Взятие интегралов - творческая задача?

[Shtorm]

SpBTimes, EtCetera и снова спасибо за такой интересный интеграл.

[Shtorm]

Найти неопределённый интеграл, без использования неэлементарных функций:

$$\int\left(\frac{1-x^2}{\ln x\cdot \sqrt{(1-x^2)^3}}-\frac{\arcsin x}{x\cdot(\ln x)^2}\right)dx$$

[Otta]

Ну какой-то он слишком очевидный...

[Shtorm]

Otta, хм...ну, я надеюсь не для всех. Или зря надеюсь? А напишите какой-нибудь ещё олимпийский!

-- Вт апр 01, 2014 11:25:27 --

(ну будем считать, что для определённых слоёв студентов - неочевидный)

[Otta]

Ну пожалуйста. Не олимпийский. Из старых экзаменационных билетов по матанализу для второго курса. Лет десять назад разбирали бумаги на кафедре и этот "хлам" подняли и, к сожалению, выбросили.

$$\int_0^1 \ln \Gamma (x)\,dx$$

Я боюсь, что ничего неизвестного участникам форума мне написать не удастся.

[nnosipov]

Shtorm, вот Вам для опытов ещё один интеграл:

$$ \int\limits_0^\infty ((1+x^2)\ln{(1+x^{-2})}-1)\,dx. $$

[Shtorm]

nnosipov, если например расписать Ваш интеграл:

$$\int\limits_0^\infty[\ln(1+x^2)-\ln(x^2)+x^2\ln(1+x^2)-x^2\ln(x^2)-1]dx$$

то дальше в лоб проинтегрировать, а затем грамотно поработать с пределами. Но наверное должен быть какой-то олимпийский приёмчик позволяющий упростить всё это дело. Да?

[provincialka]

nnosipov, а почему интеграл сходится в бесконечности? Может, там в показателе степени "минус" пропущен? Или не там стоит?

[Otta]

provincialka в сообщении #844387 писал(а):

а почему интеграл сходится в бесконечности?

А что ему мешает? Сходится.

[provincialka]

А, ну да, невнимательно посмотрела.

[Shtorm]

provincialka, я знаю, что этот интеграл сходится, но в принципе олимпийские интегралы могут и расходиться

[roga]

Такой интеграл творческий? Я не смог его взять

$\int \limits_0^{\pi}\frac{x^2 \sin(x)}{1+\sin^2(x)} \, dx$

[nnosipov]

Shtorm в сообщении #844318 писал(а):

Но наверное должен быть какой-то олимпийский приёмчик позволяющий упростить всё это дело. Да?

Нет На самом деле это был обычный, а не олимпийский интеграл. Но для современных студенческих олимпиад вполне сгодился бы.

Shtorm в сообщении #844318 писал(а):

... в лоб проинтегрировать

Именно. Здесь даже первообразную можно найти.

[SpBTimes]

Otta
Какое зверство!
Пусть

$$ I = \int\limits_0^1 \ln(\Gamma(x)) dx $$

Замена $x \to 1 - x$ приводит к

$$ I = \int\limits_0^1 \ln(\Gamma(1-x)) dx $$

Тогда, используя формулу дополнения,

$$ 2I = \int\limits_0^1 \ln(\Gamma(x)\Gamma(1-x)) dx = \ln(\pi) - \frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi} \ln(\sin(x)) dx = \ln(\pi) - \frac{2}{\pi} \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin(x)) dx = \ln(2\pi) $$

Значит,

$$ I = \ln(\sqrt{2\pi}) $$

[Otta]

SpBTimes
Все верно.
... а мне понравился. :)