Математическое описание явлений Природы

[Munin]

Nirowulf в сообщении #844390 писал(а):

Суть в том, что центральным зарядом называется оператор, коммутирующий со всеми генераторами симметрии. А казимир это оператор, коммутирующий со всеми генераторами алгебры Ли.

То есть, по сути, это одно и то же, только на разных языках? Одно для алгебры Ли, другое - для группы симметрии.

С понятием центрального заряда я немножко знаком. Примерно в объёме Рубакова.

За литературу спасибо.

[longstreet]

Munin в сообщении #844596 писал(а):

За литературу спасибо.

+1! Отличные книги, не знал таких.

[ser]

warlock66613 в сообщении #844567 писал(а):

Я и говорю о конкретном примере - о статье "О принципах кратчайшего времени и наименьшего действия". В ней никакого научного результата, одна вода.
Если есть - покажите - вот $U(\mathbf r)$, вот начальные условия, получающаяся траектория не удовлетворяет принципу наименьшего действия. Ну а нет - значит нет.

Ну, во-первых, Вы говорите не о конкретных примерах, т.е. о полученных в них расчетных данных, которые нельзя проверить, а о статье в общем, а, во-вторых, Вы писали именно о том, что у меня нет конкретных результатов, которые нельзя проверить, т.е. имели в виду конкретные расчетные данные. Так вот в этой статье их хоть отбавляй (примерно несколько десятков наборов начальных данных и получающиеся при этом траектории и действие на этих траекториях). Проверяйте и пишите, где нашли ошибку, а не пишите, что Вы этого не видите, потому что очки дома забыли.

Но теперь Вы заговорили вроде бы как еще и о теоретических выводах. Да, в этой статье их немного (зато какие) - утверждение о том, что принципы кратчайшего времени и наименьшего действия являются антинаучными, т.к. опровергаются экспериментальными данными. Вот вывод в самом конце статьи

"с полной уверенностью можно констатировать, что никакого принципа наименьшего действия, равно как и самой величины “действия”, в Природе не существует, т.е. научная ценность этого принципа примерно такая же как должность 5-го заместителя младшего помощника старшего дворника. При этом если и считать «действие» мерой чего нибудь то ни в коем случае не мерой механической формы движения материи, а мерой добра и зла, которые каждый автор понимает по своему чисто субъективно и для различных задач изобретает новые критерии оценки этих величин."

А вот во второй статье "Опять о принципе наименьшего действия" все как раз наоборот - экспериментального материала не очень много, а вот теоретических выводов хоть отбавляй. Я даже процитирую их все

"1- ПНД1 (Эйлера-Лагранжа) и ПНД2 (Гамильтона-Остроградского) это совершенно разные принципы и объединяет их в отличие от других вариационных принципов только то, что они оба интегральные и у них совпала размерность величины, которую надо минимизировать.
2- Если установить единые правила в вариационном исчисление, то остаться должен только один ПНД, т.к. они оба получаются из одних и тех же исходных данных, но при разных правилах варьирования переменных (изохронное и изоэнергетическое варьирование).
3- ПНД2 не совместим с принципами механики и должен применяться только для решения геометрических задач, т.е. для того, для чего он и создавался Гамильтоном и Остроградским.
4- ПНД1 и ПНД2 являются локальными принципами и чисто математически применимы только на небольших участках путей.
5- ПНД1 и ПНД2 даже чисто теоретически не применимы для решения задач механики, где у нас присутствует трение, а т.к. в реальных механических системах всегда присутствует трение, то по большому счету не применимы в механике никогда.
6- ПНД2, во-первых, не имеет непосредственного отношения к очень сырой гипотезе Фейнмана об интегралах по путям в квантовой механике даже как принцип стационарного действия, а, во-вторых, его просто нельзя использовать для этих целей.
7- Т.к. ОТО Эйнштейна согласуется с ПНД2, а он не согласуется с принципами механики, то ОТО является не механической теорией, а геометрической, т.е. не имеющей ничего общего с реальными процессами, протекающими в Природе. При этом Эйнштейн не имел права выводить уравнения ОТО из ПНД2, т.к. время у него не является независимой переменной и надо было использовать ПНД1.
8- ПНД1 согласуется с принципами механики и может быть рекомендован как развлечение для математиков, которым надо попрактиковаться на каких то идеальных примерах из механики.
9- Необходимо признать метод получения дифференциальных уравнений, описывающих функционирование механических систем, с использованием лагранжиана нецелесообразным, т.к. он не позволяет описывать реальные механические системы.
10- Необходимо сразу ориентировать студентов на решение дифференциальных уравнений численными методами, т.к. реальные механические системы очень редко описываются линейными дифференциальными уравнениями, которые можно решить аналитически.
11- Следует признать дальнейшее применение вариационного исчисления в механике не целесообразным и использовать его только для решения геометрических задач, т.е. для того, для чего оно и создавалось первоначально.
12- Необходимо рекомендовать университетам страны исключить курс Теоретической физики Ландау и Лифшица из числа учебников."

