Радиальное ускорение на эллиптической орбите

[Ingus]

Sergey from Sydney в сообщении #849434 писал(а):

Бросьте вертикально вверх камень. Его высота "увеличивается с некоторой скоростью...сначала быстро-быстро, потом медленнее.." Есть при этом у камня ускорение, направленное вертикально вверх?

Есть у камня ускорение. Муравей на нем испытывает перегрузку. В апогее кинетическая энергия броска будет исчерпана и начнется свободное падение. Невесомость.
Что не так?

[iifat]

Вам попался исключительно лживый муравей. Как только рука отпускает камень, никаких перегрузок более не остаётся (ну, если исключить сопротивление воздуха, конечно).

[Ingus]

rustot в сообщении #849342 писал(а):

а вы именно это и делаете, от полного ускорения $\vec{a} = \frac{d^2}{dt^2} \vec{r}$ берете его часть $\frac{d^2}{dt^2} |r|$ которое не равно полному ускорению (на круговой орбите оно просто равно нулю например), модуль производной вектора не равен производной модуля вектора. и из неравенства полного ускорения и куска от этого ускорения пытаетесь вывести какие то силы

Умоляю Вас сообщить мне, куда направлено и чему равно полное ускорение при кеплеровом движении. Радиальное и трансверсальное, нормальное и тангенциальное я могу найти, а как найти полное??

-- 14.04.2014, 13:59 --

iifat в сообщении #849566 писал(а):

Вам попался исключительно лживый муравей. Как только рука отпускает камень, никаких перегрузок более не остаётся (ну, если исключить сопротивление воздуха, конечно).

Для меня это просто разрыв шаблона)) А формализовать это можно как нибудь? Ну например -ВЕС=МАССАx(УСКОРЕНИЕ ТЕЛА - НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ В ОБЛАСТИ ДВИЖЕНИЯ)
Камень движется замедляясь в однородном гравитационном поле, и вес муравьишки ПОСТЕПЕННО падает до 0.

[iifat]

Ingus в сообщении #849574 писал(а):

Умоляю Вас сообщить мне, куда направлено и чему равно полное ускорение при кеплеровом движении

Да ладно вам, не стоит! Достаточно просто спросить. Или почитать учебник. $\vec F=m\vec a$. Второй закон Ньютона. Если не заморачиваться СТО/ОТО, разумеется. Какие силы действуют на тело при кеплеровом движении?

[rustot]

Ingus в сообщении #849574 писал(а):

Умоляю Вас сообщить мне, куда направлено и чему равно полное ускорение при кеплеровом движении. Радиальное и трансверсальное, нормальное и тангенциальное я могу найти, а как найти полное??

берете прямо дословно переводите слова Кеплера на язык математики $x(t)$ и $y(t)$ и получаете однозначно вытекающее из его слов ускорение. $a_x(t) = \frac{d^2}{dt^2} x(t)$, $a_y(t) = \frac{d^2}{dt^2}y(t)$

при выборе начала координат в фокусе эллипса у вас получится что $a_x(t) = - \frac{ k x(t) }{(x^2+y^2)^{3/2} }$, $a_y(t) = - \frac{ k y(t) }{(x^2+y^2)^{3/2} }$. что и демонстрирует и направление вектора ускорения в фокус эллипса и его величину, обратно пропорциональную квадрату расстояния от него. вот этот вектор и есть полное ускорение

-- 14.04.2014, 16:36 --

rustot в сообщении #849635 писал(а):

берете прямо дословно переводите слова Кеплера на язык математики

"по эллипсу, в одном из фокусов которого"

поместим один из фокусов в начало координат, тогда множество точек этой орбиты описывается уравнениями

$x = a \cos(n) + \sqrt{a^2-b^2}$
$y = b \sin(n)$
$r = a + \cos(n)\sqrt{a^2-b^2}$

где $a, b$ - длины полуоси эллипса, а $n(t)$ какая то функция от времени, задающая в какой именно момент времени тело в данной точке орбиты оказывается (но это мы из первой фразы Кеплера получить не можем). возьмемся теперь за вторую фразу

"за равные промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади"

то есть $\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dn}\frac{dn}{dt} = k = \operatorname{const}$

$dS = |x dy - y dx|/2$, тогда $\frac{dS}{dn} = |x \frac{dy}{dn} - y \frac{dx}{dn}|/2 = (a b + b\cos(n)\sqrt{a^2-b^2})/2 = b r / 2$

