Контрпримеры в теории множеств [топология]

[Oleg Zubelevich]

это у Энгелькинга то?

[Someone]

Alex_J в сообщении #740117 писал(а):

множество отрезков $[a,b]$ на вещественной прямой, где a и b - целые, является топологией

Не является. Даже если допустить "вырожденные отрезки" $[a,a]$ и "пустые отрезки".

apriv в сообщении #740122 писал(а):

Думаю, у многих авторов учебников имеется подсознательный страх перед понятием пустого множества.

Скорее дело в традиции. Да и иногда удобно включать в теорию лишние аксиомы, формально выводимые из других.

[iifat]

Alex_J в сообщении #740095 писал(а):

включить в семейство ещё и их попарные пересечения и объединения?

Если вы правильно привели определение, то попарных объединений (в случае бесконечной системы) будет мало.

-- 25.06.2013, 09:34 --

Alex_J в сообщении #740117 писал(а):

Далее речь идёт о том, что элементы топологии открыты - видимо, все. Элемент топологии - множество, значит, речь идёт об открытости множеств, а определение открытости затрагивает элементы множеств.

Как понимаю, где-то там, рядом, должно быть определение отрытости. Не путайте с открытыми отрезками прямой: это частный случай топологии.

[Alex_J]

Someone в сообщении #740126 писал(а):

Не является. Даже если допустить "вырожденные отрезки" $[a,a]$ и "пустые отрезки".

Потому что это не интервалы, т.е. не открытые множества?
Интервалы открыты в "частном случае топологии".
Но:

iifat в сообщении #740133 писал(а):

Как понимаю, где-то там, рядом, должно быть определение отрытости.

Определение открытости использует понятие окрестности. Но ещё раз, что есть окрестность для дискретного множества? Например, множество объектов, не привязанных ни к какой системе координат. С одной стороны, эти объекты не могут иметь окрестности, с другой, из них можно сляпать топологию - она будет состоять из всех возможных сочетаний объектов по $n$ штук, $n=1..N$, $N$ - число объектов в исходном множестве. В определении топологии запрета на это нет. Но множества (сочетания) из $n$ объектов должны быть открытыми, так что же это за открытость?
Окрестность вообще определяется только в пространстве, а тут - объекты, и никакого пространства.
Или мы называем набор объектов открытым множеством "просто так"?
Тогда ещё хуже - дополнение открытого множества считается закрытым, а это будет всего лишь тоже набор объектов, и они ничем не отличаются, чтобы их можно было различать как открытое и закрытое множества.

-- 25.06.2013, 20:30 --

(Оффтоп)

Отличный вопрос, чтобы завалить студента на экзамене.

-- 25.06.2013, 20:38 --

Особенно весело с примером под названием связное двоеточие.

Цитата:

Связным двоеточием называется топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов $\circ$ («открыто») и $\bullet$ («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

$\varnothing$ — пустое множество;
$\{\circ\}$ — множество из одного элемента «открыто»;
$\{\circ,\bullet\}$ — всё пространство.

Т.е. подмножество, состоящее из элемента "открыто", открыто потому, что состоит из элемента "открыто".

Там же говорится, что

Цитата:

Мы видим, что точка $\bullet$ не имеет окрестностей кроме всего пространства

А какие есть окрестности у $\circ$ ???

-- 25.06.2013, 20:39 --

А когда кто-то сможет дать ответ на этот вопрос, скажите, какому определению окрестности будут удовлетворять эти окрестности?

-- 25.06.2013, 20:43 --

Ну и чтобы стало совсем хорошо, приведу определение окрестности в топологии.

Цитата:

Пусть задано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Множество $V \subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$, если существует открытое множество $U\in \mathcal{T}$ такое, что $x \in U \subset V$.

То есть, окрестность и открытость это как яйцо и курица, и никто не знает, кто из кого появился.

