Бесконечно гладкие функции с "врезками"

[Munin]

(Оффтоп)

Я лично пользуюсь такой нормой: если на мой пост уже ответили, и особенно если исправляемую часть процитировали, или ответили именно на неё, какой она была написана, то я исправляю пост в таком виде, чтобы видно было его исходное состояние и исправление. Например, так:

Цитата:

число положительно Update: отрицательно.

[g______d]

_Ivana в сообщении #848788 писал(а):

У меня сильное подозрение, что эти полиномы сходятся к идеальной ступеньке.

Сходятся, конечно; последовательность $C_{2k}(1-x)^{2k}(1+x)^{2k}$ является $\delta$-образной и сходится к $\delta(x)$ (в слабом смысле), а с интегралом к ступеньке.

Кстати, упражнение: найти точно коэффициент $C_{2k}$ и найти его асимптотику при $k\to \infty$.

Через $C_{2k}$ я обозначил константу $C$, про которую говорилось выше (она зависит от $k$).

[_Ivana]

Насчет константы и асимптотики - если имеется в виду та нормировочная константа $C$ перед интегралом на предыдущей странице, то я там же выписал формулу для нее:
$C_k = \frac{1}{\sum\limits_{i=0}^{2k}\frac{(-1)^{i}C_{2k}^{i}}{2i+1}}$, где $C_{2k}^{i}$ - биномиальные коэффициенты. При такой константе интеграл исходной дельтообразной функции от $0$ до $1$ будет равен $1$ и полиномы аппроксимируют исходную ступеньку. Если нужна нормировка интеграла к $1$ на области $[-1; 1]$, то эта константа уменьшается вдвое. Асимптотику для нее вроде угадал наполовину:
$C_k = 1.5957\sqrt{k}$, волшебная константа $1.5957$, как, собственно, и степень асимптотики подобрана численно. И если со степенью я скорее всего угадал, то константа должна иметь какое-нибудь формульное выражение, типа $\frac{\pi}{2}$ или что-то подобное с логарифмами.

[g______d]

Сосчитайте интеграл и найдите точное выражение для него, не содержащее значка суммирования. Можете пользоваться любыми справочниками.

[_Ivana]

Да, современные программы умнее меня на порядки.
Интеграл с параметром в общем виде (по половине интервала)
Предел, с учетом гипотезы об асимптоте порядка $\sqrt{k}$
Проверка найденной асимптотики
$2\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ примерно равно $1.595769$, что весьма близко к моему найденному $1.5957$
Итак, асимптотика: $C_k$ равна $2\sqrt{\frac{2k}{\pi}}$

[g______d]

Ок. На самом деле после тригонометрической замены получается интеграл от степени синуса, который табличный и вычисляется многократным интегрированием по частям (там полезут факториалы). Асимптотика отношения факториалов считается по формуле Стирлинга.

[Munin]

_Ivana в сообщении #849373 писал(а):

Да, современные программы умнее меня на порядки.

:-)

[_Ivana]

g______d, Munin спасибо вам за помощь и участие в этом топике! Даже для такого простого велосипеда мне потребовались ваши подсказки, вплоть до прямой формулы нужной функции, и мощь читерской Вольфрам-альфы... Сам не справился.

[Munin]

Это только поначалу. После двадцатой задачи беглость появляется.