P.S. А что такое физическая геометрия я и не слыхивал, но в любом случае звучит это для меня как физическая математика или химическая математика или биологическая геометрия.
Геометрия пространства в конкретной физической теории.
Например, в классической механике это евклидова геометрия, в СТО -- псевдоевклидова.
механика определяет геометрию
Незабвенный В.И.Арнольд считал математику, а геометрию уж точно,

частью физики=)
Так как геометрия определяет очень много в классической механике, неудивительно, что можно смотреть наоборот.
В современной теоретической физике механика важна как язык, способный описать произвольную физическую систему. И столь нелюбимые вами лагранжев и гамильтонов формализмы и есть части этого языка. А вариационное исчисление это одна из основ этого языка, к тому же сама по себе связанная с геометрией. Например, минимальные поверхности( т.е. поверхности нулевой средней кривизны) это критические точки функционала площади.
Можно вывести закон сохранения механической энергии из законов Ньютона в механике. Но вот, в квантовой теории поля, законами Ньютона никакими не пахнет, а закон сохранения энергии-импульса остаётся, потому что существует связь законов сохранения с симметриями пространства-времени. И эту фундаментальную вещь из законов Ньютона не увидеть, а на лагранжевом языке она видна. А ещё существует калибровочная симметрия, которая, например, порождает э/м поле как геометрический объект

связность в расслоении.
Поэтому геометрия и симметрии это фундаментальнейшие вещи.
Тогда почему физику квалифицируют как точную науку?
Мне иногда кажется, что "физика

точная наука" это миф, распространяемый самими физиками среди народонаселения то ли по приколу, то ли для пущей солидности.
Любой первокурсник физфака знает, что физическая величина

физическая величина

погрешность. На физфаке СПЬГУ даже шутка есть такая: лабист это преподаватель

погрешность.