Светоскоростной характер волновых уравнений КМ

[Lvov]

Lvov в сообщении #842295 писал(а):

Последней своей задачей в данной теме я считаю привести графики базовой функции для трехмерного варианта УКГ.

Я несколько видоизменил графики для одномерного варианта уравнения Клейна-Гордона для удобства сравнения и разместил их на одном рисунке с графиками базовой функции для трехмерного варианта УКГ. В обоих случаях время соответствует $10$ светоскоростным комптоновским размерам.
На графиках я привел зависимость от расстояния, выраженного в комптоновских единицах, действительной и мнимой частей базовых функций (синий и зеленый цвета), а также их модуль и и плотность заряда электрона (красный и фиолетовый цвета). Сверхскоростная часть мнимой составляющей функций на рисунках не показана.



Можно заметить, что в трехмерном случае плотность заряда и вероятность обнаружения частицы в большей степени сосредоточены близ светоскоростного фронта волны, чем в одномерном случае.
Замечу, что в этот раз я вел расчеты при использовании формул представления функций Бесселя в виде степенных рядов, что на несколько порядков увеличило скорость расчетов.

[Munin]

Lvov в сообщении #843006 писал(а):

Можно заметить, что в трехмерном случае плотность заряда и вероятность обнаружения частицы в большей степени сосредоточены близ светоскоростного фронта волны, чем в одномерном случае.

Вот это верно. И вы можете сами "на пальцах" понять причины.

[Lvov]

Munin в сообщении #843101 писал(а):

И вы можете сами "на пальцах" понять причины.

Сам на пальцах не могу, подскажите пожалуйста.

Замечание к графикам в моем предыдущем сообщении.
На графике для трехмерного случая я не отобразил первый член вещественной части функции вида $\delta(t-r)/r.$ Если этот вклад представить размазанным вдоль радиуса на единичном комптоновском интервале, то он будет иметь вид прямоугольника высотой $0,1$ в районе координаты $x=10.$
В обозначениях отрицательных значений уровня функции (нижняя часть вертикальной шкалы) допущены ошибки. Цифры должны меняться от нуля до минус 0,5.

-- 30.03.2014, 18:22 --

Lvov в сообщении #843188 писал(а):

Замечание к графикам в моем предыдущем сообщении.
На графике для трехмерного случая я не отобразил первый член вещественной части функции

Отсылаю подправленный рисунок с графиками

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #842334 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #842287 писал(а):

В отрыве от функционала (1) символ (2) самостоятельного смысла не несёт.

Я вам уже сказал: если вы не понимаете самостоятельного смысла обобщённых функций, идите почитайте простую книжку, поучитесь. Это вам вполне по силам (глядя на то, что вы справляетесь делать). Но не продолжайте долдонить одну и ту же глупость! Это вас не красит.

Всё же ещё раз попробую вас убедить...

Глядите внимательно на формулу (2), вещь хоть и не тривиальная, но простая:

$$ \psi(t, x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} A(t, x - y) \, \varphi(y) \, dy, \eqno(1) $$

$$ A(t, x) \equiv \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos\left(t\sqrt{m^2+p^2} \right) \cos (p x) \, dp. \eqno(2) $$

В отрыве от функционала (1) символ (2) самостоятельного смысла не несёт. Смысл появляется только когда подставить (2) в (1) и изменить очерёдность интегрирования: сначала взять интеграл по $y$ затем по $p$. Что же будет если попытаться сделать "в лоб" сначала проинтегрировать по $p$ думая будто (2) обычная функция? Попробуем, например, взять (2) в точке $t=0.2$, $x=0.1$ при $m=1$. До бесконечности численно считать, как бы, долго, поэтому остановимся на каком-нибудь очень большом $p_{\max}$. Ну, например, сосчитаем до миллиона. А чтобы проверить хватило ли миллиона возьмём ещё миллион плюс один, миллион плюс два...

$$ \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-1 \, 000 \, 000}^{+1 \, 000 \, 000} \cos\left( 0.2 \sqrt{1+p^2} \right) \cos (0.1 p) \, dp = -0.307895 $$

$$ \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-1 \, 000 \, 001}^{+1 \, 000 \, 001} \cos\left( 0.2 \sqrt{1+p^2} \right) \cos (0.1 p) \, dp = -0.625381 $$

$$ \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-1 \, 000 \, 002}^{+1 \, 000 \, 002} \cos\left( 0.2 \sqrt{1+p^2} \right) \cos (0.1 p) \, dp = -0.93277 $$

$$ \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-1 \, 000 \, 003}^{+1 \, 000 \, 003} \cos\left( 0.2 \sqrt{1+p^2} \right) \cos (0.1 p) \, dp = -1.21514 $$

Чувствуете что с этим интегралом твориться? Сам по себе он - бессмыслица. Он просто абстрактный символ, который можно наделить смыслом только если подставить в (1) и поменять порядок интегрирования.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #843289 писал(а):

Всё же ещё раз попробую вас убедить...

