Контрпримеры в теории множеств [топология]

[Alex_J]

Someone в сообщении #740545 писал(а):

Господи, Alex_J, какую Вы белиберду пишете...

А как ещё разговорить тех, кто может что-то пояснить? )

Someone в сообщении #740545 писал(а):

Вздор.

Значит, в предложенной мной топологии у объекта $m_i$ окрестностями будут множества от $\{m_1,m_2,...,m_i\}$ до $\{m_1,m_2,...,m_N\}$. Так? Они входят в топологию, а значит они открытые.

Someone в сообщении #740545 писал(а):

перечислите все замкнутые множества Вашего топологического пространства.

Их дополнения открытые, а значит входят в топологию, значит, замкнутые множества ${m_k,m_{k+1},...,m_N}$, $k=2..N$.
А также нулевое (его дополнение - исходное множество - открыто) и исходное (то же самое).

Someone в сообщении #740545 писал(а):

Будете писать всякие идиотизмы - модератор рассердится и заблокирует.

Оскорбление и бездоказательная критика. Модератору сподручнее сердиться на Вас. Докажете, что перечисленные примеры не являются множествами - возьму слова назад, но не ранее.

[Someone]

Alex_J в сообщении #740562 писал(а):

Оскорбление и бездоказательная критика. Модератору сподручнее сердиться на Вас. Докажете, что перечисленные примеры не являются множествами - возьму слова назад, но не ранее.

Alex_J в сообщении #740562 писал(а):

А как ещё разговорить тех, кто может что-то пояснить? )

То есть, Вы умышленно пишете идиотизмы, чтобы "разговорить". Это в правилах форума называется "провоцирование флейма", и за это Вы можете пострадать.

Чтобы получить ответы на вопросы, надо просто их нормально задать. Не сочиняя специально всякие глупости.

Alex_J в сообщении #740562 писал(а):

Значит, в предложенной мной топологии у объекта $m_i$ окрестностями будут множества от $\{m_1,m_2,...,m_i\}$ до $\{m_1,m_2,...,m_N\}$. Так? Они входят в топологию, а значит они открытые.

Да.

Alex_J в сообщении #740562 писал(а):

Их дополнения открытые, а значит входят в топологию, значит, замкнутые множества ${m_k,m_{k+1},...,m_N}$, $k=2..N$.

Не вижу перечисления замкнутых множеств. Вижу только неграмотно написанное перечисление некоторых элементов пространства. Вот там у Вас перечислены все открытые множества (с одной ошибкой в записи, на которую я указывал). В таком же стиле перечислите замкнутые множества.

[Otta]

Someone в сообщении #740571 писал(а):

Не вижу перечисления замкнутых множеств.

У него ошибка в коде. Слеш перед фигурной скобкой забыт.

[Someone]

Alex_J в сообщении #740562 писал(а):

Докажете, что перечисленные примеры не являются множествами - возьму слова назад, но не ранее.

Мне, по-правде говоря, без разницы. Тем более, что даже не догадываюсь, какие слова Вы собираетесь забрать назад. Однако обращаю Ваше внимание на то, что кошки, цвета, заказчики, следы и тому подобные сущности не являются объектами теории множеств. Объектами стандартной теории множеств ZFC или GB являются множества или классы.

[Alex_J]

Someone в сообщении #740571 писал(а):

Не вижу перечисления замкнутых множеств.

Как верно заметил Otta, нужна пара слэшей, и поправка выглядит так (правка закрывается через сутки или 12 ч, видимо):

$\{m_k,m_{k+1},...,m_N\}$, $k=2..N$
Считайте эту строку ответом.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #740575 писал(а):

кошки, цвета, заказчики, следы и тому подобные сущности не являются объектами теории множеств

Вы преподаватель? И совсем не занимаетесь прикладными задачами, видимо.
Теория множеств, подвешенная в вакууме сама по себе, несомненно, имеет дело только с множествами. Но, кажется, Вы сами не понимаете, что такое множество и зачем оно нужно. Для Вас это просто вещь в себе. Окей, тогда говорить не о чем, холивар раздувать не будем.

Someone в сообщении #740571 писал(а):

То есть, Вы умышленно пишете идиотизмы, чтобы "разговорить".

Если на этом форуме в разделе "Помогите разобраться", все будут писать всегда сразу абсолютно правильно и без ошибок, то в разделе нет смысла и его можно закрывать.

Ну и я не несу ответственности за специфику Вашего понимания теории множеств.

Кроме того, от Вас повторное оскорбление. Заработав по 2 балла за помощь в вопросах, теряете по полсотни на "идиотизмах". Вам оно надо?

