 писал(а):

И дальше, если надо, в координатах

Я правильно понимаю состояния $\lvert\uparrow\uparrow\rangle$, $\lvert\uparrow\uparrow\rangle$, $\lvert\downarrow\uparrow\rangle$ и $\lvert\downarrow\downarrow\rangle$ -- это базовые векторы, относительно которых записываются координаты любых состояний и координаты операторов, эти состояния изменяющих? Но вы говорите "дальше, если надо, в координатах", другими словами можно выбрать какие-то другие базисные векторы, которые будут не менее логичны, чем выбранные мной изначально, что ли?

Munin в сообщении #850931 писал(а):

ЛЛ-3 § 14 "Матрица плотности".

Вот за это спасибо! Надеюсь там не сильно заумно будет.

[arseniiv]

B@R5uk в сообщении #850943 писал(а):

Если честно, не знаю этих обозначений.

Каких именно?

Если вы про $\oplus$, $\lvert\uparrow\uparrow\rangle$ — это сокращение для $\lvert\uparrow\rangle\otimes\lvert\uparrow\rangle$, например. Это тензор ранга (0, 2), что, конечно, не мешает ему быть вектором соответствующего пространства и работать вектором состояния.

Коэффициенты при кетах с двумя стрелочками — это координаты, но тензора. Двустрелочные кеты образуют базис в пространстве тензоров ранга (0, 2), но этот базис не простой — он строится по базису $(\lvert\uparrow\rangle,\lvert\downarrow\rangle)$ пространства тензоров ранга (0, 1), «обычных» векторов. Раз вы говорите о действии на отдельную часть системы, вам придётся и эти рассматривать.

Но подождём сначала, не написал ли я что-то не то. Т. е. про тензоры всё должно быть правильно, но так ли это работает — не знаю. Надо тоже открыть параграф…

[Munin]

Кстати, вот частичных измерений ЛЛ-3, поганка такая, не рассматривает (или упоминает где-то в более поздних параграфах, довольно втихаря: в предметном указателе ссылок нет).

ФЛФ тоже не позволяет быстро найти нужное место.

В Мессиа тоже нет... а я на него так надеялся...

Осталось посмотреть М. Г. Иванова, и с тоски - Бома. Ну и Википедию, чтобы окончательно опозориться.

-- 17.04.2014 20:26:09 --

arseniiv в сообщении #850936 писал(а):

Как и ожидал, пока писал, появились новые ответы, и про матрицу плотности — и я засомневался сильнее в правильности. Пожалуйста, прокомментируйте это писанину!

Пока всё правильно, но до ответа не доведено :-)

-- 17.04.2014 20:29:53 --

B@R5uk в сообщении #850943 писал(а):

Если честно, не знаю этих обозначений.

А какие знаете? Если вы бра-кеты знаете, то откуда-то их вычитали. Откуда? Как там обозначаются тензорные произведения (то есть состояния, задаваемые кет-вектором одной подсистемы и кет-вектором другой подсистемы)?

ЛЛ-3, если что, написан весь в других обозначениях. И даже местами неудобно, например, соображать, что формула (14.4) по-человечески пишется:

$$\bar{f}=\operatorname{Tr}(\hat{f}\rho).$$

-- 17.04.2014 20:37:53 --

Ну да, у Иванова всё просто.
Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику.
Параграф 5.3.

Полное состояние образуется проекцией пространства на подпространство (а в учебниках типа ЛЛ-3 - на одномерное подпространство, но это нам не нужно). То есть, нужно просто написать нужные проекторы: для результата измерения "спин вверх" и для результата измерения "спин вниз".

Ладно, дальше не буду лишать arseniiv и B@R5uk удовольствия пописать выкладки.

[arseniiv]

Munin в сообщении #850950 писал(а):

Пока всё правильно, но до ответа не доведено

Ээ, а куда там доводить? Наперемножать?

У меня при представлении состояний в виде матриц получились матрица $\mathfrak A$ для $A$, действующего на первую часть системы и $\mathfrak A^\top$ для действующего на вторую часть, умножающиеся с разных сторон. Что, в общем-то, прямо следует из тех тензорных уравнений. Что из этого — матрица плотности? (Так и не успел пока скачать ЛЛ. )

Или надо теперь спроецировать на состояние одной из подсистем?

[Munin]

arseniiv в сообщении #850960 писал(а):

Наперемножать?

Ну, да... В общем, там был ещё второй вопрос, с ним я дольше провозился. А ЛЛ надо иметь всегда скачанным :-) (У меня, скажу шёпотом, несколько гигабайт скачанных книг, свалены в каталог навроде Колхозовского, и всегда под рукой. Часто качаю что-нибудь новое. Но по жизни, большинство вопросов решается открытием одной или нескольких книг с винчестера. Гораздо быстрее, чем каждый раз качать.)

[svv]

Вы, конечно, переименовываете скачанные файлы с неудобоваримыми именами, чтобы имена файлов соответствовали принятой Вами системе? Интересно, какой у Вас стандарт?