Попробуйте не меня убедить, а про себя подумать: а вдруг вы неправы? И пойти проверить эту устрашающую возможность.

Lvov в сообщении #843188 писал(а):

Сам на пальцах не могу, подскажите пожалуйста.

Хорошо, подсказываю.

В центре вероятность "растекается" в одном или в трёх направлениях. А "на фронте" - движется и там и там только в одном направлении.

[Lvov]

В заключение приведу явный вид базового решения трехмерного уравнения Клейна-Гордона для комплексной функции $\psi,$ а точнее его положительно- и отрицательно-частотные части, отвечающие частицам и античастицам (формула (18) $\S 18$ в книге Боголюбов-Ширков "Квантовые поля").

$$\Delta_\pm= \frac {\theta(t)} {4\pi} \left ( \delta(s) - \frac {\theta(\sqrt{s})m\,(J_1(m \sqrt{s}) \pm iY_1(m \sqrt{s}) )} {2 \sqrt {s}} \mp \frac {i \theta (\sqrt{-s}) m K_1(m \sqrt{-s})} {\pi \sqrt {-s}} \right ).$$

Здесь $\theta (x)$ - ступенчатая функция Хевисайда,
$s=t^2-r^2,$
$J_1(x), \,Y_1(x), \,K_1(x)$ - функции первого порядка, соответственно, Бесселя I рода, Вебера (Неймана) и Макдональда согласно терминологии из справочника Бронштейна-Семендяева.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #843355 писал(а):

Попробуйте не меня убедить, а про себя подумать: а вдруг вы неправы? И пойти проверить эту устрашающую возможность.

В чём не прав-то? Интеграл (2) не сходится:



осциллирует он...

Поэтому уравнение (2) задаёт лишь символ "$A(t, x)$", который обозначает правую часть. В частности, величина "$A(0.2, 0.1)$" - это тоже символ, не число.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #843498 писал(а):

В чём не прав-то?

В словах про символы. Я вам говорил уже. А про интеграл я и не спорю, это не главное...

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #843498 писал(а):

В чём не прав-то?

SergeyGubanov, какое отношение имеют ваши замечания к настоящей теме?

Меня интересует другой вопрос.
Определенное недоумение вызывает волна, описываемая последним членом $K_1(z)$ фундаментального решения, распространяющаяся впереди светоскоростного фронта. Я думаю, что это очередной парадокс уравнения Клейна-Гордона, связанный с тем обстоятельством, что уравнение неидеально описывает реальную действительность. А каково ваше мнение уважаемые участники диспута?

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #843671 писал(а):

SergeyGubanov, какое отношение имеют ваши замечания к настоящей теме?

Э-э-э, ну в то время пока вы отвлекались на шустрое рисование графиков функций Бесселя, я показывал тут картинки с эволюцией волнового пакета. Так вот чтобы вычислить эволюцию надо подставить формулу (2) в (1) и поменять порядок интегрирования. То есть смысл символа (2) неотрывно связан с формулой (1). Сам по себе интеграл (2) не сходится. Если вы вдруг подумали, что несходящийся интеграл (2) вдруг равен функции Бесселя, то вы впали в э-э-э лёгкое заблуждение. Например, подстановка в (1) функции Бесселя ни к чему хорошему не приводит. При малых $t < 1$ с функцией Бесселя там получается ерунда, а не эволюция. Правильная эволюция волнового пакета при малых $t < 1$ численно получается только при честном разложении в интеграл Фурье без математических фокусов с заменой несходящихся интегралов функциями Бесселя.

Проверьте, вы же численно умеете...

Что касается области больших $t$, то там интеграл (2) осциллирует с меньшей амплитудой:

$t=100$


$t=1 \, 000$


$t=10 \, 000$


То есть чем больше $t$, тем с меньшей числовой ошибкой несходящийся интеграл (2) можно заменить на функцию Бесселя.

Судя по картинкам амплитуда осцилляции значений интеграла (2) убывает как $1 / t$. То есть правильный честный пропагатор выраженный через интеграл Фурье "можно" условно заменить на функцию Бесселя только асимптотически при $t \to \infty$.

