Контрпримеры в теории множеств [топология]

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #741434 писал(а):

Вот, в том-то и штуковина, что я тоже понимаю открытость как отсутствие у множества (непрерывного, для простоты) граничных точек, тех, которые любой окрестностью-шариком задевают внешнее множество-дополнение.

Это не то же. Я пишу совсем о другом. Я говорю о том, что определить принадлежность точки множеству можно, а непринадлежность - вообще говоря, нельзя (но может быть и можно). Кроме интервалов можно привести такие примеры:
1. Топология Зарисского (над $\mathbb{C}$): пространство $\mathbb{C}^n$, открытые множества - множества, на которых некоторое множество полиномов имеет ненулевое значение (в смысле, в каждой точке хотя бы один полином ненулевой). Та же ситуация, что и с интервалами - для того, чтобы проверить, что значение ненулевое, достаточно посчитать их с некоторой точностью, а для равенства надо вычислять всю бесконечную цепочку знаков
2. Связное двоеточие - два элемента, один из которых составляет открытое множество, а другое - нет. Рассмотрим программы, которые не могут ничего печатать на экран. У таких программ может быть ровно два поведения - они либо завершаются, либо не завершаются, причем первое определить можно за конечное время, а второе нельзя.
3. Пространство Бэра - бесконечные последовательности из нулей и единиц, открытые множества - те которые начинаются с одной из заданного множества конечных строк. Опять же, указать строку, с которой начинается множество, можно, а если оно не начинается ни с одной, то надо просмотреть всю бесконечную последовательность (потому что в нашем множестве строк могут быть сколь угодно длинные).

Но, как я говорю, это вряд ли распространенное понимание топологии, оно идет из CS.

Alex_J в сообщении #741434 писал(а):

Но в самом общем, абстрактном, виде открытость - другая. Она, оказывается, определяется самим фактом принадлежности к топологии. К тому набору множеств, который подчиняется всего 3м правилам.

Она не другая, а более общая. Так получилось, что по всей математике встречаются семейства множеств, замкнутые относительно объединений и конечных пересечений (и наоборот). Вот и решили называть это дело топологией, а терминологию заимствовать из геометрии.

Alex_J в сообщении #741434 писал(а):

И возможно ли совершить хоть какой-то логический переход от общей открытости к "непрерывностной" - мне непонятно.

От общей открытости к непрерывностной - легко. Набор открытых в обычном смысле множеств на $\mathbb{R}^n$ удовлетворяет всем трем условиям, и потому действительно является топологией.

Alex_J в сообщении #741434 писал(а):

Непонятно также, что, собственно, дальше. Ну выбрали мы именно такой а не другой набор множеств. Что с ними дальше-то делать, чтобы познать всю таинственную прелесть топологии? ))
Или, может, нужно повыбирать десяток-другой топологий, чтобы понять, в чём фишка?

Вообще да, было бы неплохо. Топология встречается в математике абсолютно везде, в этом и прелесть.

Alex_J в сообщении #741434 писал(а):

В этом тоже ошибка по-вашему? Отрезки имеют в себе свои граничные точки, а значит, они не являются открытыми, а значит, по определению...

Конечно, ошибка. Вас просят проверить, является ли семейство отрезков топологией. Для этого Вы зачем-то берете другое семейство, про которое Вы знаете, что оно является топологией, и говорите, что отрезки не являются открытыми в этой топологии. Но это же не говорит о том, что отрезки не могут образовывать свою, другую топологию.

[Otta]

Xaositect
Он просто еще блуждает в потемках, и что свойство точки быть граничной или не быть не абсолютно и тоже зависит от выбранной топологии, не осознал.

[Alex_J]

Объединение отрезков - отрезок, а вещественная прямая - интервал. Поэтому для топологии из отрезков не выполняется 3е свойство.

Если же $X$ - отрезок, тогда топологию из отрезков построить можно.

