Пространственное мышление

[Denis Russkih]

EtCetera в сообщении #849043 писал(а):

Теперь на ней что-то странное творится с видимостью линий (особенно хорошо это заметно на крайне правом кубе).

Да, я уже сам заметил. Оказывается, впопыхах я добавил новых ошибок. :) Нервно хихикая, исправил ещё раз. :) Теперь вроде правильно.

-- 13.04.2014, 12:34 --

А-а!!! Нет, это было ещё не всё!!! Блин, никогда ещё так не лажал. Всё-таки надо иногда высыпаться. Ну всё, теперь точно нарисовал как надо.

Так что по поводу моего вопроса? Такое представление имеет какой-нибудь смысл? Мне кажется, с трёхмерной развёрткой думать должно быть проще. (Если стоит задача именно вообразить себе всё это зрительно.)

-- 13.04.2014, 12:55 --

Модифицировал картинку, добавил сечение в виде тетраэдра (точнее, его развёртку, привязанную к развёртке тессеракта):



По-моему, я правильно всё изобразил... После того, как я столько раз налажал, у меня просто по теории вероятностей должно получиться верно. :)

[arseniiv]

(Denis Russkih, кстати, если вам интересно, ваш подход с развёртками очень похож на подход начертательных геометров — переводить высказывания (и операции) об $n$-мерных вещах в высказывания об их проекциях на набор гиперплоскостей. Раньше это даже было практично, хотя я не слышал, нужно ли было им что-то кроме трёхмерия.)

[Munin]

мат-ламер в сообщении #848946 писал(а):

Однако вопрос к Вам возник. Действительно ли в решении такой задачи Вам помогло пространственное мышление (воображение)? Ввиду отсутствия оного у меня, я бы эту задачу решал бы чисто соображениями из линейной алгебры.

Я её ещё не начал решать :-)
Но начал бы я тоже с линейной алгебры.
Но вот потом результаты я бы обдумывал с точки зрения пространственного воображения. Оно помогло бы мне представить "реалистичность" того, что получилось, и проверить ответ: правильно ли я проделал алгебраические вычисления.

Примерно так.

мат-ламер в сообщении #848946 писал(а):

Но может есть люди, которые реально видят эту конструкцию перед собой?

Я могу реально видеть перед собой 4-мерную конструкцию, с которой перед этим достаточно повозился алгебраически. Беглости представить себе сразу 4-мерное "что-угодно" у меня нет. То есть, моё 4-мерное воображение всё-таки заметно уступает 3-мерному. Бесконечномерное - ещё хуже :-) Но всё-таки они есть.

мат-ламер в сообщении #848946 писал(а):

Для меня труден был бы даже ответ на вопрос: может ли в сечении трёхмерного куба плоскостью образоваться пятиугольник (если руководствоваться чисто наглядными соображениями, не прибегая к линейной алгебре)?

А тут всё очень просто. Может ли образоваться шестиугольник? Да, мы знаем как ("экватор" куба, поставленного на одну вершину). Может ли образоваться 4-угольник? Да, ещё проще. Теперь будем сдвигать плоскость из одного положения в другое. Осталось удостовериться, что два угла не исчезают одновременно. (Можно их сделать не исчезающими одновременно.)

[Denis Russkih]

arseniiv в сообщении #849161 писал(а):

(Denis Russkih, кстати, если вам интересно, ваш подход с развёртками очень похож на подход начертательных геометров — переводить высказывания (и операции) об $n$-мерных вещах в высказывания об их проекциях на набор гиперплоскостей. Раньше это даже было практично, хотя я не слышал, нужно ли было им что-то кроме трёхмерия.)

Спасибо, весьма любопытно. :) Собственно, я ещё когда писал, догадывался, что это далеко не самый практичный способ.

Но лично мне он помог вообразить сечение гиперкуба. А раньше я даже не знал, как начать думать, чтобы представить себе какое-то сечение этой штуки. :)

[arseniiv]

Есть такой подход, который вы могли здесь увидеть в одной теме о представлении многомерных вещей (увы, название не помню): декартово произведение уже известных пространств. $\mathbb R^4 = \mathbb R^3\times\mathbb R$, т. е. это «непрерывная стопка» трёхмерных пространств. Гиперкуб — стопка кубов, и если он чем-то сечётся, это сечение меняется непрерывно от одного «листа» стопки к другому. А если плоскостью, прямой и любым аффинным многообразием сечётся, то элементы сечения будут не просто непрерывно двигаться, а линейно. Можно нарисовать несколько листов из стопки, а остальные додумать как нечто среднее между этими, или даже спроецировать $\mathbb R^4$ на $\mathbb R^3$, тогда можно будет связать отдельные листы вместе как проекции.