-- 25.06.2013, 20:59 --

В дискретных множествах понятие открытости вообще, видимо, теряет смысл.
Если мы в связном двоеточии примем за топологию другой набор множеств:
$\varnothing$, $\{\bullet\}$, $\{\circ,\bullet\}$, - то "открыто" станет по логике определения связного двоеточия закрытым множеством, а "закрыто" - открытым. Тогда понятны слова "открытым называется множество, входящее в топологию", а моё понимание топологии, как набора всех возможных сочетаний элементов исходного множества - неверно.
Но ведь нет какого-либо смысла в "открытости" для дискретного множества, кроме обозначения, что данное множество входит в топологию. А закрытое множество - то, которое не входит.

Тогда для множества $M$ из $N$ объектов $m_i$ можно построить и такую топологию (сделав сначала для определённости множество нумерованным): $\varnothing$, $m_1$, $\{m_1,m_2\}$, ..., $\{m_1,m_2,...,m_N\}$.
Тогда все остальные множества, например $\{m_k,m_{k+1}\}$, $1<k<N$, - "закрытые". Но всё равно это некая игра слов. Логичнее их называть соответственно "входящими" и "не входящими в топологию". Смысла в "открытости" не больше, чем в названии цветов кварков.

[Xaositect]

Так.
Вы сейчас путаетесь с открытостью в $\mathbb{R}^n$, которая обычно определяется до изучения топологических пространств, и открытостью в топологическом пространстве вообще.

Так получилось, что на первом курсе общую топологию не дают, а понятие открытого множества, как одно из фундаментальных в топологии и исторически происходящее именно из рассмотрения окрестностей на $\mathbb{R}$, оказывается полезным. Поэтому определяют специальным образом открытые множества и окрестности на $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^n$ (как множества, содержащие вместе с каждой точкой некоторую ее [сферическую] окрестность, т.е. интервал/шар с центром в ней).

Потом это понятие и связанные с ним понятия, напр. непрерывность функции, можно обобщить на значительно более произвольную ситуацию. А именно, выделяются некоторые основополагающие свойства открытых множеств --- замкнутость относительно пересечения и счетного объединения --- и берутся за новое, более общее определение открытого множества. Совокупность всех открытых множеств называют топологией, а любое открытое множество, содержащее некоторую точку --- ее окрестностью. Путаница происходит из-за того, что это не эквивалент, а обобщение исходных понятий, в частности, не любая окрестность точки в $\mathbb{R}^n$ является сферической окрестностью, можно ввести топологию на $\mathbb{R}$ так, что все открытые множества будут замкнуты в стандартной топологии и т.п.

-- Вт июн 25, 2013 21:05:53 --

Кстати, правильный термин по-русски не "закрытое множество", а "замкнутое"

[Alex_J]

Xaositect

А вот какое определение открытости у Дж. Келли:

Цитата:

Про элементы топологии $\mathcal{T}$ говорят, что они открыты относительно $\mathcal{T}$ ... или, если речь идет только об одной топологии, элементы семейства $\mathcal{T}$ просто называют открытыми множествами.

Можно сказать (интересно, как в оригинале?..) , что открытые в смысле discovered, а не в смысле opened. Т.е. топология, как инструмент, предназначенный для минимально необходимого описания множества, такого описания, что его достаточно, чтобы описать все остальные подмножества с поомщью действий над множествами, входящими в топологию, содержит в себе "обнаруженные" подмножества исходного множества, а не "открытые" в смысле их "доступности". Тогда "замкнутые" подмножества - non-discovered (а не closed), "необнаруженные", по крайней мере, пока не начаты действия над discovered подмножествами. Вот как-то так...

А в $\mathbb{R}^n$, конечно, совершенно специфическая "открытость", исходящая уже из свойств непрерывности и "наличия бесконечного числа точек между любыми двумя точками".

-- 25.06.2013, 21:39 --

В общем случае, значит, мы можем включить в топологию как некий минимальный набор подмножеств, главное, чтобы выполнялись свойства; и тогда только эти подмножества мы и назначаем открытыми; так и все подмножества, и тогда они все называются открытыми, и это называется дискретной топологией (Дж. Келли).