-- 29.06.2013, 12:41 --

Если на прямой в семейство отрезков включить саму прямую, то это уже топология.

[Someone]

Alex_J в сообщении #741494 писал(а):

Объединение отрезков - отрезок,

Неверно. Даже для двух отрезков, не говоря уже о бесконечном числе.

Alex_J в сообщении #741494 писал(а):

а вещественная прямая - интервал. Поэтому для топологии из отрезков не выполняется 3е свойство.

Да уже первое не выполняется.

Alex_J в сообщении #741494 писал(а):

Если же $X$ - отрезок, тогда топологию из отрезков построить можно.

Нет. Опять же, проверьте свойства из определения топологического пространства.

Alex_J в сообщении #741494 писал(а):

Если на прямой в семейство отрезков включить саму прямую, то это уже топология.

Нет.

[Alex_J]

Someone в сообщении #741504 писал(а):

Неверно. Даже для двух отрезков, не говоря уже о бесконечном числе.

Отрезок:

$[a,b] \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \} $

Интервал:

$(a,b) \overset {\mathrm{def}} {=} \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$

Если есть два отрезка $[a,b]$ и $[c,d]$, $a<c<b<d$, то их объединение - это отрезок $[a,d]$, и из определения отрезка следует, что точки обоих заданных отрезков попадают в него. То же самое - для интервала.
Если $b<c$, то, будь то интервалы или отрезки, объединение не является ни тем, ни другим. Это двусвязное множество. Поскольку есть точки между $a$ и $d$, которые не попадают между $b$ и $c$. Хотя интервалы образуют топологию, а отрезки, по всеобщему убеждению, не могут.
Вариант $a<c<d<b$ очевиден так же, как первый.
Если $b=c$, то объединение отрезков является отрезком $[a,d]$, а объединение интервалов - не является интервалом, т.к. точка $b$ выколота.

Вместо "нет" и "неверно", отвечайте конструктивно и предметно.

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #742949 писал(а):

Если есть два отрезка $[a,b]$ и $[c,d]$, $a<c<b<d$, то их объединение - это отрезок $[a,d]$, и из определения отрезка следует, что точки обоих заданных отрезков попадают в него. То же самое - для интервала.
Если $b<c$, то, будь то интервалы или отрезки, объединение не является ни тем, ни другим. Это двусвязное множество. Поскольку есть точки между $a$ и $d$, которые не попадают между $b$ и $c$. Хотя интервалы образуют топологию, а отрезки, по всеобщему убеждению, не могут.

Ага. И здесь Вы должны подумать "что-то здесь не так" и понять, что интервалы тоже не образуют топологию. Топологию образуют открытые (в обычном смысле) множества, то есть конечные объединения интервалов.

Но для отрезков даже все конечные объединения не образуют топологии. Попробуйте теперь это доказать (или вспомнить.)

[Alex_J]

Предыдущее своё сообщение несколько отредактировал.
Чтобы сосредоточить внимание для начала на одной непонятности, прежде чем на ней же строить другие непонятности. )

Xaositect в сообщении #742951 писал(а):

"что-то здесь не так"

Xaositect в сообщении #742951 писал(а):

конечные объединения интервалов.

Объединение двух интервалов $(a,b)$ и $(c,d)$, $b<c$, не является интервалом. Но мы можем построить такое объединение. Каким образом "конечные объединения интервалов" обходят этот случай? Несвязное множество из двух интервалов - разве это не является конечным объединением интервалов? Действительно, кое-что "не так".

Вот если мы скажем: конечные связные объединения интервалов образуют топологию, тогда не будет недопонимания и можно нащупать следующий шаг вперёд.

[Xaositect]

Так, во-первых, я написал "конечные объединения интервалов", а надо было написать "счетные".