[patzer2097]

по поводу сечения четырехмерного куба $[0,1]^4$ гиперплоскостью мы сразу можем сказать следующие вещи

(1) число вершин сечения не более $16$ (потому на каждой двумерной грани гиперкуба, которых $24$, лежит не более двух вершин сечения; а на каждом ребре гиперкуба сходятся три двумерных грани)

(2) число ребер не более $24$, число граней не более $8$ (т.к. у $[0,1]^4$ только $8$ трехмерных граней и $24$ двумерных)

(3) еще можно заметить, что в любой внутренней точке $x$ ребра гиперкуба сходятся по три гиперграни, поэтому если точка $x$ - вершина сечения, то в ней сходятся только три грани. то же самое может не быть верным (?), если $x$ - вершина куба, если mihailm прав с тем, что

mihailm в сообщении #848888 писал(а):

Октаэдры есть точно

был бы рад, если бы mihailm все-таки привел пример октаэдрального сечения

еще можно было бы сказать, что плоскость $x1+x2+x3+x4=0.001$ дает в сечении тетраэдр, но об этом уже писал Denis Russkih

[Lukum]

Так нагляднее гиперкуб

[mihailm]

patzer2097 в сообщении #849353 писал(а):

...был бы рад, если бы mihailm все-таки привел пример октаэдрального сечения...

Через середину диагонали провести ортогональную гиперплоскость - получится правильный октаэдр. Известный факт, видел вроде в Фадееве, Соминском

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #849323 писал(а):

Собственно, я ещё когда писал, догадывался, что это далеко не самый практичный способ.

Не важно. Главное, если он приведёт вас к успеху.

[patzer2097]

mihailm в сообщении #849359 писал(а):

Через середину диагонали провести ортогональную гиперплоскость - получится правильный октаэдр. Известный факт, видел вроде в Фадееве, Соминском

да, спасибо, все так и есть!
если $[0,1]^4$ пересечь Вашей плоскостью $x1+...+x4=2$, то вершины сечения будут теми вершинами куба, у которых будут две единичных координаты и две нулевых

[INGELRII]

Так что, задачу решать никто уже до конца не собирается? Печаль.

[Sicker]

а вот у меня вопрос, как можно ввести положительную ориентацию для 4 векторов в четырехмерном пространстве? По типу правила Жуковского для трехмерного пространства
И в четырехмерном пространстве положительная ориентация трех векторов теряет смысл, а если рассмотреть трехмерное подпространство, в которые вложены эти вектора?
проясните пожалуйста этот вопрос

[Munin]

В любом $n$-мерном пространстве мы можем считать положительной ориентацию $n$ векторов, если они ориентированы так же, как некоторый выбранный нами базис, и отрицательной - если наоборот. Например, если мы рассматриваем пространство $\mathbb{R}^n=\{(x_1,\ldots,x_n)\},$ то положительной считается ориентация базиса $\vec{e}_i=(0,\ldots,0,1_{(i\textit{-е место})},0,\ldots,0).$

Если $n$-мерное пространство не имеет умолчательного или "естественного" базиса, то для него всё равно может рассматриваться некоторая функция - $n$-линейная форма объёма $\langle\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_n\rangle\in K,$ которая в 3-мерном случае, например, известна как тройное произведение векторов, и в случае $\mathbb{R}^n$ вычисляется как определитель из координат. Тогда ориентацию можно дефинировать как знак этой формы объёма, взятой от рассматриваемых $n$ векторов.

Все наборы $k<n$ векторов оказываются "не имеющими ориентации", в том смысле, что они могут быть "уложены" (повёрнуты собственным ортогональным преобразованием) на $k$-мерное подпространство любым способом, в двух противоположных ориентациях. Собственно, "ориентацией" $k$ векторов можно считать не скаляр, а базис ортогонального дополнения линейной оболочки этих $k$ векторов, выбранный так, чтобы эти векторы вместе с этим базисом образовывали положительно ориентированные $n$ векторов. Так, в 3-мерном случае для 2 векторов это означало бы единичный вектор, сонаправленный векторному произведению.

[arseniiv]

(Начал до ответа Munin.)
На самом деле ориентации просто две. Положительная и отрицательная, правая и левая — это всё прикладное. Мы можем взять конкретную систему векторов и назвать её ориентацию правой, но нет никакого способа однозначно выбрать одну из ориентаций в любом пространстве. Только в конкретных. Например, берём $\mathbb R^3$ и называем ориентацию $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ правой, но если мы берём какое угодно трёхмерное векторное пространство $V$ над $\mathbb R$, такой выбор не даст ничего для определения правой ориентации в $V$, так как есть автоморфизмы, которые меняют ориентации местами (банальное отражение относительно гиперплоскости).

-- Вт май 06, 2014 17:55:01 --

Точнее, не две ориентации у $n$-к векторов, а три. Забыл про ноль, спасибо Munin с формой объёма. Нулевая будет переходить в нулевую, так что есть два выбора ориентации.

-- Вт май 06, 2014 17:56:53 --

Sicker в сообщении #859813 писал(а):

а если рассмотреть трехмерное подпространство, в которые вложены эти вектора

Разумеется, можно, ведь можно забыть, что это подпространство.

[Sicker]

спасибо, это то все понятно
а если у нас нет координат? вообще нет?