Взятие интегралов - творческая задача?

[SpBTimes]

nnosipov в сообщении #844414 писал(а):

Но для современных студенческих олимпиад вполне сгодился бы.

Что же вы такого плохого мнения о современных студентах? :)

Otta
А авторское решение - такое же?

[Ms-dos4]

Otta
Красивый интеграл
roga
А где вы его взяли? Простых ходов мне не видно, да и ответ Математики далеко не впечатлил (даже определённый интеграл выражается через значения спец. функций). Взять я думаю можно, но мороки будет очень много и никакой красоты.

[Otta]

SpBTimes
Авторское - это чье, мое, что ли? ))
Понятно, тут других ходов нет, и формула дополнения просится сразу.

[SpBTimes]

Otta
Может вы что-то остроумное придумали, кто ж знает :)

[nnosipov]

SpBTimes в сообщении #844505 писал(а):

Что же вы такого плохого мнения о современных студентах? :)

А что в них хорошего? Не надо судить о студентах по студентам столичных вузов, которые снимают сливки со всей страны. Таких студентов подавляющее меньшинство, и они погоды не делают.

[Otta]

(Оффтоп)

О, собрат по нищастю.

[Otta]

Ну ладно. Еще один известный.

$$\int_0^1\frac{x^7-1}{\ln x} \,dx$$

[Ms-dos4]

Otta
Этот не интересен, ввиду того, что его можно решить и "тупо в лоб", зная асимптотитку функции

$\[\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {\frac{{{x^7} - 1}}{{\ln x}}dx} = \left. {[{\mathop{\rm Ei}\nolimits} (8\ln x) - {\mathop{\rm Ei}\nolimits} (\ln x)]} \right|_0^1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [{\mathop{\rm Ei}\nolimits} (8\ln x) - {\mathop{\rm Ei}\nolimits} (\ln x)] = \\ = \mathop {\lim }\limits_{\xi \to 0} [{\mathop{\rm Ei}\nolimits} (8\xi ) - {\mathop{\rm Ei}\nolimits} (\xi )] = \ln 8 \end{array}\] $
Требуем интересного (типа того с гамма функцией)

[Otta]

Тупо в лоб неинтересно, давайте без спецфункций и асимптотики.

[Ms-dos4]

Введём параметр $\[I(p) = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^p} - 1}}{{\ln x}}dx} \]$

Тогда $\[\frac{d}{{dp}}I = \int\limits_0^1 {{x^p}dx} = \frac{1}{{p + 1}}\]$ и отсюда $\[I = \ln (p + 1)\]$

Но опять же, это не так интересно

[Otta]

Хых, Вам не угодишь. ))
Ладно, что-нить еще повспоминаю. Но шансов на ту же красоту мало... видите, десять лет (если не больше), а помню, один раз увидела и впечатлилась. На каждый день таких не насобираешься.

[svv]

Вот вы где все. А Прр(М) без присмотра.

[Otta]

А мы спрятались.

ЗЫ ... да там и нет никого. Одни спасибы.

[SpBTimes]

А я бы так делал

$$ \int\limits_0^1 \frac{x^7 - 1}{\ln(x)} dx = \int\limits_0^1dx \int\limits_0^7 x^ydy = \int\limits_0^7dy\int\limits_0^1x^ydx = \int\limits_0^7 \frac{dy}{y + 1} = \ln(8) $$

[roga]

Ms-dos4 в сообщении #844513 писал(а):

rogaА где вы его взяли? Простых ходов мне не видно, да и ответ Математики далеко не впечатлил (даже определённый интеграл выражается через значения спец. функций). Взять я думаю можно, но мороки будет очень много и никакой красоты.

Взял в каком-то форуме где-то год назад. Никто так и не смог нормально взять. Только через сумму ряда. Но автор темы (он иностранец) уверял, что решение должно быть не заумным.