$\frac{b r}{2} \frac{dn}{dt} = k$

$\frac{dn}{dt} = \frac{2 k}{b r}$

$v_x = \frac{dx}{dn}\frac{dn}{dt} = \frac{-2 k a \sin(n)}{a b + b\cos(n)\sqrt{a^2-b^2}}$
$v_y = \frac{dy}{dn}\frac{dn}{dt} = \frac{2 k \cos(n)}{a + \cos(n)\sqrt{a^2-b^2}}$

$a_x = \frac{dv_x}{dn}\frac{dn}{dt} = \frac{-4 k^2 a (b\sqrt{a^2-b^2} + a b \cos(n))}{(a b + b \cos(n)\sqrt{a^2-b^2})^3} = - \frac{4 k^2 a}{r^3 b^2} x$
$a_y = \frac{dv_y}{dn}\frac{dn}{dt} = \frac{-4 k^2 a b^2 \sin(n)}{(a b + b \cos(n)\sqrt{a^2-b^2})^3} = - \frac{4 k^2 a y}{r^3 b^2} y $
$|a| = \sqrt{a_x^2+a_y^2} = \frac{4 k^2 a}{b^2 r^3} \sqrt{x^2+y^2} = \frac{4 k^2 a}{b^2 r^2}$

если определить описываемую в единицу времени площадь $k$ через полную площадь эллипса $\pi a b$ и полный период $T$, то получим $k = \frac{\pi a b}{T}$ и $|a| = \frac{4\pi^2 a^3}{r^2 T^2} = \frac{w^2 a^3}{r^2}$, где $w = \frac{2\pi}{T}$ усредненная за период угловая скорость.

тут неудачно намешалось обозначение полуоси и ускорения одной и той же буквой $a$, но надеюсь по контексту понятно где что, ускорение только слева от "="

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет

то есть вы выражении $|a| = \frac{4 \pi^2 a^3}{r^2 T^2}$ величина $\frac{a^3}{t^2}$ является одинаковой для всех планет. а значит одинаковой для всех планет является и величина $|a| r^2$. то есть, если верить кеплеру, модуль текущего ускорения планеты определяется только текущим расстоянием до солнца и больше никакими параметрами планет не определяется. и направлено оно всегда строго на солнце

[Sergey from Sydney]

Ingus писал(а):

Есть у камня ускорение. Муравей на нем испытывает перегрузку. В апогее кинетическая энергия броска будет исчерпана и начнется свободное падение. Невесомость.

У камня действительно есть ускорение. Оно равно g и направлено вниз. Все время свободного полета камень и муравей на нем находятся в состоянии невесомости, потому что камень находится в свободном падении (да, когда камень летит вверх, он тоже в свободном падении). Пока камень не упал на землю, никакой перегрузки муравей не испытывает - наоборот, он в невесомости, независимо от того, куда летит камень: вверх, вниз или вбок.

Цитата:

Камень движется замедляясь в однородном гравитационном поле, и вес муравьишки ПОСТЕПЕННО падает до 0.

Нет, когда камень движется в гравитационом поле, т.е. на него действует только сила притяжения, муравей невесом. Невесомость наступает сразу, как только на камень перестала действовать сила руки.

Цитата:

куда направлено и чему равно полное ускорение при кеплеровом движении

Полное ускорение направлено в центр притяжения. Именно это написано в уравнении движения:

$$\ddot{\vec r}=-\frac{\mu}{r^3}\vec r$$

[Ingus]

Sergey from Sydney в сообщении #849652 писал(а):

Полное ускорение направлено в центр притяжение. Именно это написано в уравнении движения:

$$\ddot{\vec r}=-\frac{\mu}{r^3}\vec r$$

Вы решали это уравнение в каком либо пакете? Только честно.
Где здесь учтен орбитальный момент импульса?

Sergey from Sydney в сообщении #849652 писал(а):

Полное ускорение направлено в центр притяжение

В центр направлено центростремительное ускорение, численно равное, ускорению свободного падения на данном расстоянии от центра притяжения. В перигее полное ускорение больше гравитационного , в апогее меньше. Я прав?

[Oleg Zubelevich]

Ingus в сообщении #849679 писал(а):

Вы решали это уравнение в каком либо пакете? Только честно.

это уравнение решено в любом приличном учебнике по механике

Ingus в сообщении #849679 писал(а):

Где здесь учтен орбитальный момент импульса?

если вам кажется, что в этом уравнении чего-то не учтено, то претензии к Ньютону, а лучше в Кащенко.

[Sergey from Sydney]

Ingus писал(а):

Вы решали это уравнение в каком либо пакете? Только честно.

Зачем? Оно решается аналитически.

Цитата:

Где здесь учтен орбитальный момент импульса?

Движение тела определяется только силой, действующей на тело: $\ddot{\vec r} = \vec F/m$. Момент импульса в уравнения движения не входит.