Но, раз Вы сослались на первую статью, то докажите, что вывод о том, что принципы кратчайшего времени и наименьшего действия являются антинаучными, это ошибочный вывод. Хотя, если Вы считаете, что это малозначащий вывод, т.е., как Вы пишите, вода, то можете не доказывать, т.к. в этом случае понятно, что Вы и сами вода, с которой не стоит и общаться, т.к. настоящий ученый спокойно пройти мимо такого вывода не может.

Сергей Юдин.

Toucan:

См. post844691.html#p844691

[Oleg Zubelevich]

это , в конце концов, научный форум или бордель?

[warlock66613]

ser в сообщении #844599 писал(а):

Так вот в этой статье их хоть отбавляй (примерно несколько десятков наборов начальных данных и получающиеся при этом траектории и действие на этих траекториях).

Значит таков научный результат этой статьи - несколько десятков (хотя в самой статье максимум десяток) расчётов траекторий и действия для них, согласующиеся с принципом наименьшего действия? Ну что ж, тогда он есть. Просто он не очень согласуется с выводом, даже противоречит ему, поэтому получается, что расчёты - сами по себе, а вывод - сам по себе. А поскольку расчёты подобные - не новость, а обычная учебная задача, то и получается, что из статьи можно убрать всё кроме вывода. Вот только тогда будет видно, что она из себя на самом деле представляет, а вы, как я понимаю, этого не хотите.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #844606 писал(а):

это , в конце концов, научный форум или бордель?

Там, где присутствует ser - там бордель.

Пока не пришли модераторы.

Но модераторы почему-то ser игнорируют.

[Nirowulf]

Munin в сообщении #844596 писал(а):

То есть, по сути, это одно и то же, только на разных языках? Одно для алгебры Ли, другое - для группы симметрии.

С понятием центрального заряда я немножко знаком. Примерно в объёме Рубакова.

Я тоже не знаток всех тонкостей этом вопросе, но насколько я понимаю, то не совсем. Соль в том, что центральный заряд всегда казимир. Обратное неверно.

Например, в алгебре Галилея, масса $M$ это центральный заряд, а также казимир. Но есть ещё второй казимир $-$ т.н. инвариант массовой оболочки $ME-\frac{P^2}{2},$ который не является центральным зарядом.

[Munin]

Спасибо, значит, надо смотреть литературу.

[Toucan]

ser в сообщении #844599 писал(а):

Ну, во-первых,
...

ser, предупреждение за злокачественное невежество и пропаганду лженауки.

[ser]

warlock66613 в сообщении #844610 писал(а):

Значит таков научный результат этой статьи - несколько десятков (хотя в самой статье максимум десяток) расчётов траекторий и действия для них, согласующиеся с принципом наименьшего действия? Ну что ж, тогда он есть. Просто он не очень согласуется с выводом, даже противоречит ему, поэтому получается, что расчёты - сами по себе, а вывод - сам по себе. А поскольку расчёты подобные - не новость, а обычная учебная задача, то и получается, что из статьи можно убрать всё кроме вывода. Вот только тогда будет видно, что она из себя на самом деле представляет, а вы, как я понимаю, этого не хотите.

Вы сами то хоть поняли, что написали. А, чтобы другим читателям было понятно о чем у нас идет речь, я просто приведу данные по нескольким вычислительным экспериментам из этой статьи, где явно видно, что действие на прямом пути не является минимальным, т.е. ПНД не соблюдается. Пусть у нас имеются два заряда разного знака q=q1=0,0005 К. Масса обоих зарядов 1 кг и второй заряд закреплен неподвижно, как показано на скриншоте моей программы Hrono2, с координатами X=0, Y= -10 м. Подвижный заряд движется из точки 1 с координатами X= -50 м, Y= 0 м в точку 2 с координатами X= 18 м, Y= -0,01 м. Движение возможно по двум направляющим, т.е. окольным путям (прямая линия и дуга окружности) и как свободное движение, т.е. по прямому пути. Естественно, при свободном движении интеграл по пути от лагранжиана (T-U), т.е. действие, должно быть минимальным, но, как видим, минимальное действие получается при движении по прямой линии. Время движения кругом получается 4,88 с, а начальные скорости были такими
прямая линия VX=9,15 м/с VY=0 м/с
дуга окружности VX=5,168 м/с VY= - 12,92 м/с
свободное движение VX=10 м/с VY= -6 м/с