Теперь давайте разберемся с топологиями.
Так вот.
1. Множество всех интервалов не является топологией на $\mathbb{R}$, так как объединение двух интервалов может не быть интервалом.
2. Множество всех счетных объединений интервалов является топологией, и это надо доказывать, так как надо рассмотреть еще и несчетные объединения. Эта топология --- стандартная топология на $\mathbb{R}.
3. Множество всех отрезков не является топологией по той же причине, что и множество всех интервалов.
4. Множество всех счетных объединений отрезков тоже не является топологией, потому что тут несчетные объединения ведут себя по-другому.

[Alex_J]

Xaositect в сообщении #742958 писал(а):

Множество всех счетных объединений интервалов является топологией

И я задумался о том, что, к примеру, из множеств вида: $(a+kl,b+kl)$, $b-a<l$, $k=-\infty..\infty$, $k\in\mathbb{N}$, т.е. из "пунктирных линий" можно построить топологию, так? И это, как раз, счётное объединение интервалов.

Xaositect в сообщении #742958 писал(а):

так как объединение двух интервалов может не быть интервалом.

Но мы можем построить не из всех интервалов, так же как и не из всех отрезков: например, из отрезков $[-a,a]$, $a\in\mathbb{R}$, $a\geq0$. Из интервалов, соответственно, $(-a,a)$.

Правда, что творится с отрезками, уходящими в бесконечность, не совсем ясно, тут снова меня могут обыграть. Но если включить всю прямую, как объединение всех упомянутых отрезков, то разве не прокатит?

На отрезке же $[0,a]$ топологию строим, например, из $[0,b]$, $0\geqb\geqa$, объединения входят, пересечения входят, пустое приписываем, полное получается. Топология???

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #742962 писал(а):

Но мы можем построить не из всех интервалов, так же как и не из всех отрезков: например, из отрезков $[-a,a]$, $a\in\mathbb{R}$, $a\geq0$. Из интервалов, соответственно, $(-a,a)$.

Можно не из всех. Множество всех интервалов вида $(-a, a)$ вместе со всей прямой и пустым множеством образует топологию, а множество всех отрезков вида $[-a,a]$ вместе со всей прямой и пустым множеством не образует топологии. Хорошо бы, чтобы Вы это сами доказали.

Alex_J в сообщении #742962 писал(а):

На отрезке же $[0,a]$ топологию строим, например, из $[0,b]$, $0\geqb\geqa$, объединения входят, пересечения входят, пустое приписываем, полное получается. Топология???

Неа. С бесконечными объединениями проблема. В этом случае уже даже со счетными.

[Alex_J]

Xaositect
Если основываться только на определении и 3х свойствах топологии, то ведь они выполняются. Если же подключать понятия открытого множества (через окрестности) и самой окрестности - то отрезки не являются открытыми.
Но в определении топологии сказано, что множества, образующие топологию, самим этим фактом объявляются открытыми. Тогда, строгости ради, в определение топологии следует включить 4й пункт:

4. Множества, образующие топологию, обязаны быть открытыми в смысле определения окрестности.

Тогда доказательство очень простое.
Без такого 4го пункта, пп. 1-3 - выполняются.

Правда, у Келли говорится, что объединение всех множеств топологии должно являться исходным множеством X.

(по-моему, в этой теме мусолится по сто раз одно и то же)

И тогда нужно доказать, что ни при каких $a$ мы не получим всю вещественную прямую. Здесь тогда надо подключать понятие бесконечности, предельного перехода... Или сказать, что вся прямая - это интервал, а не отрезок. Этого достаточно?

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #742981 писал(а):

Xaositect
Если основываться только на определении и 3х свойствах топологии, то ведь они выполняются.

Нет. Счетное объединение отрезков вида $[0,a]$ может не быть отрезком вида $[0, a]$, даже если это и не вся прямая.

[Otta]

Alex_J, а Вы не хотите взять какой-нибудь задачник и проработать все эти понятия самостоятельно? Мне почему-то кажется, это будет гораздо эффективнее.

[Lia]

Alex_J
Сообщение от 06.04.2014 отделено в новую тему Замыкание множества.
Замечание за неоправданный некропостинг.