Мощность объединения двух равномощных множеств

[woohoo]

Xaositect в сообщении #847594 писал(а):

А чем можно пользоваться? Тут нужно что-то эквивалентное аксиоме выбора. Аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело (о том, что любое множество вполне упорядочивается) - что-нибудь из этого было у Вас в курсе?

Пользоваться можно всем. Преподаватель дал эту задачу для самостоятельного изучения. У старшекурсников удалось узнать, что доказать нужно с помощью леммы Цорна, только я не понял как ее связать с моей задачей.

[nikvic]

(Оффтоп)

lena7 в сообщении #847628 писал(а):

Я имела в виду Кантора--Бернштейна. Вы тоже.

Первоначальное доказательство использовало аксиому выбора, однако эта аксиома необязательна для доказательства данной теоремы.

[g______d]

nikvic в сообщении #847630 писал(а):

Первоначальное доказательство использовало аксиому выбора, однако эта аксиома необязательна для доказательства данной теоремы.

Для доказательства теоремы Кантора-Бернштейна аксиома выбора не нужна. Она нужна для того, чтобы проверить изначальные условия теоремы для множеств в данной задаче (а именно, как сказала lena7, одно из неравенств).

[lena7]

woohoo в сообщении #847629 писал(а):

Пользоваться можно всем.

Если всем, то проще через теорему Цермело: каждое множество можно вполне упорядочить. Попробуйте сначала без подсказок. Для этого вспомните всё, что знаете об вполне упорядоченных множествах.

[Someone]

ghetto в сообщении #847608 писал(а):

Я просто привык автоматически ассоцировать взаимное включение двух множеств с равенством. Подзабыл, что это правило не обязательно для бесконечных множеств хотя бы по определению оных.

Взаимное включение, то есть, $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, равносильно равенству $A=B$.

lena7 в сообщении #847611 писал(а):

Для одного из неравенств всё равно понадобится аксиома выбора в какой-нибудь форме.

В книге К.Куратовского и А.Мостовского "Теория множеств" (глава VIII, § 6), написано, что неизвестно, эквивалентна ли формула $\mathfrac{m}+\mathfrac{m}=\mathfrac{m}$ аксиоме выбора в ZF. Я не в курсе, изменилось ли положение с 1970 года.

[ghetto]

--mS-- в сообщении #847623 писал(а):

(Оффтоп)

ghetto в сообщении #847608 писал(а):

Я просто привык автоматически ассоцировать взаимное включение двух множеств с равенством. Подзабыл, что это правило не обязательно для бесконечных множеств хотя бы по определению оных.

Равенство любых множеств $A$ и $B$ означает, что $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$. Не по правилу, а по определению.

(Оффтоп)

А. Еще оказывается подзабыл, что равенство и мощность - два разных понятия.

$ \mathbb N$ $\neq$ $\mathbb Z$, хотя $ \mathbb |N|$ = $\mathbb |Z|$

[g______d]

Someone,

http://math.stackexchange.com/questions ... mm-m-to-ac

[Someone]

(g______d)

g______d, спасибо.

[Xaositect]

woohoo в сообщении #847629 писал(а):

Пользоваться можно всем. Преподаватель дал эту задачу для самостоятельного изучения. У старшекурсников удалось узнать, что доказать нужно с помощью леммы Цорна, только я не понял как ее связать с моей задачей.

Если через лемму Цорна, то с помощью нее можно доказать, что бесконечное множество можно представить в виде объединения непересекающихся счетных множеств. Из этого уже выводится нужное утверждение.