fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 02:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
_Ivana в сообщении #848788 писал(а):
У меня сильное подозрение, что эти полиномы сходятся к идеальной ступеньке.


Сходятся, конечно; последовательность $C_{2k}(1-x)^{2k}(1+x)^{2k}$ является $\delta$-образной и сходится к $\delta(x)$ (в слабом смысле), а с интегралом к ступеньке.

Кстати, упражнение: найти точно коэффициент $C_{2k}$ и найти его асимптотику при $k\to \infty$.

Через $C_{2k}$ я обозначил константу $C$, про которую говорилось выше (она зависит от $k$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 15:58 


05/09/12
2587
Насчет константы и асимптотики - если имеется в виду та нормировочная константа $C$ перед интегралом на предыдущей странице, то я там же выписал формулу для нее:
$C_k = \frac{1}{\sum\limits_{i=0}^{2k}\frac{(-1)^{i}C_{2k}^{i}}{2i+1}}$, где $C_{2k}^{i}$ - биномиальные коэффициенты. При такой константе интеграл исходной дельтообразной функции от $0$ до $1$ будет равен $1$ и полиномы аппроксимируют исходную ступеньку. Если нужна нормировка интеграла к $1$ на области $[-1; 1]$, то эта константа уменьшается вдвое. Асимптотику для нее вроде угадал наполовину:
$C_k = 1.5957\sqrt{k}$, волшебная константа $1.5957$, как, собственно, и степень асимптотики подобрана численно. И если со степенью я скорее всего угадал, то константа должна иметь какое-нибудь формульное выражение, типа $\frac{\pi}{2}$ или что-то подобное с логарифмами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Сосчитайте интеграл и найдите точное выражение для него, не содержащее значка суммирования. Можете пользоваться любыми справочниками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 22:16 


05/09/12
2587
Да, современные программы умнее меня на порядки.
Интеграл с параметром в общем виде (по половине интервала)
Предел, с учетом гипотезы об асимптоте порядка $\sqrt{k}$
Проверка найденной асимптотики
$2\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ примерно равно $1.595769$, что весьма близко к моему найденному $1.5957$
Итак, асимптотика: $C_k$ равна $2\sqrt{\frac{2k}{\pi}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ок. На самом деле после тригонометрической замены получается интеграл от степени синуса, который табличный и вычисляется многократным интегрированием по частям (там полезут факториалы). Асимптотика отношения факториалов считается по формуле Стирлинга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
_Ivana в сообщении #849373 писал(а):
Да, современные программы умнее меня на порядки.

:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 22:39 


05/09/12
2587
g______d, Munin спасибо вам за помощь и участие в этом топике! Даже для такого простого велосипеда мне потребовались ваши подсказки, вплоть до прямой формулы нужной функции, и мощь читерской Вольфрам-альфы... Сам не справился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно гладкие функции с "врезками"
Сообщение13.04.2014, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это только поначалу. После двадцатой задачи беглость появляется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group