Т.е. "открытость" в общем случае - это лишь следствие волеизъявления создателя конкретной топологии, тогда как в $\mathbb{R}^n$ всё строго, там шарики, окрестности, всё такое...

[Xaositect]

Alex_J в сообщении #740469 писал(а):

интересно, как в оригинале?

Естественно, open.

Alex_J в сообщении #740469 писал(а):

А в $\mathbb{R}^n$, конечно, совершенно специфическая "открытость", исходящая уже из свойств непрерывности и "наличия бесконечного числа точек между любыми двумя точками".

И вовсе даже не непрерывности, а метрики. Таким же, как в $\mathbb{R}$, образом можно определить топологию на любом метрическом пространстве.

[Alex_J]

Там же автор говорит про обычную топологию на множестве вещественных чисел и замечает:

Цитата:

Удобное совпадение: открытый интервал является открытым множеством

- и тем самым обращает внимание на разный смысл слова "открытый".
Если бы всё это разжёвывали студентам на лекции - было бы понимание (у вникающих единиц).

Но мы очень далеко отошли от темы контрпримеров...

Хорошо, отрезки не могут образовать топологию. Значит это - контрпример, а интервалы - образуют, и это упомянуто в Википедии в качестве примера.

При этом пересечение $(a,b)$ и $(b,c)$ даёт $\varnothing$.

-- 25.06.2013, 21:48 --

Xaositect

Хорошо, метрики.

[Oleg Zubelevich]

Контрпример это так тривиально, что даже неинтересно. Берем множество $\{1,0\}$. И семейство его подмножеств $\{1\},\{0\}$ -- это семейство не является топологией в $X$

[Alex_J]

Между прочим, из определения следует, что если мы возьмём из множества $M$ произвольное семейство подмножеств $\mathcal{P}=\{P_i\}$, а затем надстроим его пересечениями и объединениями всех $P_i$ друг с другом, то полученное семейство подмножеств $\mathcal{Q}=\{Q_i\}$ будет образовывать топологию на подмножестве $M$, содержащем все $Q_i$ (а значит, и $P_i$).

-- 25.06.2013, 21:56 --

Oleg Zubelevich

Более глубокое понимание достигается на нетривиальных примерах. Сконструировать тривиальный-то не так и сложно даже начинающему. Но это мало что даст.

-- 25.06.2013, 21:59 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich
Вы мне напомнили студенческие времена, когда преподаватели на лекциях, выписывая гигантскую формулу на полдоски, говорили "очевидно, это равно нулю", и многие студенты просто коллапсировали сразу, потому что это ему очевидно, а нам нужно было разжевать и ткнуть пальцем.

...однако постепенно некоторые просекли фишку и стали на защитах и экзаменах в ответ на вопрос "чему равна вот эта здоровенная хрень" говорить "нулю?!"
Иногда даже угадывали.

[Oleg Zubelevich]

Alex_J в сообщении #740478 писал(а):

Более глубокое понимание достигается на нетривиальных примерах.

любопытно было бы взглянуть на нетривиальный пример "не-топологии"

-- Вт июн 25, 2013 21:07:39 --

Alex_J в сообщении #740478 писал(а):

ы мне напомнили студенческие времена, когда преподаватели на лекциях, выписывая гигантскую формулу на полдоски

это Вы про мой пример со множесмтвом $\{1,0\}$?

[Alex_J]

Oleg Zubelevich в сообщении #740481 писал(а):

любопытно было бы взглянуть на нетривиальный пример "не-топологии"

Пожалуйста.
Из теории множеств.
Множество всех цветовых сочетаний породистых кошек.
Множество пар (Заказчик, Исполнитель) в сфере b2b.
Множество "следов" движения неточечного объекта в пространстве (например, фигура, образуемая кистью конечного размера, на холсте, бумажном либо виртуальном, неважно)
Последнее множество можно разделить на подмножества самопересекающихся и несамопересекающихся следов, и любые два элемента из разных подмножеств не гомеоморфны друг другу.