И ещё. Неспособность "приземлить" знания - это бич большинства выпускников ВУЗов, которые имеют много понтов и мизерные шансы на трудоустройство. Им приходится учиться заново. Но - их так учат. Те, для кого бредом кажется множество кошек (а также клиентов и даже геометрических фигур, что уж совсем никуда не лезет).

Просьба оформлять оффтоп как оффтоп, иначе это как раз и есть нарушение правил.

Далее вернёмся к контрпримерам - и просьба не флудить.

[Oleg Zubelevich]

а какие вам еще нужны контрпримеры?

[Someone]

Alex_J в сообщении #740789 писал(а):

$\{m_k,m_{k+1},...,m_N\}$, $k=2..N$
Считайте эту строку ответом.

Ответ неполный.

Кроме того, Вы явно уклонились от ответа на ранее заданный вопрос: почему множество отрезков числовой прямой с целочисленными концами (даже дополненное вырожденными и пустыми отрезками) не является топологией?

Alex_J в сообщении #740789 писал(а):

Вы преподаватель? И совсем не занимаетесь прикладными задачами, видимо.
Теория множеств, подвешенная в вакууме сама по себе, несомненно, имеет дело только с множествами. Но, кажется, Вы сами не понимаете, что такое множество и зачем оно нужно. Для Вас это просто вещь в себе. Окей, тогда говорить не о чем, холивар раздувать не будем.

Скорее это у Вас потрясающе наивное представление о теории множеств и о её взаимоотношениях с реальным миром. Объекты физического мира ни в каком смысле не являются объектами теории множеств, ибо, как я говорил, в теории множеств нет ничего, кроме кроме множеств или классов. Более того, используя кошек, цвета и прочие упомянутые Вами сущности, принципиально нельзя построить модель теории множеств. Поэтому совокупности этих объектов не будут множествами в том смысле, в каком этот термин употребляется в ZFC или GB.

Alex_J в сообщении #740490 писал(а):

Из теории множеств.
Множество всех цветовых сочетаний породистых кошек.
Множество пар (Заказчик, Исполнитель) в сфере b2b.
Множество "следов" движения неточечного объекта в пространстве (например, фигура, образуемая кистью конечного размера, на холсте, бумажном либо виртуальном, неважно)
Последнее множество можно разделить на подмножества самопересекающихся и несамопересекающихся следов, и любые два элемента из разных подмножеств не гомеоморфны друг другу.

Однако можно поступить "наоборот". Постройте в теории множеств модели Ваших кошек, их цветов, заказчиков, исполнителей, следов и прочего, что Вам нужно. Когда Вы это сделаете, Ваши утверждения станут осмысленными высказываниями теории множеств, и можно будет обсудить, можно ли на основе этих (теперь уже принадлежащих теории множеств моделей) объектов построить какую-нибудь топологию.

(Оффтоп)

Alex_J в сообщении #740789 писал(а):

Если на этом форуме в разделе "Помогите разобраться", все будут писать всегда сразу абсолютно правильно и без ошибок, то в разделе нет смысла и его можно закрывать.

Нет. Я говорил о том, что не нужно умышленно писать глупости, чтобы "активировать" кого-то. Просто задайте нормальный вопрос. Вам помогут разобраться.

Alex_J в сообщении #740789 писал(а):

Ну и я не несу ответственности за специфику Вашего понимания теории множеств.

У меня нет никакой особенной специфики понимания теории множеств и её места в математике и в изучении реального мира. Просто Вы до этого обычного понимания ещё не доросли, и Вы принимаете "наглядные" (но некорректные) примеры за суть теории множеств.

Alex_J в сообщении #740789 писал(а):

Кроме того, от Вас повторное оскорбление.

Не заметил ни первого, ни второго. В частности, я не называл Вас дураком или идиотом. А в том, что Вы умышленно пишете глупости, "чтобы разговорить тех, кто может помочь", Вы признались сами. Ну вот, Вы меня и разговорили. Сами этого хотели.

Alex_J в сообщении #740789 писал(а):

Заработав по 2 балла за помощь в вопросах, теряете по полсотни на "идиотизмах".

Э-э-э... Это Вы о чём? Я здесь скоро уже 8 лет, и не заметил никаких баллов.

Alex_J в сообщении #740789 писал(а):

Просьба оформлять оффтоп как оффтоп, иначе это как раз и есть нарушение правил.

Бу сде, товарищ командир!

Alex_J в сообщении #740789 писал(а):

Далее вернёмся к контрпримерам - и просьба не флудить.

