Мощность объединения двух равномощных множеств

[woohoo]

Всем привет. Подскажите как доказать следующее утверждение.
Если имеется два бесконечных множества одинаковой мощности, то их объединение имеет ту же самую мощность.
$|A|=|B|$
$|A|=|A\cup B|$
Идея пока только такая: нужно показать, что $\exists$ биекция $f:A\to A\cup B$, только неясно как это сделать.
Хотя бы в какую сторону копать? На занятиях мы только начали изучать мощность множеств.

[ghetto]

Наверно надо показать что $A$ подмножество $A \cup B$ и наоборот.

[provincialka]

Достаточно сюръекции, так как инъекция существует.

-- 09.04.2014, 19:58 --

ghetto в сообщении #847571 писал(а):

Наверно надо показать что $A$ подмножество $A \cup B$ и наоборот.

[nikvic]

woohoo, помните ли, что такое бесконечное множество?

[Xaositect]

А чем можно пользоваться? Тут нужно что-то эквивалентное аксиоме выбора. Аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело (о том, что любое множество вполне упорядочивается) - что-нибудь из этого было у Вас в курсе?

[ghetto]

provincialka в сообщении #847572 писал(а):

Достаточно сюръекции, так как инъекция существует.

-- 09.04.2014, 19:58 --

ghetto в сообщении #847571 писал(а):

Наверно надо показать что $A$ подмножество $A \cup B$ и наоборот.

Я в этом мало что смыслю. Хотел добавить свои 2 цента. Может обьясните мою ошибку. Мне интересно.

[Xaositect]

ghetto в сообщении #847596 писал(а):

Я в этом мало что смыслю. Хотел добавить свои 2 цента. Может обьясните мою ошибку. Мне интересно.

$A\cup B$ не будет подмножеством $A$

[Nemiroff]

ghetto в сообщении #847596 писал(а):

Может обьясните мою ошибку.

ghetto в сообщении #847571 писал(а):

$A$ подмножество $A \cup B$

Это очевидно.

ghetto в сообщении #847571 писал(а):

наоборот

Это неверно.

[nikvic]

Xaositect в сообщении #847594 писал(а):

А чем можно пользоваться?

Похоже, классическим доказательством равенства мощностей из двух неравенств.

[ghetto]

Xaositect в сообщении #847597 писал(а):

ghetto в сообщении #847596 писал(а):

Я в этом мало что смыслю. Хотел добавить свои 2 цента. Может обьясните мою ошибку. Мне интересно.

$A\cup B$ не будет подмножеством $A$

Например $\mathbb N$ и $\mathbb Z$ равны по размеру, хотя $\mathbb Z$ $\subsetneq$ $\mathbb N$. Ясно. Я просто привык автоматически ассоцировать взаимное включение двух множеств с равенством. Подзабыл, что это правило не обязательно для бесконечных множеств хотя бы по определению оных.

[lena7]

nikvic в сообщении #847603 писал(а):

Похоже, классическим доказательством равенства мощностей из двух неравенств.

Для одного из неравенств всё равно понадобится аксиома выбора в какой-нибудь форме.

[nikvic]

lena7 в сообщении #847611 писал(а):

nikvic в сообщении #847603 писал(а):

Похоже, классическим доказательством равенства мощностей из двух неравенств.

Для одного из неравенств всё равно понадобится аксиома выбора в какой-нибудь форме.

Наверное, Вы имеете ввиду какую-то другую теорему: сами неравенства - её условие.

(Оффтоп)

Склероз мешает вспомнить автора и название
Помог Яндекс: теорема Кантора-Бернштейна

[Nemiroff]

Я предлагаю дождаться хоть какого-то ответа ТС.

[--mS--]

(Оффтоп)

ghetto в сообщении #847608 писал(а):

Я просто привык автоматически ассоцировать взаимное включение двух множеств с равенством. Подзабыл, что это правило не обязательно для бесконечных множеств хотя бы по определению оных.

Равенство любых множеств $A$ и $B$ означает, что $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$. Не по правилу, а по определению.

[lena7]

(Оффтоп)

nikvic в сообщении #847615 писал(а):

Наверное, Вы имеете ввиду какую-то другую теорему: сами неравенства - её условие.

Я имела в виду Кантора--Бернштейна. Вы тоже.