Цитата:

В центр направлено центростремительное ускорение, численно равное, ускорению свободного падения на данном расстоянии от центра притяжения.

Центростремительноe ускорение - это и есть ускорение, создаваемое силой притяжения, т.е. ускорение свободного падения.

Цитата:

В перигее полное ускорение больше гравитационного , в апогее меньше. Я прав?

Нет, неправы. И в перигее, и в апогее, и в любой точке эллиптической орбиты полное ускорение всегда равно гравитационному, поскольку на тело действует только сила гравитации.

[Munin]

Ingus в сообщении #849558 писал(а):

Есть у камня ускорение. Муравей на нем испытывает перегрузку.

Неправда. Перегрузка будет только в момент броска, а дальше всё время (и пока камень движется вверх, и пока камень движется вниз) будет невесомость. (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)

[Ingus]

Sergey from Sydney в сообщении #849687 писал(а):

Нет, неправы. И в перигее, и в апогее, и в любой точке эллиптической орбиты полное ускорение всегда равно гравитационному, поскольку на тело действует только сила гравитации.

А что Вы скажете о выкладках Nemiroff?
Есть движение: $\ddot{\vec r}=-\dfrac{\mu}{r^3}\vec r$.
$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$,
$\dot r=\dfrac{(\vec r, \dot{ \vec r})}{r}$.
Есть момент: $L=|[\vec r,\dot{\vec r}]|=r\dot r\cdot \sin\theta$.
Тогда

$$\ddot r=\dfrac 1r\dfrac{d}{dt}(\vec r, \dot{\vec r})-(\vec r, \dot{\vec r})\frac{\dot r}{r^2}=\dfrac{(\vec r,\ddot{\vec r})+(\dot{\vec r},\dot{\vec r})}{r}-\dfrac{(\vec r,\dot{\vec r})^2}{r^3}=-\dfrac{\mu}{r^2}+\dfrac{\dot{\vec r}\,^2}{r}-\dfrac{\dot{\vec r}\,^2\cdot \cos^2\theta}{r}=-\dfrac{\mu}{r^2}+\dfrac{\dot{\vec r}\,^2\cdot \sin^2\theta}{r}=-\dfrac{\mu}{r^2}+\dfrac{L^2}{r^3}$$

[/quote]

-- 14.04.2014, 16:56 --

Sergey from Sydney в сообщении #849687 писал(а):

Зачем? Оно решается аналитически.

Вы покажете мне как выглядит аналитическая зависимость r(t)?

-- 14.04.2014, 17:01 --

Munin в сообщении #849688 писал(а):

Неправда. Перегрузка будет только в момент броска, а дальше всё время (и пока камень движется вверх, и пока камень движется вниз) будет невесомость. (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)

Это утверждение можно формализовать? В векторном виде например? Или все же стоит ограничиться умозрительными представлениями.

[Sergey from Sydney]

Ingus писал(а):

А что Вы скажете о выкладках Nemiroff?

Nemiroff вывел дифференциальное уравнение для $r=|\vec r|$. Это не уравнение движения, а следствие из уравнений движения. Еще раз: $\ddot r$ - это не ускорение тела на орбите.

Цитата:

Вы покажете мне как выглядит аналитическая зависимость r(t)?

Ищите в Google решение задачи двух тел.

[Ingus]

iifat в сообщении #849588 писал(а):

какие силы действуют на тело при кеплеровом движении?

Вернемся к Белецкому
http://dxdy.ru/post848363.html#p848363

-- 14.04.2014, 17:12 --

Sergey from Sydney в сообщении #849698 писал(а):

Ищите в Google решение задачи двух тел.

Бесполезно. Простой аналитической зависимости для r(t) не существует. Это ряд Фурье с коэффициентами, зависящими от эксцентриситета.

-- 14.04.2014, 17:16 --

Sergey from Sydney в сообщении #849698 писал(а):

Nemiroff вывел дифференциальное уравнение для $r=|\vec r|$. Это не уравнение движения, а следствие из уравнений движения. Еще раз: $\ddot r$ - это не ускорение тела на орбите.

Я решаю это уравнение в пакете MathCad получаю кеплеров эллипс.. Это порочный путь?

[Munin]

Ingus в сообщении #849699 писал(а):

Бесполезно. Простой аналитической зависимости для r(t) не существует.

Два балла, на пересдачу.

-- 14.04.2014 17:18:59 --

Ingus в сообщении #849699 писал(а):

Я решаю это уравнение в пакете MathCad получаю кеплеров эллипс.. Это порочный путь?

Пользоваться матпакетами, не понимая, что они делают, всегда порочный путь.

[Ingus]

""