К каким контрпримерам? Сформулируйте вопрос более конкретно, чтобы на него можно было ответить. Обсуждать контрпримеры вообще? Хотите, обсудим контрпример к гипотезе Оррин Фринк (теперь уже опровергнутой, раз есть контрпример), что каждое хаусдорфово бикомпактное расширение вполне регулярного топологического пространства является расширением волмэновского типа?

[Alex_J]

Someone в сообщении #740889 писал(а):

Ответ неполный.

Плюс полное и пустое множества.

Someone в сообщении #740889 писал(а):

почему множество отрезков числовой прямой с целочисленными концами (даже дополненное вырожденными и пустыми отрезками) не является топологией?

Поскольку прямая - евклидово пространство, то определение открытости для него, "фундаментального понятия общей топологии (там же и определение открытости для евклидова пространства, которое я использую)", здесь действует. Поэтому, отрезки не являются открытыми, нужно брать интервалы. Значит, контрпример с объяснением. :)

Someone в сообщении #740545 писал(а):

должно быть написано не $m_1$, а $\{m_1\}$.

Действительно.

Someone в сообщении #740889 писал(а):

Постройте в теории множеств модели Ваших кошек

Строю замечательным образом.

Someone в сообщении #740889 писал(а):

К каким контрпримерам?

По мере возникновения вопросов - будут.

Someone в сообщении #740889 писал(а):

каждое хаусдорфово бикомпактное расширение вполне регулярного топологического пространства является расширением волмэновского типа

Когда каждое из этих слов и всё их упомянутое сочетание будет достаточно понятно :), тогда и до этого дойдём.

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #741188 писал(а):

Поскольку прямая - евклидово пространство, то определение открытости для него, "фундаментального понятия общей топологии (там же и определение открытости для евклидова пространства, которое я использую)
", здесь действует. Поэтому, отрезки не являются открытыми, нужно брать интервалы. Значит, контрпример с объяснением. :)

Иногда прямая --- это просто прямая. В смысле, не евклидово пространство, а множество. Вы понимаете, почему семейство всех отрезков не является топологией на множестве действительных чисел (безотносительно его метрической или алгебраической структуры)? Очевидно, Someone имел в виду именно такую постановку вопроса. Это гораздо более содержательный контрпример, чем кошки.

[Otta]

Alex_J в сообщении #741188 писал(а):

Поэтому, отрезки не являются открытыми, нужно брать интервалы. Значит, контрпример с объяснением. :)

Вас не об этом спрашивали.
В стандартной топологии прямой интервалы являются открытыми множествами. Именно потому, что эта топология содержит в себе все эти интервалы. То есть сперва состряпали топологию, базой которой являются интервалы, и им деваться некуда, они теперь открыты по определению.

А не наоборот. Вы просто привыкли наоборот, для Вас это естественно по хронологическим причинам: матанализ был раньше.

Но на прямой можно ввести и другие топологии. И вообще говоря, никто не обещал, что интервалы будут являться их элементами. И значит, в этих топологиях они открытыми не будут.

Так вот, Вас спрашивали, почему система отрезков не может быть выбрана в качестве новой, непривычной Вам топологии. Даже будучи дополнена "пустым отрезком".

Xaositect

(Оффтоп)

Опять мы дуэтом.

[Alex_J]

Someone
Xaositect
Otta

Вообще, чую, что Вы задаёте некие наводящие вопросы, надеюсь с их помощью правильно понять саму суть топологии. Изначально с этой целью я и занялся именно контрпримерами, т.к. примеры в книгах есть в большем количестве (в $\infty$ раз больше, частенько, т.к. контрпримеров часто ровно нуль).

(Оффтоп)

Ещё в университете на вышке некоторые из лекторов (Теляковский, к примеру) как раз давали разнообразные хитрые примерчики для иллюстрации, что весьма помогало.

Так что, несмотря на возникающее временами с разных сторон раздражение , благодарен участникам, ещё и потому, что и другие читают темы, надеюсь и им поможет.

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #741382 писал(а):

Вообще, чую, что Вы задаёте некие наводящие вопросы, надеюсь с их помощью правильно понять саму суть топологии.

Лично я задаю вопросы, чтобы Вы взяли определение топологии и начали применять его. Там всего 3 пункта, что может быть проще?