Достаточно?

Можете любоваться своим {0,1} дальше.

-- 25.06.2013, 22:21 --

Oleg Zubelevich

Это я про

Oleg Zubelevich в сообщении #740477 писал(а):

Контрпример это так тривиально, что даже неинтересно.

Да да, была ещё любимой у лекторов фраза "доказательство тривиально, сделаете сами", а на экзамене доказательство спрашивают.

[Oleg Zubelevich]

Alex_J в сообщении #740490 писал(а):

Да да, была ещё любимой у лекторов фраза "доказательство тривиально, сделаете сами", а на экзамене доказательство спрашивают.

да, на экзамене еще и задачи дают, которые не прорешивались до этого. хороших студентов это не напрягает как правило

[mihailm]

Alex_J в сообщении #740490 писал(а):

...Да да, была ещё любимой у лекторов фраза "доказательство тривиально, сделаете сами", а на экзамене доказательство спрашивают.

(Оффтоп)

Так бы и задушил всех лекторов, злыдней. Сатрапы! Тривиально, очевидно, доказывать нечего, это технический момент, $\pi$ с лапкой, $\pi$ с дужкой...

[Someone]

Господи, Alex_J, какую Вы белиберду пишете...

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

Someone в сообщении #740126 писал(а):

Не является. Даже если допустить "вырожденные отрезки" $[a,a]$ и "пустые отрезки".

Потому что это не интервалы, т.е. не открытые множества?

Нет, совершенно по другой причине. Какое отношение открытость в стандартной топологии числовой прямой имеет к совершенно другой топологии? Постарайтесь понять настоящую причину, почему Ваше семейство множеств, даже дополненное вырожденными и пустыми "отрезками", не является топологией.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

Определение открытости использует понятие окрестности.

При Вашем определении топологии - не использует. Топология - это семейство открытых множеств, поэтому всякий элемент топологии является открытым множеством.
Вообще, стандартное определение такое: топологическое пространство - это упорядоченная пара $(X,\mathscr T)$, где $X$ - множество, а $\mathscr T$ - семейство подмножеств множества $X$, называемое топологией на множестве $X$ и удовлетворяющее следующим трём аксиомам:
Т1. $\varnothing\in\mathscr T$ и $X\in\mathscr T$;
Т2. если $U\in\mathscr T$ и $V\in\mathscr T$, то $U\cap V\in\mathscr T$;
Т3. если $\mathscr S\subseteq\mathscr T$, то $\bigcup\mathscr S\in\mathscr T$.
Элементы семейства $\mathscr T$ называются открытыми множествами.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

Но ещё раз, что есть окрестность для дискретного множества?

Что значит "для"? В каком топологическом пространстве?
Стандартно, если задано топологическое пространство $(X,\mathscr T)$, то окрестностью точки $x\in X$ (соответственно, множества $A\subseteq X$) называется произвольное открытое множество, содержащее точку $x$ (соответственно, множество $A$). Поэтому, как только Вы определите топологическое пространство, в котором содержится Ваше "дискретное" множество, так сразу же будет ясно, какие у него окрестности.
В различных ситуациях слово "окрестность" может иметь разный смысл.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

Например, множество объектов, не привязанных ни к какой системе координат.

Системы координат к топологии никакого отношения не имеют.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

С одной стороны, эти объекты не могут иметь окрестности

Вздор.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

из них можно сляпать топологию - она будет состоять из всех возможных сочетаний объектов по $n$ штук, $n=1..N$, $N$ - число объектов в исходном множестве. В определении топологии запрета на это нет. Но множества (сочетания) из $n$ объектов должны быть открытыми, так что же это за открытость?