Можно привести еще много и других данных, но зачем. Если какой то принцип или закон не соблюдается хотя бы в одном случае, то это уже не принцип и не закон. Хотя еще одну картинку я все же приведу. Здесь заряд движется уже в поле двух зарядов и у нас всего один окольный путь (дуга окружности), а все остальные пути прямые, т.е. имеем на них свободное движение. Но, как видно по данным, приведенным мною в первой статьи, ПНД здесь соблюдается только в двух случаях из пяти (сиреневая кривая и сине-красная). И это при условии, что во всех вариантах свободного движения я для сравнения с ними рассматривал только один окольный путь и при чем один и тот же. Так что говорить о ПНД, как о каком то глобальном принципе это просто смешно. А, если Вы не согласны, то посчитает сами действие в приведенных мною примерах и убедитесь в правильности моих расчетов. А, воспользовавшись моей программой Hrono2, которая позволяет смоделировать движение более чем в десяти различных полях (мы рассмотрели только движение в центральном поле с обратной квадратичной зависимостью), Вы убедитесь, что ПНД соблюдается только в одном поле - поле плоского конденсатора, т.е., если и является принципом, то очень частным (для примерно 1% задач).



Сергей Юдин.

[svv]

Т.е. Вы считаете, что минимальное действие должно быть на прямой? А почему?
Может, для начала рассмотреть полет камня?

[warlock66613]

svv, обратите внимание, что прямой путь и путь по прямой у ser - это разные вещи, не перепутайте.

[svv]

Да, в самом деле... О том, насколько тонким должен быть подход, говорит сравнение этих двух цитат.

ser в сообщении #844741 писал(а):

где явно видно, что действие на прямом пути не является минимальным

ser в сообщении #844741 писал(а):

но, как видим, минимальное действие получается при движении по прямой линии

ser в сообщении #844741 писал(а):

интеграл по пути от лагранжиана (T-U), т.е. действие

ser, я желаю Вам всяческих успехов, только небольшое техническое замечание: там по времени интегрирование, не по пути.

[ser]

svv в сообщении #844749 писал(а):

Т.е. Вы считаете, что минимальное действие должно быть на прямой? А почему?
Может, для начала рассмотреть полет камня?

Оно не должно быть на прямой. Прямая это один из окольных путей, которые я рассмотрел, а их бесконечное множество и все их я рассматривать не буду. Но хватит и тех, что рассмотрел, т.к. ПНД уже не работает. А полет камня, вернее ракеты, в задаче Фейнмана я уже давно рассмотрел и в программе Hrono2 есть даже кнопочка для загрузки исходных данных по этой задаче. Как показал вычислительный эксперимент в этой задаче и ПНД в релятивистской форме тоже не работает.

Сергей Юдин.

-- Чт апр 03, 2014 00:17:53 --

warlock66613 в сообщении #844753 писал(а):

svv, обратите внимание, что прямой путь и путь по прямой у ser - это разные вещи, не перепутайте.

Это не у меня. Это во всех учебниках по вариационному исчислению

Сергей Юдин.

-- Чт апр 03, 2014 00:22:11 --

svv в сообщении #844756 писал(а):

ser, я желаю Вам всяческих успехов, только небольшое техническое замечание: там по времени интегрирование, не по пути.

Спасибо за замечание. Это действительно описка, т.к. интегрирование по пути было у Эйлера, а начиная с Лагранжа стало интегрирование по времени.

Сергей Юдин.