Если Вам очень хочется, то я могу Вам рассказать, как я представляю понятие топологии в терминах открытых множеств. Открытые множества - это такие "расплывчатые" множества --- принадлежность им мы всегда можем определить, но это потребует усилий и мы не можем делать это бесконечное число раз, а вот непринадлежность --- вообще говоря, не всегда. Например, если взять интервал на прямой и точку внутри него, очень близкую к границе, то нам надо будет взять много знаков после запятой, чтобы сказать, что она лежит в интервале (посмотреть на точку в микроскоп). А если точка лежит на границе, то какой угодно сильный микроскоп не отличит ее от границы, но мы все еще не будем уверены, что еще более сильный микроскоп нам не поможет. Соответственно, если у нас есть два таких множества, то мы можем определить принадлежность пересечению и объединению, определив, лежит ли точка в одном и другом. Если же у нас есть бесконечное семейство, то мы можем определить принадлежность объединению, заметив, что оно лежит в одном из множеств, а вот для пересечения все хуже - надо определить принадлежность сразу всем.

Но это, естественно, ни в коем случае не "правильное понимание сути". Суть в определении, а понимание у каждого свое. Я вот алгоритмист, и понимание топологии у меня в основном идет от интерпретации вычислимых функций как непрерывных.

[Otta]

Xaositect в сообщении #741394 писал(а):

Лично я задаю вопросы, чтобы Вы взяли определение топологии и начали применять его. Там всего 3 пункта, что может быть проще?

Лично я тоже. Alex_J, это не наводящие вопросы. Это ответы, в которых Вам пытаются указать на некоторые Ваши заблуждения. А вопросы - следствие Вашего же желания иметь контрпример. Так вот он, контрпример. Один из. Уже две страницы Вас пытаются сподвигнуть на то, чтобы Вы лишь обосновали его "контрпримерность" сами. Но, к сожалению, борьбе с тем, что Вы принимаете за флуд, Вы уделяете большее внимание, чем основной теме. Так, что даже возникает вопрос, что же для Вас основное. Вернитесь к заявленной теме, пожалуйста, не отвлекайтесь.

[Alex_J]

Xaositect

Такс. Вот, в том-то и штуковина, что я тоже понимаю открытость как отсутствие у множества (непрерывного, для простоты) граничных точек, тех, которые любой окрестностью-шариком задевают внешнее множество-дополнение. Что, как ни приближайся к краю, а края нет как такового. И что снаружи как раз находится замкнутое - очерченное границей - дополнение.
Но в самом общем, абстрактном, виде открытость - другая. Она, оказывается, определяется самим фактом принадлежности к топологии. К тому набору множеств, который подчиняется всего 3м правилам. И возможно ли совершить хоть какой-то логический переход от общей открытости к "непрерывностной" - мне непонятно.
Непонятно также, что, собственно, дальше. Ну выбрали мы именно такой а не другой набор множеств. Что с ними дальше-то делать, чтобы познать всю таинственную прелесть топологии? ))
Или, может, нужно повыбирать десяток-другой топологий, чтобы понять, в чём фишка?
А если нельзя совершить вышеупомянутый переход - то какого, извините, белого острого корнеплода та и эта открытость называются одинаково?

Именно поэтому очевидный - и известный ещё с вышки - момент с границами-без-граничных-точек я не использовал. Хотя я и написал:

Alex_J в сообщении #741188 писал(а):

Поэтому, отрезки не являются открытыми, нужно брать интервалы.

В этом тоже ошибка по-вашему? Отрезки имеют в себе свои граничные точки, а значит, они не являются открытыми, а значит, по определению...
Это понятно, а что именно непонятно, я подробно написал выше.

Значит, элементы топологии не должны ограничиваться конкретными множествами точек, краями. И почему? Надеюсь самостоятельно это понять.

[Otta]

Alex_J в сообщении #741434 писал(а):

Такс. Вот, в том-то и штуковина, что я тоже понимаю открытость как отсутствие у множества (непрерывного, для простоты) граничных точек, тех, которые любой окрестностью-шариком задевают внешнее множество-дополнение.

Вот! Вот тут собака и порылась. Чтобы хоть как-то определять граничные точки, надо хоть как-то определять окрестности. И именно в топологических пространствах они и определяются. В общем случае. Но в произвольном топологическом пространстве это вовсе не "шарик".

А называются Ваши "открытости" одинаково, потому что из одной следует другая.

-- 29.06.2013, 00:54 --

Alex_J в сообщении #741434 писал(а):

Отрезки имеют в себе свои граничные точки,

В стандартной топологии, еще раз. Вы уверены, что если вещественную прямую наделить другой топологией, то отрезки обязательно будут содержать в себе граничные точки? Почему? Проще отвечать на равносильный вопрос: правда ли, что нет топологий, содержащих все отрезки вещественной прямой. Это как раз тот вопрос, который уже стал навязчивым. )))