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #843703 писал(а):

Э-э-э, ну в то время пока вы отвлекались на шустрое рисование графиков функций Бесселя, я показывал тут картинки с эволюцией волнового пакета. Так вот чтобы вычислить эволюцию надо подставить формулу (2) в (1) и поменять порядок интегрирования.

И все-таки я не понимаю, какое отношение к теме имеют ваши формулы (1) и (2). Эволюцию вы все же как-то рассчитываете. Я полагал, что для расчета эволюции надо интегрировать произведение фундаментальной функции для разных разностей пространственных и временных координат на некоторую (например, гауссову) исходную функцию правой части.

[Lvov]

Lvov в сообщении #843671 писал(а):

SergeyGubanov, какое отношение имеют ваши замечания к настоящей теме?
Меня интересует другой вопрос.
Определенное недоумение вызывает волна, описываемая последним членом $K_1(z)$ фундаментального решения, распространяющаяся впереди светоскоростного фронта.

Добавлю к своему предыдущему сообщению.
Я за то, чтобы рассматривать физические проблемы, по-возможности, избегая математических трудностей. Зачем их искать? SergeyGubanov, насколько я понимаю, занимаясь исследованием эволюции волновой функции, решает задачу Коши. Почему здесь не пойти по простому вычислительному пути? Взять свертку фундаментального решения с исходной функцией для двух близких моментов времени, а затем на основе полученных промежуточных результатов вычислить производную по времени. Либо сначала аналитически найти производную от фундаментальной функции (в нашем случае это не проблема), а затем сделать свертку с полученной функцией Грина.

Интерес же мой, как я уже упоминал, в том, чтобы понять причину появления сверхсветовой волны в решении уравнения Клейна-Гордона. Причину я вижу в использовании знакочастотного комплексного решения, что характерно для квантовой теории. Вспомним, что еще при обсуждении темы "Волновая функция фотона в координатном представлении" оппонент обращал мое внимание, что составляющая ЭМ волны одного знака частоты выходит за пространственную границу области определения исходной вещественной волновой функции.
Подобную картину мы наблюдаем и здесь. В случае вещественной волны никаких сверхскоростных эффектов не наблюдается. Но при переходе к комплексной волновой функции названные эффекты имеют место для мнимой составляющей функции. В этом и зарыта собака: комплексная форма волновой функции, создавая удобство рассмотрения задач квантовой теории, все-же является некоторым приближением к реальной действительности.

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #843818 писал(а):

Я полагал, что для расчета эволюции надо...

Покажу на примере трёхмерного УКГ

$$ \partial_t^2 \psi - \partial_x^2 \psi - \partial_y^2 \psi - \partial_z^2 \psi + m^2 \psi = 0. \eqno(1) $$

Уравнение второго порядка по времени, значит при $t=0$ надо задать значения поля и значения его первой производной по времени. Начальные условия:

$$ \psi(t , {\bf r})|_{t=0} = \varphi({\bf r}), \quad \partial_t \psi(t , {\bf r})|_{t=0} = \dot\varphi({\bf r}). \eqno(2) $$

Тогда в произвольный момент времени $t \ge 0$ поле $\psi(t , {\bf r})$ можно вычислить по формуле:

$$ \psi(t , {\bf r}) = \int \left( A(t, {\bf r} - {\bf r'}) \, \varphi({\bf r'}) + B(t, {\bf r} - {\bf r'}) \, \dot\varphi({\bf r'}) \right) d_3 {\bf r'}. \eqno(3) $$

Чтобы выполнялось (2) пропагаторы $A(t, {\bf r})$ и $B(t, {\bf r})$ должны удовлетворять следующим начальным условиям:

$$ A(t, {\bf r})|_{t=0} = \delta_3({\bf r}), \quad \partial_t A(t, {\bf r})|_{t=0} = 0, \eqno(4) $$

$$ B(t, {\bf r})|_{t=0} = 0, \quad \partial_t B(t, {\bf r})|_{t=0} = \delta_3({\bf r}). \eqno(5) $$

Решая уравнение (1) с начальными условиями (4) и (5) получаем ответ:

$$ A(t, {\bf r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cos \left( t \sqrt{m^2 + p^2}\right) \cos (p_x x) \cos (p_y y) \cos (p_z z) \, dp_x \, dp_y \, dp_z, \eqno(6) $$

$$ B(t, {\bf r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{ \sin \left( t \sqrt{m^2 + p^2} \right) }{\sqrt{m^2 + p^2}} \cos (p_x x) \cos (p_y y) \cos (p_z z) \, dp_x \, dp_y \, dp_z. \eqno(7) $$

Интегралы (6) и (7) не сходятся, то есть величины $A(t, {\bf r})$ и $B(t, {\bf r})$ не являются числовыми функциями, а являются лишь абстрактными символами обозначающими правую часть (6) и (7). Использовать символы $A(t, {\bf r})$ и $B(t, {\bf r})$ можно лишь подставив их в формулу (3) и поменяв порядок интегрирования: сначала взять интеграл по ${\bf r'}$, затем по ${\bf p}$.