[warlock66613]

ser в сообщении #844741 писал(а):

А, чтобы другим читателям было понятно о чем у нас идет речь, я просто приведу данные по нескольким вычислительным экспериментам из этой статьи, где явно видно, что действие на прямом пути не является минимальным, т.е. ПНД не соблюдается. Пусть

Ну что ж, давайте и в самом деле проведём парочку численных экспериментов.
Я так и не смог вычленить из вашего поста полное описание данных для расчётов, поэтому мои данные могут не в точности соответствовать вашим расчётам, но если вы скажете, что на что поменять - я поменяю.
Итак, рассматривается движение пробного заряда в центральном кулоновском поле неподвижного заряда в начале координат. За единицу заряда принимаем величину неподвижного заряда ($0.0005\text{ Кл}$); за единицу массы - массу пробного заряда ($1\text{ кг}$); за единицу длины - величину проекции радиус-вектора начального положения заряда на ось $Oy$ ($10\text{ м}$); единица времени подбирается так, чтобы коэффициент в законе Кулона был $1$, она получается равной $\frac 2 3\text{ с}$.
Исходные данные. Величина пробного заряда $q = -1\,(= -0.0005\text{ Кл})$. Начальное положение $(-5, 1) = (-50\text{ м}, 10\text{ м})$, начальная скорость $(0.6667, -0.4) = (10\text{ }\text{м}/\text{с}, -6\text{ }\text{м}/\text{с})$. Время в пути $7.32 = 4.88\text{ с}$.
Вначале считаем истинную траекторию.

(Код Mathematica)

q = -1
T = 7.32
s = NDSolve[{
   x''[t] == q*x[t]/(x[t]^2 + y[t]^2)^(3/2),
   y''[t] == q*y[t]/(x[t]^2 + y[t]^2)^(3/2),
   x[0] == -5,
   y[0] == 1,
   x'[0] == 0.6667,
   y'[0] == -0.4
   },
  {x, y},
  {t, 0, T}
  ]
xt[t_] = First[x[t] /. s]
yt[t_] = First[y[t] /. s]
ParametricPlot[{xt[t], yt[t]}, {t, 0, T}, Frame -> True, ImageSize -> Medium]

xend = xt[T]
yend = yt[T]

Вот что получается:

То есть довольно похоже на траекторию на вашем скриншоте. Конечная точка траектории имеет координаты $(1.7997, 1.00187)$.
Теперь давайте проверим, действительно ли этой траектории соответсвует минимум действия. Для этого подсчитаем действие для этой траектории и для нескольких других, начинающихся и кончающихся в тех же точках, но отличающихся от истинной. Я взял несколько разных синусоидальных отклонений с амплитудой $0.1$

(Код Mathematica)

d1[t_] := 0.1 * Sin[t * Pi/ T]
d2[t_] := 0.1 * Sin[-t * Pi/ T]
d3[t_] := 0.1 * Sin[2*t * Pi/ T]
d4[t_] := 0.1 * Sin[3*t * Pi/ T]
d5[t_] := 0.1 * Sin[-3*t * Pi/ T]

и получил

(Код Mathematica)

S[x_, y_] := NIntegrate[(x'[t]^2 + y'[t]^2) / 2 - q/Sqrt[x[t]^2 + y[t]^2], {t, 0, T}]
Sdelta[x_, y_, xdelta_, ydelta_] := (
    xsumm[t_] = x[t] + xdelta[t];
    ysumm[t_] = y[t] + ydelta[t];
    S[xsumm, ysumm]
  )

St = S[xt, yt]
St1 = Sdelta[xt, yt, d1, d1]
St2 = Sdelta[xt, yt, d2, d2]
St3 = Sdelta[xt, yt, d3, d4]
St4 = Sdelta[xt, yt, d5, d3]

следующие значения для действия:
для истинной трактории $8.738$, для близких к истинной - $8.753$, $8.752$, $8.796$ и $8.785$. Мы видим, что для истинной траектории действие минимально.

Теперь проделаем то же самое не для истинной траектории, а для равномерного движения по прямой из начальной точки в конечную.

(Код Mathematica)

xn[t_] = xt[0] + ((xt[T] - xt[0]) / T) * t
yn[t_] = yt[0] + ((yt[T] - yt[0]) / T) * t

Sn = S[xn, yn]
Sn1 = Sdelta[xn, yn, d1, d1]
Sn2 = Sdelta[xn, yn, d2, d2]
Sn3 = Sdelta[xn, yn, d3, d4]
Sn4 = Sdelta[xn, yn, d5, d3]

Мы получим следующие значения действия:
для движения по прямой $7.099$, а для вариаций около неё $7.018$, $7.191$, $7.101$ и $7.370$.
Видим, что для прямой траектории действие не минимально ($7.099 > 7.018$), как и должно быть в соответствии с принципом наименьшего действия, ведь движение по прямой не является истинной траекторией в данной задаче.
Таким образом, численный эсперимент подтверждает принцип наименьшего действия, а вам, ser, надо искать у себя ошибку.