Ну, если уж мы определили на конечном множестве такую топологию, в которой все подмножества открыты (эта топология называется дискретной), то так и будет. А что Вам не нравится? Кстати, дискретная топология довольно часто встречается. Даже на бесконечных множествах.
Кстати, $n=0$ Вы забыли. Пустое множество тоже открыто.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

Но ведь нет какого-либо смысла в "открытости" для дискретного множества, кроме обозначения, что данное множество входит в топологию.

А это в любом топологическом пространстве так: весь смысл открытости множества состоит исключительно в том, что это множество является элементом топологии.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

А закрытое множество - то, которое не входит.

Это неверно. Во-первых, не "закрытое" множество, а замкнутое. Во-вторых, замкнутым называется множество $F\subseteq X$, дополнение которого (то есть, множество $X\setminus F$) открыто. А вовсе не любое "не открытое" множество. Кстати, множество может оказаться одновременно и открытым, и замкнутым. Например, множества $\varnothing$ и $X$ оба являются одновременно открытыми и замкнутыми (такие множества так и называются - открыто-замкнутыми). В дискретном пространстве все множества такие.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

Тогда для множества $M$ из $N$ объектов $m_i$ можно построить и такую топологию (сделав сначала для определённости множество нумерованным): $\varnothing$, $m_1$, $\{m_1,m_2\}$, ..., $\{m_1,m_2,...,m_N\}$.

Конечных топологий довольно много, есть и такая. Кстати, у Вас тут ошибка: должно быть написано не $m_1$, а $\{m_1\}$.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

Тогда все остальные множества, например $\{m_k,m_{k+1}\}$, $1<k<N$, - "закрытые".

Неверно. Вовсе не "все остальные" множества замкнуты. Полезная для понимания задача: перечислите все замкнутые множества Вашего топологического пространства.

Alex_J в сообщении #740445 писал(а):

Но всё равно это некая игра слов. Логичнее их называть соответственно "входящими" и "не входящими в топологию". Смысла в "открытости" не больше, чем в названии цветов кварков.

Глупости, вызванные непониманием. Когда разберётесь, сами будете смеяться.

Alex_J в сообщении #740469 писал(а):

Т.е. "открытость" в общем случае - это лишь следствие волеизъявления создателя конкретной топологии, тогда как в $\mathbb{R}^n$ всё строго, там шарики, окрестности, всё такое...

В случае стандартной топологии пространства $\mathbb R^n$ "открытость" также является "следствием волеизъявления создателя", просто из всех топологий, которые можно придумать для пространства $\mathbb R^n$, именно эта топология оказалась наиболее полезной.

Alex_J в сообщении #740469 писал(а):

А в $\mathbb{R}^n$, конечно, совершенно специфическая "открытость", исходящая уже из свойств непрерывности и "наличия бесконечного числа точек между любыми двумя точками".

Непрерывность определяется топологией.

Alex_J в сообщении #740469 писал(а):

Можно сказать (интересно, как в оригинале?..) , что открытые в смысле discovered, а не в смысле opened. Т.е. топология, как инструмент, предназначенный для минимально необходимого описания множества, такого описания, что его достаточно, чтобы описать все остальные подмножества с поомщью действий над множествами, входящими в топологию, содержит в себе "обнаруженные" подмножества исходного множества, а не "открытые" в смысле их "доступности". Тогда "замкнутые" подмножества - non-discovered (а не closed), "необнаруженные", по крайней мере, пока не начаты действия над discovered подмножествами. Вот как-то так...

Alex_J в сообщении #740490 писал(а):

Пожалуйста.
Из теории множеств.
Множество всех цветовых сочетаний породистых кошек.
Множество пар (Заказчик, Исполнитель) в сфере b2b.
Множество "следов" движения неточечного объекта в пространстве (например, фигура, образуемая кистью конечного размера, на холсте, бумажном либо виртуальном, неважно)
Последнее множество можно разделить на подмножества самопересекающихся и несамопересекающихся следов, и любые два элемента из разных подмножеств не гомеоморфны друг другу.

Будете писать всякие идиотизмы - модератор рассердится и заблокирует.