До некоторой степени с символами $A(t, {\bf r})$ и $B(t, {\bf r})$ можно обращаться как с обычными функциями, вот только их графиков нельзя построить, так как числовых значений они не имеют.

Для рассмотрения сферически симметричного случая можно перейти в (6) и (7) к сферической системе координат в импульсном пространстве:

$$ A(t, {\bf r}) = \frac{1}{2 \pi^2 r} \int\limits_{0}^{\infty} \cos \left( t \sqrt{m^2 + p^2}\right) \sin(p r) \, p \, dp, \eqno(6') $$

$$ B(t, {\bf r}) = \frac{1}{2 \pi^2 r} \int\limits_{0}^{\infty} \frac{ \sin \left( t \sqrt{m^2 + p^2} \right) }{\sqrt{m^2 + p^2}} \sin(p r) \, p \, dp, \eqno(7') $$

Рассмотрим эволюцию гауссовского волнового пакета

$$ \psi(t , {\bf r})|_{t=0} = \exp \left( - \frac{r^2}{2 a^2} \right), \quad \partial_t \psi(t , {\bf r})|_{t=0} = 0. \eqno(8) $$

Подставляя символ (6') в формулу (3), меняя порядок интегрирования и беря интеграл по $d_3 {\bf r'}$ получаем ответ:

$$ \psi(t, r) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{a^3}{r} \int\limits_{0}^{\infty} \cos \left( t \sqrt{m^2 + p^2} \right) \exp \left( - \frac{1}{2} a^2 p^2 \right) \sin (p r) \, p \, dp. \eqno(9) $$

При интегрировании по $d_3 {\bf r'}$ я перешёл в сферическую систему координат ${\bf r'}$ и воспользовался формулой $|{\bf r} - {\bf r'}| = \sqrt{r^2 + 2 r r' \cos(\theta) + r'^2}$.

Всё, ответ (9) можно рисовать:

$a=0.1$


$a=1$


Попытка заменить несходящиеся интегралы (символы) $A$ и $B$ функциями Бесселя приведёт к плачевному результату, зря мы с вами потратили время на рисование функций Бесселя.

[Lvov]

SergeyGubanov в сообщении #844233 писал(а):

Покажу на примере трёхмерного УКГ

Зачем вы усложняете решение задачи? Зачем интегрировать в спектральном пространстве, если уже известна частотная фундаментальная функция? Почему не хотите делать , как я указал в предыдущем сообщении? Поясню подробнее.

Для простоты рассматриваем одномерный случай. Пусть задана исходная функция $\psi(x,0)$ в начальный момент времени $t=0$ (задача Коши). Поскольку мы ищем решение лишь для частицы (или античастицы), знания первой производной по времени не требуется. Вычисляем свертку исходной функции с положительно- (или отрицательно-)частотной фундаментальной функцией для заданного времени $t$ и разных $x.$ Вычисляем то же самое для момента времени $t+\Delta t.$ Определяем производную $\Delta \psi (x,t)/\Delta t.$ Это искомое решение для времени $t.$ Ищем решения для некоторых других значений $t.$

Другой, более простой вариант. Ищем эволюцию решения, исходя не из начального значения функции, а из возмущающей функции $u(x,0).$ Вычисляем функции свертки возмущающей функции с фундаментальным решением для разных $x$ при некотором $t.$ Находим эволюцию функции для ряда значений $t.$

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #844473 писал(а):

Зачем вы усложняете решение задачи?

Я не понимаю в каком усложнении вы меня упрекаете. У меня самое что ни на есть простое-распростое линейное вещественное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:

$$ \partial_t^2 \psi - \partial_x^2 \psi - \partial_y^2 \psi - \partial_z^2 \psi + m^2 \psi = 0. \eqno(1) $$

Поскольку оно второго порядка по времени, то начальные условия у него самые что ни на есть простые-распростые: $\psi(0, {\bf r})=\varphi({\bf r})$ и $\dot\psi(0, {\bf r}) = \dot\varphi({\bf r})$.

Это у вас какие-то там сложные комплексные, эти, как их, э-э-э, античастицы...

Lvov в сообщении #844473 писал(а):

Почему не хотите делать, как я указал в предыдущем сообщении?

Без формул не понятно что конкретно Вы имеете в виду. Напишите формулы.